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红对勾文科数学7-1


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第七章 立体几何

必考部分·第七章

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第一节 空间几何体的结构特征及三视图和直观图

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第七章·第一节

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考纲解读 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这 些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.能画出简单空间图形?长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组 合?的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法 画出它们的直观图. 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图 与直观图,了解空间图形的不同表示形式. 4.会画某些建筑物的三视图与直观图?在不影响图形特征的基础 上,尺寸、线条等不作严格要求

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第七章·第一节

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考情剖析 本知识点在高考中多为基础题,一般以选择题、填空题为主,具 体有以下考查方式. 1.已知几何体,判断三视图. 2.由几何体三视图中的两个,判断第三个. 3.借助三视图解决几何体中点线面的位置关系,求表面积、体积 等.

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第七章·第一节

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自主回顾· 打基础

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课时作业

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1.多面体的结构特征 (1)棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是 四边形 , 并且每相邻两个四边形的公共边 都互相平行 ,由这些面所 围成的多面体叫做棱柱. (2)棱锥:有一个面是 多边形 ,其余各面都是有一个

公共顶点 的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥.

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(3)棱台:用一个 平行于 棱锥底面的平面去截棱锥,

底面与截面之间 的部分,这样的多面体叫做棱台.

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1.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几 何体是棱柱吗? 提示:不一定.如图所示,尽管几何体满足了两个平 面平行且其余各面都是平行四边形,但不能保证每相邻两 个侧面的公共边互相平行.

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2.旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由 矩形 绕其任一边所在直线旋转得到; (2)圆锥可以由直角三角形绕其 一条直角边 所在直线 旋转得到; (3)圆台可以由直角梯形绕 垂直于底边的腰 所在直线 旋转得到,也可以由 平行底面 的平面截圆锥得到; (4)球可以由半圆绕 直径 所在直线旋转得到.

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温馨提示:(1)圆柱的所有母线平行、相等且垂直于底 面,圆锥的母线相交于一点,圆台的母线延长后相交于一 点. (2)圆柱的轴截面是全等的矩形,圆锥的轴截面是全等 的等腰三角形,圆台的轴截面是全等的等腰梯形. (3)球的截面的性质:①球心和截面圆心的连线垂直于 截面;②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之 间的关系是r= R2-d2.

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3.空间几何体的三视图 (1)三视图的名称 几何体的三视图有: 正视图 、 侧视图 、 俯视图

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(2)三视图的画法 ①在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画 成虚线. ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体 的

正前方、正左方、正上方

观察几何体的正投影图.

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2.正方体的正视图、侧视图、俯视图一定相同吗? 提示:由于正视图的方向没确定,因此正视图、侧视 图、俯视图不一定相同. 3.三视图的排列规则是什么? 提示:侧视图放在正视图的右边.同时要注意:正俯 长对正,正侧高平齐,俯侧宽相等.

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4.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法,在斜二测画法 中,原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中 平行 于坐标 轴;平行于 x 轴和 z 轴的线段长度在直观图中 不变 ,平行 于 y 轴的线段长度在直观图中 减半. 5.平行投影与中心投影 平行投影的投影线是 平行的 ,而中心投影的投影线 交于一点.

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1.以下关于几何体的三视图的论述中,正确的是 ( ) A.球的三视图总是三个全等的圆 B.正方体的三视图总是三个全等的正方形 C.水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆

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解析:B中正方体的放置方向不明,不正确;C中三视 图不全是正三角形;D中俯视图是两个同心圆.
答案:A

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2.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆 面,则这个几何体一定是( A.圆柱 C.球体 B.圆锥 D.圆柱、圆锥、球体的组合体 )

解析:当用过高线的平面截圆柱和圆锥时,截面分别 为矩形和三角形,只有球满足任意截面都是圆面.

答案:C

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3.给出四个命题: ①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱;②对 角面是全等矩形的六面体一定是长方体;③有两侧面垂直 于底面的棱柱一定是直棱柱;④长方体一定是正四棱柱. 其中正确的命题个数是( A.0 C.2 B.1 D.3 )

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解析:反例:①直平行六面体底面是菱形,满足条件 但不是正棱柱;②底面是等腰梯形的直棱柱,满足条件但 不是长方体;③④显然错误,故选A.
答案:A

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4.利用斜二测画法得到的: ①正方形的直观图一定是菱形; ②菱形的直观图一定是菱形; ③三角形的直观图一定是三角形. 以上结论正确的是________.

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解析:①中其直观图是一般的平行四边形,②菱形的 直观图不一定是菱形,③正确.
答案:③

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5.一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体 可能是下列几何体中的________.(填入所有可能的几何体 前的编号) ①三棱锥 ⑥圆柱
答案:①②③⑤

②四棱锥

③三棱柱

④四棱柱

⑤圆锥

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空间几何体的结构特征

【例1】

(1)下面是关于空间几何体的四个命题:

①由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的 正六边形,其他各面是矩形的几何体是六棱柱; ②有两个面互相平行,其余各面都是梯形的几何体 一定是棱台; ③棱锥的侧面是全等的等腰三角形,该棱锥一定是 正棱锥.
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其中正确命题的个数是( A.0 C.2 B.1 D.3

)

(2)用不过球心的平面截球O,截面是一个球内的小圆 O1,若球的半径为4 cm,球心O与小圆圆心O1的距离为2

cm,则小圆的半径为________cm.

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(1)要判断几何体的类型,应从各类几何体的结 构特征入手,根据棱锥、正棱锥的概念及相关性质,逐一 进行考察. (2)分析:利用球的截面性质;推理:构造直角三角 形;结论:利用勾股定理求解.

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【解析】

(1)①是正确的,如图(1)所示,该几何体满

足有两个面互相平行,其余六个面都是矩形,则每相邻两 个面的公共边都互相平行,故该几何体是六棱柱;

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②是错误的,有两个面互相平行,其余各面都是梯形 的几何体不一定是棱台(如图(2)); ③是错误的,如图(3)所示,AB=BC=CD=DA,AC =BD,棱锥的侧面是全等的等腰三角形,但该棱锥不是正 三棱锥.故选B.

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(2)如图(4),d=OO1=2,R=4,小球O1的半径为r,则 r= R2-d2= 42-22=2 3.

【答案】 (1)B (2)2 3

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?1?准确理解几何体的定义, 真正把握几何体的结构特征是解 决概念题的关键;另外,要断定命题为假时,还可以构造反 例,或借助于周围的实物判断 .

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?2?球的截面性质:球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截 面的半径 r,有下面的关系:r= 多面体的性质以及旋转体的结构特征 . .下面变式题复习

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下列结论中正确的是(

)

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋 转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥 可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线

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解析: 当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两 侧的两个三棱锥构成时,尽管各面都是三角形,但它不是三 棱锥, 故 A 错误; 若三角形不是直角三角形或是直角三角形 但旋转轴不是直角边所在直线,所得几何体就不是圆锥, B 错误; 若六棱锥的所有棱都相等, 则底面多边形是正六边形, 由几何图形知,若以正六边形为底面,则棱长必然要大于底 面边长,故 C 错误.
答案:D

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空间几何体的三视图

【例 2】

(1)(2013· 四川卷)一个几何体的三视图如 )

下图所示,则该几何体的直观图可以是(

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(2)(2013· 新课标全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直 角坐标系 O—xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1), (0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投 影面,则得到的正视图可以为( )

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(1)是根据三视图想象直观图;(2)是根据直观图 画三视图.

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【解析】 (1)根据三视图知该几何体是圆台与圆柱的组 合体,选 D. (2)如图,该四面体在空间直角坐标系 O—xyz 中的图象 如图:

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则它在平面 zOx 的投影,即正视图为

.选 A.

【答案】 (1)D (2)A

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空间几何体的数量关系也体现在三视图中,正视图和侧视 图的“高平齐”,正视图和俯视图的“长对正”,侧视图 和俯视图的“宽”相等.也就是说正视图、侧视图的高就是 空间几何体的高,正视图、俯视图中的长就是空间几何体 的最大长度,侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最 大宽度.

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(1)(2013· 湖南卷)已知正方体的棱长为1,其俯视图是一 个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为 2的矩形,则该 正方体的正视图的面积等于( 3 A. 2 2+1 C. 2 B.1 D. 2 )

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(2)(2013· 新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所 示,则该几何体的体积为( )

A.16+8π C.16+16π

B.8+8π D.8+16π
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解析:(1)由题知,此正方体的正视图与侧视图是一样 的,∴正视图面积与侧视图面积也相等,为 2. (2)由三视图知,该几何体为一个长方体和半个圆柱的 1 组合体,其体积为V=2×2×4+2×π×22×4=16+8π.
答案:(1)D (2)A

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空间几何体的直观图

【例3】

已知平面△ABC的直观图A′B′C′是

边长为a的正三角形,求原△ABC的面积.

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【解析】

如图所示,△A′B′C′是边长为a的正三

角形,作C′D′∥A′B′交y′轴于点D′,则D′到x′ 3 轴的距离为 a, 2 6 ∵∠D′A′B′=45° ,∴A′D′= 2 a, 由斜二测画法的法则知,在△ABC中,AB=A′B′ =a,AB边上的高是A′D′的二倍,即为 6 a,∴S△ABC= 1 6 2 2a· 6a= 2 a .
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直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化 为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度,然后运用 “水平长不变,垂直长减半”的方法确定出点,最后连线 即得直观图.注意被遮挡的部分画成虚线 .

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如图所示,四边形A′B′C′D′是一平面图形的水 平放置的斜二测画法的直观图,在斜二测直观图中,四边 形A′B′C′D′是一直角梯形,A′B′∥C′D′, A′D′⊥C′D′,且B′C′与y′轴平行,若A′B′= 6,D′C′=4,A′D′=2.求这个平面图形的实际面积.

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解:根据斜二测直观图画法规则可知 该平面图形是直角梯形,且AB=6,CD=4保持不 变. 由于C′B′= 2A′D′=2 2. 所以CB=4 2. 1 故平面图形的实际面积为2×(6+4)×4 2=20 2.

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1.对三视图的认识及三视图画法 (1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的 平面上的正投影,并不是从三个方向看到的该几何体的侧 面表示的图形. (2)在画三视图时,重叠的线只画一条,能看见的轮廓 线和棱用实线表示,挡住的线要画成虚线.
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(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体 的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的 轮廓线. 2.对斜二测画法的认识及直观图的画法 (1)在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段.“平 行于x轴的线段平行性不变,长度不变;平行于 y轴的线段 平行性不变,长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积 与原图形的面积有以下关系:
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2 S直观图= S原图形,S原图形=2 2S直观图. 4

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易错易混警示(十一) 画三视图忽视边界线及其实虚致误 【典例】 将正方体(如下图甲所示)截去两个三棱锥, )

得到下图乙所示的几何体,则该几何体的左视图为 (

?甲?

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?乙?

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失误展示 错解一:由几何体知,AD1是边界线,投影到正方 体右侧面上恰为正方形的对角线,故选D. 错解二:由几何体知,AD1、B1C都是边界线,投 影到正方体右侧面后恰为正方形的对角线,故选 C.

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正确解答 还原正方体后,将D1,D,A三点分别向正方体右侧 面作垂线.D1A的射影为C1B,且为实线,B1C被遮挡应为 虚线.故选B.

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(1)在确定边界线时,要先分析几何体由哪些面组 点 拨 提 升 成,从而可确定边界线,其次要确定哪些边界线投 影后与轮廓线重合,哪些边界线投影后与轮廓线不 重合,不重合的是我们要在三视图中画出的. (2)在画三视图时,首先确定几何体的轮廓线,然后 再确定面与面之间的边界线,再根据是否可见确定 实虚.

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1.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所 示,则该几何体的左视图为( )

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解析:由几何体可得,该几何体的左视图为一正方 形,且有一条向左上方倾斜的对角线.
答案:B

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2.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视 图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,该几何体的体 积是________;若该几何体的所有顶点在同一球面上,则 球的表面积是________.

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解析:由三视图知该几何体是底面为1的正方形,高为 1 1 1的四棱锥,故体积V= 3 ×1×1×1= 3 ,该几何体与棱长 为1的正方体具有相同的外接球,外接球直径为 3,该球表
? 面积S=4π×? ? ?

3? ?2 =3π. 2? ?

1 答案:3 3π

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