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最新人教版高中数学选修4-5《比较法》知识讲解


数学人教 B 选修 4-5 第一章 1.5.1 比较法 1.理解和掌握比较法证明不等式的依据. 2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤. 3.通过学习比较法证明不等式,培养学生对转化思想的理解和应用. 比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种 作差比较法 定义 适用类型 要证明 a>b,只要证明____.要 证明 a<b,只要证明______ 适用于______特征的不等式的证 明 【做一做 1】设 m=a+2b,n=a+b2+1,则( ) A.m>n B.m≥n C.m<n D.m≤n 【做一做 2】下列命题中,是真命题的有( ) a a a ①当 b>0 时, a>b >1; ②当 b>0 时, a<b <1; ③当 a>0, b>0 时, >1 b b b a >b;④当 ab>0 时, >1 a>b. b A.①②③ B.①②④ C.④ D.①②③④ 答案: a b 1.a-b>0 a-b<0 >1 >1 具有多项式 积、商、幂、对数、根式 b a 【做一做 1】D ∵n-m=b2+1-2b=(b-1)2≥0, ∴n≥m. 【做一做 2】A 作商比较法 要证明 a>b>0,只要证明 ________.要证明 b>a>0,只要 证明________ 主要适用于____________ 形式的不等式证明 a 1.用作差比较法证明不等式的一般步骤是什么? 剖析:用作差比较法证明不等式的一般步骤是:(1)作差:把不等式左、右两边作差, 可以是左边减右边,也可以是右边减左边;(2)变形:把这个差变化为易于判断正负的形式, 而不必考虑差的值是多少,变形的方法主要有配方法、通分法、因式分解法等; (3)判断差 的符号:主要依据差的最后变形的结果来判断;(4)下结论:肯定所证明的不等式成立. 2.作商比较法中的符号问题如何解决? b 剖析:在作商比较法中, >1 b>a 是不正确的,这与 a,b 的符号有关,比如若 a, a b b b>0,由 >1,可得 b>a,但若 a,b<0,则由 >1 得出的是 b<a,也就是说,在作商比 a a 较法中,要对 a,b 的符号作出判断.否则,结论将是错误的.对于此类问题,分为含参数 变量类的和大小固定的两种, 因而也可以通过特殊值的方法进行一定的猜测, 进而给出一定 的理性推理或证明过程. 题型一 用作差比较法证明不等式 b ?1 ?a ?1 【例题 1】若 a,b 均为正数,求证:? ? a ?2+? b ?2≥ a+ b. 2 2 分析:将不等式左边通分后,可以看到分子化为( a)3+( b)3 的形式,结合右边 a+ b 的形式,可考虑用作差比较法. 反思:(1)作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目的在于判断差的符号, 而不用考虑差能否化简或值是多少. (2)变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有 效的恒等变形的方法. (3)因式分解是常用的变形手段,为了便于判断“差式”的符号,常将“差式”变形为 一个常数,或几个因式积的形式,当所得的“差式”是某字母的二次三项式时,常用判别式 法判断符号.有时会遇到结果符号不能确定,这时候要对差式进行分类讨论. 题型二 用作商比较法证明不等式 + + + 【例题 2】已知 a>b>c>0,求证:a2ab2bc2c>ab cbc aca b. 分析:证明这类含幂指数乘积形式的不等式,往往通过作商与 1 比较大小来证明. + + + 反思:证明此题易出现在不讨论 ab c· bc a· ca b>0


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