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山东省枣庄市第三中学2015届高三第二次(1月)学情调查数学(理)试题word版含答案


山东省枣庄市第三中学 2015 届高三第二次(1 月)学情调查 数学(理)试题
一、选择题:(本大题共 l0 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的.) 1.已知集合 M ? x x ? x , N ? y y ? 2 , x ? R ,则 M
2 x

?

?

/>
?

?

N?
D. (0,1]

(

)

A. ( 0,1 )

B. [0,1]

C. [0,1)

2. 设等比数列 ?an ? 中, 前 n 项和为 S n ,已知 S3 ? 8,S 6 ? 7 , 则 a7 ? a8 ? a9 ? A.

(

)

1 8

B. ?

1 8


C. )

57 8

D.

55 8

3. 下列说法中正确的是

A.若命题 p : ?x ? R 有 x 2 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R 有 x 2 ? 0 ; B.若命题 p :

1 1 ? 0; ? 0 ,则 ?p : x ?1 x ?1
5 1 3

C.若 p 是 q 的充分不必要条件,则 ?p 是 ?q 的必要不充分条件; D.方程 ax 2 ? x ? a ? 0 有唯一解的充要条件是 a ? ?

1 2

4. 已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体 积是 ( ) A.48cm3 C.88cm
3

4

B.98cm3 D.78cm
3f

2 正视图 左视图

5.将函数 y ? sin 2 x 的图像向右平移 位,所得函数图像对应的解析式为 A.

?
4

个单位,再向上平移 1 个单 ( ) B.

y ? sin( 2 x ? ) ? 1 4

?

y ? 2 cos 2 x

俯视图 第 4 题图

C. y ? 2 sin 2 x

D. y ? ? cos 2 x (
y

6.若圆 C 经过(1,0),(3,0)两点,且与 y 轴相切,则圆 C 的方程为 (A) ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 3
2 2

)

(B) ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 3 (D) ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 (
?

(C) ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4
2 2

7.函数 f ( x) 的部分图像如图所示,则 f ( x) 的解析式可以是 A. f ( x) ? x ? sin x

)
O

cos x B. f ( x) ? x
-1-

3? ? 2

? 2

? 2

3? 2

x

第 7 题图 图

C. f ( x) ? x cos x

D. f ( x) ? x( x ?

?
2

)( x ?

3? ) 2

8.若 | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | ,则向量 a ? b 与 b 的夹角为( A.

?

?

?

?

?



?
6

B.

?
3

C.

2? 3

D.

5? 6

9. 已知 F1 ,F2 是双曲线 与点 F2 关于直线 y ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点,若双曲线左支上存在一点 P a 2 b2
( )

bx 对称,则该双曲线的离心率为 a
B.

A.

5

5 2

C. 2

D. 2

10. 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? a ? 且最大值与最小值的和为 6,则 3a-2b= A. 7 B. 8 C. 9

2bx ? 3sin x ? bx cos x ( a、 b∈R)有最大值和最小值, 2 ? cos x
( D. 1 )

第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)

二.填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11.若 x ? 1 ? x ? 3 ? k 对任意的 x ? R 恒成立,则实数 k 的取值范围为 12.观察下列等式 .

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49
?? 照此规律,第 n 个等式为 .

?x ? y ? 1 ? 13.已知 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 若目标函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0 ? 的最大值为 7, ?2 x ? y ? 2 ?


3 4 ? 的最小值为_______. a b

14 . 在 直 角 三 角 形 ABC 中 , ?C ?

?
2

, AB ? 2 , AC ? 1 , 若 AD ?

3 AB , 则 2

CD ? CB ?
2



15.已知抛物线 C : y ? 8 x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一

-2-

个交点,若 FP ? 4 FQ ,则 | QO | =

.

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c ,且满足

?? ? ?? ? cos 2 A ? cos 2 B ? 2 cos ? ? A? cos ? ? A? ?6 ? ?6 ?
(1)求角 B 的值; (2)若 b ?

1 3 且 b ? a ,求 a ? c 的取值范围. 2

17. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为1 ,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 | MA |? 2 | MO | ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 如图, 在底面是正方形的四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥面 ABCD, BD 交 AC 于点 E,F 是 PC 中点,G 为 AC 上一点. (1)求证:BD⊥FG; (2) 当二面角 B—PC—D 的大小为 所成角的正切值.

2? 时, 求 PC 与底面 ABCD 3

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,且 S n ? n 2 ? 4n ? 4, n ? N ? (1)求数列 ?a n ?的通项公式;

?

?

?1, n ? 1 ? 2 3 n (2)数列 ?bn ? 中,令 bn ? ? a ? 5 , Tn ? 2b1 ? 2 b2 ? 2 b3 ? ??? ? 2 bn ,求 Tn . n ,n ? 2 ? ? 2
-3-

20. (本小题满分 13 分)

x2 y 2 3 ? ? 1(a ? b ? 0) 上,椭圆 C 的左焦点为(-1,0) a 2 b2 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 过点 T (m, 0) 交椭圆 C 于 M、N 两点,AB 是椭圆 C 经
已知点 P 在椭圆 C : ( 1, ? )

AB 过原点 O 的弦,且 MN//AB,问是否存在正数 m ,使 为 MN 定值?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

2

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

x ? ax . ln x

(1)若函数 f ( x) 在 (1,??) 上为减函数,求实数 a 的最小值;
2 (2)若存在 x1 , x2 ? ? ?e, e ? ? ,使 f ( x1 ) ? f ?( x 2 ) ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

-4-

高三第二次学情调查理科数学参考答案 2015.1
一.选择题:DACBC 二.填空题: 11. 12. n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 ; ? ??, 4 ? ; 三.解答题: 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)由已知 cos 2 A ? cos 2 B ? 2 cos? 13. 7; 14. ; DCDAC

9 2

15. 3

?? ? ?? ? ? A ? cos? ? A ? ?6 ? ?6 ?

得 2sin 2 B ? 2sin 2 A ? 2 ? cos 2 A ?

?3 ?4

1 2 ? sin A? ?????????????????3 分 4 ?

化简得 sin B ? 故B ?

3 ??????????????????????5 分 2

?
3



2? .???????????????????????6 分 3

(2)因为 b ? a ,所以 B ?

?

3

,????????????????????7分

由正弦定理

a c b ? ? ? sin A sin C sin B

3 ? 2 ,得 a ? 2 sin A, c ? 2 sin C , 3 2

故a?

1 3 ?? ? 2? ? 3 ? c ? 2 sin A ? sin C ? 2 sin A ? sin ? ? A ? ? sin A ? cos A ? 3 sin ? A ? ? 2 2 6? ? ? 3 ? 2

因为 b ? a ,所以 所以 a ?

?
3

? A?

2? ? ? ? , ? A ? ? ,??????????10 分 6 6 2 3
??????????????12 分

? 1 ?? ? 3 ? c ? 3 sin ? A ? ? ? ? , 3 ? ?. 2 6? ? 2 ? ?

17 . (本小题满分 12 分) 解: ( 1)由 ?

? y ? 2x ? 4 得圆心 C 为( 3,2) ,∵圆 C 的半径为 1 ?y ? x ?1
2

∴圆 C 的方程为: ( x ? 3)

? ( y ? 2) 2 ? 1 …………………………………………………1 分
y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0

显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为

-5-



3k ? 2 ? 3 k 2 ?1

? 1 ∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?
C 的 切 线 方 程 为 :

3 4

∴ 所 求 圆

3 y ?3 或 者 y ? ? x?3 即 y ?3 或 者 4

3 x ? 4 y ? 12 ? 0 ??????6 分
(2)解:∵圆 C 的圆心在在直线 l : 则圆 C 的方程为: ( x ? a ) 2

y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为(a,2a-4)
2

? ? y ? (2a ? 4)? ? 1 …………………………………………………8


又 | MA |?| 2 MO | ∴设 M 为(x,y)则

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2 整理得: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4

设为圆 D…………………………………………………10 分 ∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 ∴
2

即圆 C 和圆 D 有交点

2 ? 1 ? a 2 ? ?(2a ? 4) ? (?1)? ? 2 ? 1 …………11 分
? 12 ? …………12 分 0, ? ? 5? ?

解得, a 的取值范围为:

18. (本小题满分 12 分) 解:方法一: (1) PA⊥面 ABCD,四边形 ABCD 是正方形,其对角线 BD, AC 交于点 E ∴PA⊥ BD, AC⊥ BD, ∵PA 交 AC 与点 A ∴BD⊥平面 APC ∵FG ? 平面 PAC,∴ BD⊥FG ………………………………………2 分 ……………………………………………………4 分

(2)作 BH⊥PC 于 H,连接 DH,∵PA⊥面 ABCD,四边形 ABCD 是正方形,∴PB=PD, 又∵BC=DC,PC=PC,∴△PCB≌△PCD,∴DH⊥PC ,且 DH=BH,∴∠ BHD 是二面角 B- PC-D 的平面角.即 ?BHD ?

2? , …………………………………………7 分 3

∵PA⊥面 ABCD,∴∠PCA 就是 PC 与底面 ABCD 所成的角…………8 分 连结 EH,则 EH ? BD, ?BHE ? 而 BE ? EC ,?

?
3

, EH ? PC ,? tan ?BHE ?

BE ? 3 EH

EC EH 3 ? 3 ,? sin ?PCA ? ? , ………………10 分 EH EC 3

? tan ?PCA ?

2 , …………………… …………………………………11 分 2

-6-

∴PC 与底面 ABCD 所成角的正切值是

2 2

………………………………12 分

方法二: (1)以 A 为原点, AB, AD,PA 所在的直线分别为 x, y,z 轴建立空间直角坐 标系, 设正方形 ABCD 的边长为 1,则 A(0,0,0) , B( 1,0,0) ,C(1,1,0) D(0,1,0) ,P(0,0,a) (a>0), E ( , ∵ BD ? (?1,1, 0), FG ? ( m ? ∴BD⊥FG

1 1 1 1 a ,0), F ( , , ), G (m, m,0)(0 ? m ? 2 ) 2 2 2 2 2

1 1 a 1? ? 1? ? , m ? , ? ) , BD ? FG ? ? ? m ? ? ? ? m ? ? ? 0 ? 0 2 2 2 2? ? 2? ?

………………………………………………………4 分

(2)设平面 PBC 的一个法向量为 u ? ? x, y , z? 则?

? ?u ? PC ? 0 ? ?u ? BC ? 0

,而 PC ? (1,1,? a ), BC ? (0,1,0)

? x ? y ? az ? 0 ,取 z ? 1 ,得 u ? (a,0,1) ,……………………8 分 ?? ?y ? 0
同理可得平面 PDC 的一个法向量 v ? (0, a,1) ,设 u , v 所成的角为 ? , 则 | cos ? |?| cos

2? 1 |? , 3 2
……………………10 分 与 底 面 ABCD 所 成 的 角 ,



| u ?v | | u || v |

?

1 1 1 ,? ? ,?a ?1 2 2 2 a ?1 ? a ?1 2
ABCD , ∴∠PCA 就 是 PC

∵PA⊥ 面

? tan ?PCA ?

PA 1 2 ? ? AC 2 2
2 2
???????12 分

∴PC 与底面 ABCD 所成角的正切值是 19. (本小题满分 12 分) 解: ( 1)

S n ? n 2 ? 4n ? 4 ,∴ S1 ? 1 ………?????????????1 分

又当 n ? 2 时,

an ? S n ? S n ?1 ? 2n ? 5 ????????????????????????3 分
所以 an ? S n ? S n ?1 ? ?

?1, n ? 1 ? ??????????????????4 分 ? ?2n ? 5, n ? 2

-7-

?1, n ? 1 ? (2)∵ bn ? ? a ? 5 ,∴ bn ? n ,???????????????6 分 n ,n ? 2 ? ? 2 Tn ? 1? 2+2 ? 22 +3 ? 23 + +n ? 2 n ?????????????8 分
2Tn ? 1? 22 +2 ? 23 +3 ? 24 + +(n-1) ? 2 n +n ? 2 n ?1 ,∴ Tn ? (n ? 1)2n ?1 ? 2 ???????12 分

20. (本小题满分 13 分) 解: (1)椭圆 C 的左焦点为 (1, 0) ,∴ c ? 1 ,椭圆 C 的右焦点为 (?1, 0) 可得 2a ?

3 3 5 3 (1 ? 1) 2 ? (? ) 2 ? (1 ? 1) 2 ? (? ) 2 ? ? ? 4 ,解得 a ? 2 , ??2 分 2 2 2 2
x2 y 2 ? ? 1 ????????4 分 4 3

∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 1 ? 3 ∴椭圆 C 的标准方程为

? x2 y 2 ?1 ? ? (2)设直线 l : y ? k ( x ? m) ,且 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,由 ? 4 3 ? y ? k ( x ? m) ?

3 x 2 ? 4k 2 ( x ? m) 2 ? 12 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 mx ? 4k 2 m 2 ? 12 ? 0 8k 2 m 得 x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2 4k 2 m 2 ? 12 x1 x2 ? 3 ? 4k 2 MN ? 1 ? k 2 16[(12 ? 3m 2 )k 2 ? 9] 3 ? 4k 2
???????8 分

? x2 y 2 12 ?1 ? ? 2 由? 4 得x ? 3 3 ? 4k 2 ? y ? kx ?
设 A( x3 , y3 ), B ( x4 , y4 )
2 得 AB ? 1 ? k x3 ? x4 得 AB ?
2

48(1 ? k 2 ) ????????10 分 3 ? 4k 2



64k 4 m 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(k 2 m 2 ? 3) ? 16[(12 ? 3m 2 )k 2 ? 9]

? 当 12 ? 3m 2 ? 9, m ? 1 时

-8-

AB ? 4 为定值,当 k 不存在时,定值也为 4? m ? 1 ???13 分 MM
21. (本小题满分 14 分) 解: (1)由已知得 x>0,x≠1.
1 ? a≤0 在 (1, 因 f (x)在 (1, 故 f ?( x) ? ln x ?2 ? ?) 上为减函数, ? ?) 上恒成立. ?????? (ln x)

2

1分 所以当 x ? (1, ? ?) 时, f ?( x) max ≤0 . 又
1?a ?? 1 f ?( x) ? ln x ?2 ln x (ln x)

? ?

2

? 1 ?a ?? 1 ?1 ln x ln x 2

?

? a ,????????????2 分 ? ?1 4
2

7 故当 1 ? 1 ,即 x ? e2 时, f ?( x)max ? 1 ? a . ln x 2 4 所以 1 ? a≤0, 于是 a ≥ 1 , 故 a 的最小值为 1 . ????????????????? 4 4 4 4分 (2)命题“若存在 x1 , x2 ? [e, e 2 ], 使 f ( x1 )≤f ? ? x2 ? ? a 成立”等价于 “ 当

x ? [e, e2 ]







f ( x)m i n ≤f ? ? x ?m a x? a ”. ???????????????????5 分
由(Ⅰ) ,当 x ? [e, e2 ] 时, f ?( x)max ? 1 ? a ,? f ? ? x ?max ? a ? 1 . 4 4 问 题 等 价 于 : “ 当

x ? [e, e2 ]







f ( x)mi n≤ 1 ”. ??????????????????6 分 4
①当 a≥ 1 时,由(1) , f ( x) 在 [e, e2 ] 上为减函数, 4
2 则 f ( x)min = f (e 2 ) ? e ? ae2 ≤ 1 , 故 a≥ 1 ? 1 2 . ????????????????? 2 4 2 4e

8分 ②当 a <

1 1 1 1 1 ? ? ' ? )2 ? ? a 在 ? 时,由于 f ( x) ? ?( 上的值域为 ? ? a, ? a ? e, e 2 ? ? ? 4 ln x 2 4 4 ? ?
'

2 2 (ⅰ) ? a ? 0 ,即 a ? 0 , f ( x) ? 0 在 ? ?e, e ? ? 恒成立,故 f ( x) 在 ? ?e, e ? ? 上为增函数,







1 f ( x)m i n ? f ( e) ? e? ae? e? 4





-9-

盾.?????????????????10 分 (ⅱ) ? a ? 0 ,即 0 ? a ?

1 ,由 f ' ( x) 的单调性和值域知, 4

存在唯一 x0 ? (e, e 2 ) ,使 f ' ( x) ? 0 ,且满足: 当 x ? (e, x0 ) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 为减函数;当 x ? ( x0 , e 2 ) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 为 增函数; 所 以 ,

f m i n( x) ? f ( x0 )?

x0 1 ? a x0 ? l n x0 4



x0 ? (e, e 2 ) ????????????????12 分
所以, a? 13 分 综上,得 a ? 分

1 1 1 1 1 1 1 1 与 0 ? a ? 矛盾. ????????? ? ? ? ? ? ? , 2 4 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4

1 1 ???????????????????????????14 ? 2 4e 2

- 10 -


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