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2013年寒假清北学堂(济南)竞赛讲义(代数)


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liqian.jmtlf@gmail.com 2013.02 ~^??
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a1 , a2 , · · · , an ?b1 , b2 , · · · , bn ?‰? (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2

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a1 a2 an = = ··· = ?, b1 b2 bn

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x2 + y 2 + z 2 xyz

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x2 + y 2 + z 2 xyz
2 2 2

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1√ 1 1√ x + y + z · (x + y + z )3 x + y + z 27xyz x2 + y 2 + z 2 (x + y + z )2 = 3 3 3 √ √ 1√ xyz 27xyz = 3xyz . ? ??? ? ^??x = y = z ?…x+y +z = xyz , =x = y = z = 3. 3 √ √ x2 + y 2 + z 2 x = y = z = 3?, k? ? 3. xyz √ )‰n x2 + y 2 + z 2 xy + yz + zx 3(xy · yz + yz · zx + zx · xy ) = 3xyz (x + y + z ) 3xyz . √ √ x2 + y 2 + z 2 x = y = z = 3?, n?? ??? ?, k? ? 3. xyz

x2 + y 2 + z 2 xyz

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1 3y 20x + + 15y + 4 x 1 1 √ = √ . 2 20 × 3y + 15y + 4 ( 15y + 2)2

…= x = ?n?
, √

3y ?, 20

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1 1 √ √ . = √ 2 6 × 90y + 5y + 108 ( 5y + 6 3)2

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…= z = ¤±,

?¤á.
√ y y √ √ = √ √ √ √ 2 2 ( 15y + 2) ( 5y + 6 3) ( 15y + 2)( 5y + 6 3) ? ?2 ? ? = ? ? ? 1 ? √ ? √ ? 12 3 3y + √ + 20 5 y
2 2

xyz (1 + 5x)(4x + 3y )(5y + 6z )(z + 18)

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2

√ √ √ 5 3 × 12 3 + 20 5

1

2

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1 . 5120 3+ √ 4 13

3xy + yz + zx

(x2 + y 2 + 2z 2 ).

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3xy + yz + zx = 1 1 2 my 2 + z 2 z + mx2 3x2 + 3y 2 m m + + 2 2 2 1 2 (3 + m)x2 + (3 + m)y 2 + z 2 . 2 m 3

1 -3 + m = , m

√ ?3 + 13 m= ( 2

K?) .

3+m= 3+ √ 4 13

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3xy + yz + zx

(x2 + y 2 + 2z 2 ). √ 13 y ?,

…= x = y , my = z , mx = z =z = n?¤?, ? ?¤á.
4. a, b, c?

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3+

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abc √ 9 abc

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b+



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3

√ +

a+b+c 3

3

5.

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1 + x2 1 + y2 1 + z2 + + 2 2 1+y+z 1+z+x 1 + x + y2 (1 + x2 + 1 + y 2 + 1 + z 2 )2 .

[(1 + x2 )(1 + y + z 2 ) + (1 + y 2 )(1 + z + x2 ) + (1 + z 2 )(1 + x + y 2 )]

4

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1 + y2 1 + z2 1 + x2 + + 1 + y + z2 1 + z + x2 1 + x + y2 2 (x + y 2 + z 2 + 3)2 (1 + x2 )(1 + y + z 2 ) + (1 + y 2 )(1 + z + x2 ) + (1 + z 2 )(1 + x + y 2 ) x4 + y 4 + z 4 + 9 + 2x2 y 2 + 2y 2 z 2 + 2z 2 x2 + 6x2 + 6y 2 + 6z 2 = x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 + 2(x2 + y 2 + z 2 ) + x2 y + y 2 z + z 2 x + x + y + z + 3 x4 + y 4 + z 4 + 3 + 2x2 + 2y 2 + 2z 2 ? 2(x2 y + y 2 z + z 2 x) = 2+ 2 2 x y + y 2 z 2 + z 2 x2 + 2(x2 + y 2 + z 2 ) + x2 y + y 2 z + z 2 x + x + y + z + 3 (x2 ? y )2 + (y 2 ? z )2 + (z 2 ? x)2 + (x ? 1)2 + (y ? 1)2 + (z ? 1)2 = 2+ 2 2 x y + y 2 z 2 + z 2 x2 + 2(x2 + y 2 + z 2 ) + x2 y + y 2 z + z 2 x + x + y + z + 3 2.

…= x = y = z = 1?, ?? ?¤á. )‰ d?? 1 + x2 , 1 + y 2 , 1 + z 2 , 1 + y + z 2 , 1 + z + x2 , 1 + x + y 2 ??u0, u?
1 + y2 1 + z2 1 + x2 + + 1 + y + z2 1 + z + x2 1 + x + y2 2 1+x 1 + y2 1 + z2 + + 1 + y2 1 + z2 1 + x2 1 + z2 + 1 + x2 + 1 + y2 + 2 2 2 2a 2b 2c + + , 2c + b 2a + c 2b + a

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1 + y2 1 + z2 1 + x2 ,b= ,c= . d…?? 2 2 2 b c a + + 2c + b 2a + c 2b + a

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3(ab + bc + ca) = 1. 3(ab + bc + ca)

(a + b + c)2 a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b)

6. 3 ABC ?, y?: 1 1 1 + + 1 + cos2 A + cos2 B 1 + cos2 B + cos2 C 1 + cos2 C + cos2 A 2.

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(a2 + b2 )(cos2 B + cos2 A), a2 + b2 + c2 , a2 + b2 a2 + b2 . a2 + b2 + c2 c2 + a2 . ±?n??\= a2 + b2 + c2

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c2 , =1 + cos2 A + cos2 B + b2 1 1 + cos2 A + cos2 B

?n,
7.

1 2 1 + cos B + cos2 C a, b, c > 0. y?:

b2 + c2 1 , 2 2 2 2 a + b + c 1 + cos C + cos2 A

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0 ? 3(a2 + b2 + c2 )

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3 2 (a + b2 + c2 ). 2

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(a ? b)2 (c + a)(c + b) 8.

4(a ? b)2 (a ? b)2 = 2 . 2 2 2 4(a + b + c ) a + b2 + c2

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(a1 a2 + a2 a3 + · · · + an a1 ) a1 a2 an + 2 + ··· + 2 a2 + a a + a a 2 3 2 3 1 + a1 n . n+1

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a1 a2 an a2 a2 a2 + + ··· + = 1 + 2 + ··· + n a2 a3 a1 a1 a2 a2 a3 an a1 1 . a1 a2 + a2 a3 + · · · + an a1

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a2 2 a1 a2 an + 2 + ··· + 2 a3 + a3 a1 + a1 + a2 n n+1 a1 a2 an + + ··· + a2 a3 a1 .

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a1 a2 an + 2 + ··· + 2 = a1 + a2 + · · · + an a2 + a a + a a 2 3 2 3 1 + a1 a1 + a2 + an + a2 a3 a1 a1 a2
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a1 a2 an + 2 + ··· + 2 = a1 + a2 + · · · + an a2 + a a + a a 2 3 2 3 1 + a1 a1 + a2 + an + a2 a3 a1 a1 a2
2

a2 a3

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n n

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n

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n n

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9.

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u2 (ay1 + by2 )2 + (ax1 ? bx2 )2 = a2 + b2 + 2ab(y1 y2 ? x1 x2 ), a2 + b2 ? u2 . 2ab (cx2 + dx1 )2 + (cy2 ? dy1 )2 = c2 + d2 + 2cd(x1 x2 ? y1 y2 ), x1 x2 ? y1 y2 7

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1

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y1 y2 ? x1 x2 1 + 2, 0 a2 + b2 ? u2 c2 + d2 ? v 2 + , ab cd u2 v2 + 1 ab cd a2 + b2 c2 + d2 + . ab cd c2 + d2 a 2 + b2 + . cd ab
2 c2 + d2 ? v1 . 2cd

2

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u2 v2 + 1 cd ab

d…?? ?, k
(u + v )2 + (u1 + v1 )2 u2 v2 u2 v2 1 (ab + cd) + + (ab + cd) + 1 ab cd ab cd 2 2 2 2 2 2 2 u v u v a +b c + d2 + + 1+ 1 2 + ab cd ab cd ab cd

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.

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Pα = ay1 + by2 + cy3 + dy4 , β = ax4 + bx3 + cx2 + dx1 . d…?? ?, ? 2 2 √ √ √ √ a b c [( ady1 )2 + ( bcy2 )2 + ( bcy3 )2 + ( ady4 )2 ] · ? + + d c b
(ay1 + by2 + cy3 + dy4 )2 = α2 ,

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2 2 2 2 (ady1 + bcy2 + bcy3 + ady4 )·

b a b c + + + d c b a a b c b + + + d c b a

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2 2 2 (adx2 4 + bcx3 + bcx2 + adx1 ) ·

.

2 ò±?ü??\, ?|^x2 i + yi = 1 (i = 1, 2, 3, 4) , ab + cd = 1 ,

a b c b + + + d c b a ab + cd ab + cd = 2(ad + bc) + = 2(ad + bc) bd ac a2 + b2 c2 + d2 . = 2 + ab cd α2 + β 2 (2ad + 2bc)

1 1 + bd ac

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10. ??a, b, c?

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?ê. ?y:
(2a + b + c)2 (2b + c + a)2 (2c + a + b)2 + + 2a2 + (b + c)2 2b2 + (c + a)2 2c2 + (a + b)2 8.

)‰? éa, b, c????· ?f?r ?Ky8?a + b + c = 3 (a, b, c > 0) ?
(a + 3)2 (b + 3)2 (c + 3)2 + + 2a2 + (3 ? a)2 2b2 + (3 ? b)2 2c2 + (3 ? c)2 8 8.

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(x + 3)2 . ?Ly?f (a) + f (b) + f (c) + (3 ? x)2

8.

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1 Kf (a) + f (b) + f (c) (4a + 4 + 4b + 4 + 4c + 4) = 8. 3 )‰ d…?? ? [a2 + a2 + (b + c)2 ](12 + 12 + 22 ) [a + a + 2(b + c)]2 ,

=2a2 + (b + c)2

2 3 1 . (a + b + c)2 , l , 2 3 2a + (b + c)2 2(a + b + c)2 3 1 3 1 , . ?n, 2 2b + (c + a)2 2(a + b + c)2 2c2 + (a + b)2 2(a + b + c)2 (2a + b + c)2 (2b + c + a)2 (2c + a + b)2 + + ?8 2a2 + (b + c)2 2b2 + (c + a)2 2c2 + (a + b)2 (a + 2b + c)2 (a + b + 2c)2 (2a + b + c)2 ? 1 + ? 1 + ?1 ?5 2a2 + (b + c)2 2b2 + (c + a)2 2c2 + (a + b)2 2a2 + 4ab + 4ac 2b2 + 4ab + 4bc 2c2 + 4ac + 4bc + + ?5 2a2 + (b + c)2 2b2 + (c + a)2 2c2 + (a + b)2 3[(2a2 + 4ab + 4ac) + (2b2 + 4ab + 4bc) + (2c2 + 4ac + 4bc)] ?5 2(a + b + c)2 ?2[(a ? b)2 + (b ? c)2 + (c ? a)2 ] 0. (a + b + c)2

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4b 8c a + 3c + ? a + 2b + c a + b + 2c a + b + 3c

? ?. )‰? -x = a + 2b + c, y = a + b + 2c, z = a + b + 3c, dd?) a + 3c = 2y ? x, b = z + x ? 2y , c = z ? y, l ,
a + 3c 4b 8c 2y ? x 4(z + x ? 2y ) 8(z ? y ) + ? = + ? a + 2b + c a + b + 2c a + b + 3c x y z √ √ √ y x z y = ?17 + 2 + 4 + 4 + 8 ?17 + 2 8 + 2 32 = ?17 + 12 2 x y y z √ √ √ ?? ? …= y = 2x, z = 2x=b = (1 + 2)a, c = (4 + 3 2)a?¤á. ?d¤? √ ??17 + 12 2.

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17.

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2 bn+1 bn?1 ? bn bn?2 = b2 n ? bn?1 ,

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17

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2 c2 n ? 4cn cn?1 + cn?1 + 2 = 0,

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2

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d 3 an+1 + an = 9an ? (an + an?1 ), Kan+1 + an ≡ ?(an + an?1 ) ≡ · · · ≡ (?1)n (a1 + a0 ) ≡ 0 (mod 3). an+1 + an ? ê, l an an?1 ? 1? ??ê. ?d, 3

18

ê {an }÷v: a1 = a2 = 1, an = 7an?1 ? an?2 , n 3. y?: éz?n ∈ N? , an + an+1 + 2 ? ??ê. )‰ ??ê m? ? ‘?: 1, 1, 6, 41, 281, 1926, · · · . 5? , a1 + a2 +2 = 22 , a2 + a3 +2 = 32 , a3 + a4 + 2 = 72 , a4 + a5 + 2 = 182 , · · · . Eê {xn }: x1 = 2, x2 = 3, xn = 3xn?1 ? xn?2 , n 3. K ? éz?n ∈ N , xn ? ê. ·?5y?: éuz?x ∈ N? , kan + an+1 + 2 = x2 n. ? 2 ?n ê {xn }÷v, éuz?k ∈ N , xk xk+2 ? xk+1 = 5. 2 2 ?n y? -f (k) = xk xk+1 ? x2 k+1 , Kf (k ) ? f (k ? 1) = (xk xk+2 ? xk+1 ) ? (xk?1 xk+1 ? xk ) = 2 2 (xk xk+2 + xk ) ? (xk+1 + xk?1 xk+1 ) = xk (xk+2 + xk ) ? xk+1 (xk+1 + xk?1 ) = 3xk xk+1 ? 3xk+1 xk = 0. ¤ ±f (k ) = f (k ? 1), u?f (k ) = f (k ? 1) = f (k ? 2) = · · · = f (1) = x1 x3 ? x2 2 = 5. 2 ? K, én8B, ??ê {an }??, a1 + a2 + 2 = 4 = x1 , a2 + a3 + 2 = 9 = x2 2 , e(??–n (n 2) ?¤á, Kéun + 1, k
22. an+1 + an+2 + 2 = (7an ? an?1 ) + (7an+1 ? an ) + 2 = 7(an + an+1 + 2) ? (an?1 + an + 2) ? 10 =
2 2 2 2 2 7x 2 n ? 7xn?1 ? 10 = (3xn ) ? xn?1 ? 2xn ? 10 = (3xn ? xn?1 )(3xn + xn?1 ) ? 2xn ? 10

2 2 2 = xn+1 (xn+1 + 2xn?1 ) ? 2x2 n ? 10 = xn+1 + 2(xn?1 xn+1 ? xn ? 5) = xn+1 .

=3n + 1?(??¤á,
23. ??ê

K

y.

{cn }÷vc0 = 1, c1 = 0, c2 = 2005, cn+2 = ?3cn ? 4cn?1 + 2008 (n = 1, 2, 3, · · · ) .

Pan = 5(cn+2 ? cn )(502 ? cn?1 ? cn?2 ) + 4n × 2004 × 501 (n = 2, 3, · · · ). ?: én > 2, an ????? ?ê, `?nd. )‰ dcn+2 ? cn = ?4(cn + cn?1 ) + 2008?an = ?20(cn + cn?1 ? 502)(502 ? cn?1 ? cn?2 ) + n+1 4 × 5012 . -dn = cn ? 251, Kdn+2 = ?3dn ? 4dn?1 , d0 = ?250, d1 = ?251, d2 = 1754. an = 20(dn + dn?1 )(dn?1 + dn?2 ) + 4n+1 × 5012 . -wn = dn + dn+1 , Kwn+2 = wn+1 ? 4wn , w1 = ?501, w2 = 1503, an = wn wn?1 + 4n+1 × 5012 . -wn = 501Tn , KTn+2 = Tn+1 ? 4Tn , T1 = ?1, T2 = 3, ? ?T0 = ?1, an = 5012 × 22 (5Tn Tn?1 + 4n ). x2 ? x + 4 = 0 ü???α, β , Kα + β = 1, αβ = 4, Tn ? αTn?1 = β (Tn?1 ? αTn?1 ) = · · · = β n?1 (T1 ? αT0 ) = ?β n?1 (α ? 1), Tn ? βTn?1 = ?αn?1 (β ? 1), (Tn ? αTn?1 )(Tn ? βTn?1 ) = 2 2 n (αβ )n?1 (α + 1)(β + 1) = 4n . =Tn ? Tn Tn?1 + 4Tn ?1 = 4 . 2 2 2 2 ? Tn Tn?1 + 4Tn l , an = 5012 × 22 (5Tn Tn?1 + Tn ?1 ) = 1002 (Tn + 2Tn?1 ) .
24. 3ê {an }?, a0 = 2007, an+1 = a2 n (n ∈ N) . ?y: an + 1 0 n 1004?, k[an ] = 2007 ? n

(??, [x]L???Lx

?? ê) . )‰ k?????K. a2 n a0 ∈ N? , an+1 = . ?y: [an ] = a0 ? n (0 an + 1

n

é?? ên, d4íú??an > 0. ??an ? an+1 a2 > · · · > an > · · · . ???, n? ê?,
n n

1 (a0 + 2)) . 2 a2 an n = an ? = > 0, ¤±a0 > a1 > an + 1 1 + an

an

= a0 +
i=1 n

(ai ? ai?1 ) = a0 ?
i=1

ai?1 1 + ai?1
n

=

a0 ?
i=0

1?

1 1 ? ai?1

= a0 ? n +
i=1

1 > a0 ? n. 1 + ai?1

19

n

i=1

,???, duan?1 > a0 ? (n ? 1), …a0 > a1 > a2 > · · · > an > · · · . u?, n = 1?, n n 1 n n 1 1 1 = < 1; n 2?, < 1. o?, < 1 + ai?1 1 + a0 1 + ai?1 1 + an?1 a0 ? n + 2 1 + ai?1 i=1 i=1
n

1. an = a0 ? n +

i=1

1 < a0 ? n + 1. 1 + ai?1

¤±, [an ] = a0 ? n.
25. ??ê

a0 = 2007, =

K.

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n

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i=1

1 (n = 1, 2, · · · , n) , y?: ê x2 i

{yn }k4?, ???T4?.

1 ) ‰ ? ?x n = > xn?1 , ¤±, xn > x1 = . x2 n?1 + 4xn?1 > (xn?1 + 2 2 1 1)2 ? xn > xn?1 + ? lim xn = +∞. n→+∞ 2 2 xn?1 + 4xn?1 + xn?1 2 2 ? 2 x n ? x n?1 = x 2 qxn = n?1 + 4xn?1 ? 4xn + xn?1 ? 4xn xn?1 = 2 1 1 1 ? . x2 n?1 + 4xn?1 ? 2 = xn xn?1 xn
n

x2 n?1 + 4xn?1 + xn?1

yn =
i=1

1 1 1 1 = ? +4=6? . x2 x x x 1 n n i 1 xn

l

,
n→+∞

lim yn = lim

n→+∞

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26.

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8 x8 k?1 ? xk , k (xk xk?1 )7

2. 0 < x1 < a?, ??küN5.

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x1 > a?, küN5x1 > x2 > · · · > xn > · · · ; 8 x8 k?1 ? xk )‰ dxk+1 xk?1 ? x2 ,k k = (xk xk?1 )7 xk+1 xk 1 1 ? = 8 ? 8 , xk x k ?1 xk xk?1

=
xk+1 1 xk 1 x2 1 7 ? 8 = ? 8 = ··· = ? 8 = . xk xk x k ?1 x k ?1 x1 x1 8 7 7 u?, xk+1 = xk + x? x1 > 0?, xk > 0, k 2. k , K 8 1 1 1 8 8 dxk+1 ? xk = xk x? , K x? < 0, =xk > 8 8 , kxk+1 ? xk < 0, =xk+1 < xk , k 1. k ? k ? 8 8 1 7 1 1 1 1 8 7 xk+1 = xk + x? 8 = 8 8 , … x k = 8 8 ?, ? ¤ á. u ?, a = 8 8 , K x 1 > 8 8 ?, k 7 8 8 1 x1 > x2 > · · · > xn > · · · . x1 < 8 8 ?, x2 > x1 …x2 > x3 > · · · > xn . 1 ¤? ~êa = 8 8 . 20

27.

{an }??

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ên (n

2) , ?an ?

2010

?.

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??ü>???±n(n + 1),
an an 3 = ? . n(n + 1) n(n ? 1) n(n + 1) bn = an (n n(n ? 1) 2) . ? bn+1 = bn ? 3 . n(n + 1) bn = bn?1 ? 3 , bn?1 = bn?2 ? n(n ? 1)

3 1 , · · · · · · , b3 = b2 ? . ±? (n ? 1)(n ? 2) 2
n

???,
1 = b2 ? 3 k (k ? 1) 1 1 ? 2 n

bn = b2 ? 3
k=3

.

5? an = n(n ? 1)bn , a2 = 2b2 . K
an = n(n ? 1) a2 ?3 2 1 1 ? 2 n = (n ? 1) (a2 ? 3) n +3 . 2

qa2 ??ê, ?” a2 = 2p + 1 (p ∈ N) , Kan = (n ? 1)[(p ? 1)n + 3]. l , a2009 = 2008(2009p ? 2006). q2010 | a2009 , K2008(2009p ? 2006) ≡ 0 (mod 2010) ? 2009p ? 2006 ≡ 0 (mod 1005) ? p ≡ 4 (mod 1005). l , ?3 êq ?
an = (n ? 1)[(4 + 1005q ? 1)n + 3] = (n ? 1)[(1005q + 3)n + 3].

d2010 | an , n??ê, ?”
28. ê

2010 | (n ? 1)[(1005q + 3)n + 3], =2010 | (n ? 1)(3n + 3) ? 670 | (n ? 1)(n + 1). n = 2r + 1 (r ∈ N) . ?d, 335 | r(r + 1). ¤±, rmin = 134, n = 269.

{an }??Xe: a1 = 1, an+1 = d(an ) + c, n = 1, 2, · · · .

??c???(? ê, d(m)L?m ê ?ê. y?: ?3 êk? ê ak , ak+1 , · · · ?±?ê . )‰ ky?Xe?n. ?n é?? êm, ?k m d(m) + 1. 2 m ?n y? w,, 3 + 1 m ? 1?m??3m ê, K 2 m m m ? d(m) (m ? 1) ? +1 +1 ? 1. 2 2 m l , d(m) + 1. ?n y. 2
21

e?y?, é?? ên (n 2) , ?kan 2c + 1. ^?y{. b t (t 2) ?? an 2c + 2¤á ? ê, Kd(at?1 ) + c 2c + 2, =d(at?1 ) at?1 + 1, c + 2. qdd(at?1 ) 2 at?1 + 1 c + 2, 2 =at?1 2c + 2, ù?t ? 5g?. l , é?? êi, ?kai ∈ {1, 2, · · · , 2c + 1}, u?, 7?3i, j (i = j ) , ? ai = aj . ??4íê 5?, ?ê {an }7l,?‘??±?ê . êê a0 , a1 , · · · , an ÷v|ai ? ai?1 | = i2 (i = 1, 2, · · · , n) , K?Tê ?“ ”ê . (1) y?: é??ü? êb, c (b < c) , 7?3?? ên 9 ? ? ê a0 , a1 , · · · , an , ÷ va0 = b, an = c; (2) ?é?? ên, ? ?3?? ê a0 , a1 , · · · , an , ??, a0 = 0, an = 2012. 2 )‰ (1) ?Iy?: êc?k/?c = b ± 1 ± 22 ± · · · ± m2 . 5? , é?? êk kk 2 ? (k + 1)2 ? (k + 2)2 + (k + 3)2 = 4. Pc = b + 4s + r (r = 0, 1, 2?3) , K r = 0?,
c = b + (12 ? 22 ? 32 + 42 ) + (52 ? 62 ? 72 + 82 ) + · · ·,
s|

29. e

r = 1?, c = b + 12 + (22 ? 32 ? 42 + 52 ) + (62 ? 72 ? 82 + 92 ) + · · ·,
s|

r = 2?, c = b + 2 + 4s = b ? 12 ? 22 ? 32 + 42 + (52 ? 62 ? 72 + 82 ) + (92 ? 102 ? 112 + 122 ) + · · ·,
s|

r = 3?, c = b + 3 + 4s = b ? 12 + 22 + (32 ? 42 ? 52 + 62 ) + (72 ? 82 ? 92 + 102 ) + · · · .
s|

3±?o??/e, ?? (2) 5? ,

E??
ak

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Ka17 1785. ?d, n 18. 2 ¤?k ?, ?ó5?C) . n = 19?, 12 + 22 + · · · + 192 = 2470 = 2012 + 458 = 2012 + 2 × 229. d229 = 152 + 22 , 2012 = 12 ? 22 + · · · + 142 ? 152 + 162 + 172 + 182 + 192 . l , ¤?n ? ??19.
30.

k (k + 1)(2k + 1) . 6 12 + 22 + · · · + 182 ??ê, 2012?óê, ?d, n > 18 (e,?k 2 C

ü ê {an }, {bn }÷v (1) a0 = 1 a1 , an (bn?1 + bn+1 ) = an?1 bn?1 + an+1 bn+1 (n
n

1) ;

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3 2

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22

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n?1

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k=0

1 . bk bk+1

¤±,
n k=0

a0 1 < . bk bk+1 b0 b1 (a0 ? a1 ) bn + bn+1 , 2

2

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bn bn+1 , Kxn
n n

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bi
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3

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3

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2 x2 k+1 · · · x2k

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2

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2n

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31. ‰??êa?

0) .

ên . ?y: (1) ?3?? ?êê x0 , x1 , · · · , xn , xn+1 , ÷v ? ? x0 = xn+1 = 0, 3 ? 1 (xi+1 + xi?1 ) = xi + x3 i ? a , i = 1, 2, · · · , n; 2
(2) (1) ?

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x0 , x1 , · · · , xn , xn+1 ÷v |xi | |a|, i = 0, 1, · · · , n + 1.

3 )‰ (1) ?35. dxi+1 = 2xi + 2x3 3i?1 g i ? 2a ? xi?1 , i = 1, 2, · · · 9x0 = 0?z?xi ?x1 ?Xê?‘?, l , xn+1 ?x1 3n g?Xê?‘?. du3n ??ê, ?3?êx1 , ? xn+1 = 0. dx1 9x0 ?O??xi . Xd ê x0 , x1 , · · · , xn+1 ÷v¤‰^?. ??5. w0 , w1 , · · · , wn+1 ; v0 , v1 , · · · , vn+1 ?÷v^? ü?ê , K

1 1 3 3 (wi+1 + wi?1 ) = wi + wi ? a3 , (vi+1 + vi?1 ) = vi + vi ? a3 . 2 2 23

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1 2 2 (wi+1 ? vi+1 + wi?1 ? vi?1 ) = (wi ? vi )(1 + wi + wi vi + vi ). 2
2 2 + wi0 vi0 + vi ) |wi0 ? vi0 |(1 + wi 0 0

|wi0 ? vi0 |??, K |wi0 ? vi0 |.

|wi0 ? vi0 |

1 1 |wi +1 ? vi0 +1 | + |wi0 ?1 + vi0 ?1 | 2 0 2

l

2 2 2 2 + (wi0 + vi0 )2 = 0. + vi = 0, =|wi0 ? vi0 | = 0, ?wi + wi0 vi0 + vi , |wi0 ? vi0 | = 0, ?1 + wi 0 0 0 0

¤±, |wi0 ? vi0 | = 0o¤á. d|wi0 ? vi0 | ??5?¤k|wi ? vi | = 0, =wi = vi , i = 1, 2, · · · , n. (2) |xi0 |??, K
|xi0 | + |xi0 |3 = |xi0 |(1 + x2 i0 ) = 1 1 |xi +1 | + |xi0 ?1 | + |a|3 2 0 2 1 (xi +1 + xi0 ?1 ) + a3 2 0

|xi0 | + |a|3 .

¤±, |xi0 |

|a|. ?d, |xi |

|a|, i = 0, 1, 2, · · · , n + 1.

,K?ù
2009

32. ?êf (x) =
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2009π x ? cos 3?m 0, i 2

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" : ?x i =

i

e??I??f (x)3xi (i = 1, 2, · · · , n ? 1) C???. x x x cos 3xi ?C? …= i = k (2m + 1). ?êcos x, cos , · · · , cos ?3xi ?C? ?ê ui k 2 n ??ê ?ê. f (x)3xi ?C? …= ik?ê???ê. -i = 2l j (j ? ? ê) . Ki, j k ? ? ? ? ? ê. ???êk?ê???ê …= §?? l ?ê, j ???ê …= 2 j ?????ê??????ê ü (?6ul ?ó5) , 1 n ? 1? √ n?1 k[ n ? 1]???ê, ?ü ??ê. 2
√ C?gê?[ n ? 1] + 33. ???¤k n?1 = 44 + 31 = 75. 2

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êa, b, c, ???3n>??O?a, b, c n /. )‰? ?(a ? b)2 + (b ? c)2 + (c ? a)2 0, a2 + b2 + c2 ê, ?d, k 6. du??3>??O?1, 1, 2 n /, ?K , k
k (1 × 1 + 1 × 2 + 1 × 2)

ab + bc + ca. ??k > 5. 5?

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5(12 + 12 + 22 ),

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6.

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? = [6(a + b)]2 ? 4 × 5(5a2 + 5b2 ? 6ab) = 64[?(a ? b)2 + ab] 64ab 64 a+b 2
2

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24

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6(a + b) + c< 10 ùL?±a, b, c???? ¤n /.



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6. ?”

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?6(ab + bc + ca) > 5(a2 + b2 + c2 )g?. )‰n ?)‰? k 69k 6. 3 ?f (x)3 (a + b), +∞ ?4O, … 5

c < a + b.

E?êf (x) = 5x2 ? 6(a + b)x + 5a2 + 5b2 ? 6ab, Kf (c) < 0.

f (a + b) = 5(a + b)2 ? 6(a + b)(a + b) + 5a2 + 5b2 ? 6ab = 4(a ? b)2 c < a + b. 34. ‰??é????u10 0.0001.

0,

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√ ?: 2 + 3?????ù??‘? ?? √ )‰ ò2 + 3“\ √ √ √ 3) = (2 + 3)2 + a(2 + 3)2 + b(2 + 3) + c √ √ √ √ = 8 + 12 3 + 18 + 3 3 + 4a + 4 3a + 3a + 2b + 3b + c √ = (26 + 7a + 2b + c) + (15 + 4a + b) 3. f (2 + √

√ √ 7a + 2b + c + 26 = m, 4a + b + 15 = n, K|m| < 130, |n| 65. K|m ? n 3| |m| + |n 3| < 260. √ √ √ XJf (2 + 3) = 0, =m + n 3 = 0, dum, n ∈ Z, 3??nê, Km = 0…n = 0. d √ um ? n 3 = 0, ¤±m2 ? 3n2 = 0, |m2 ? 3n2 | 1. K |f (2 + √ √ √ √ (m ? n 3)(m + n 3) m2 ? 3n2 √ √ 3)| = |m + n 3| = = m?n 3 m?n 3 √ 3??????‘? 1 1 √ > , 260 m?n 3

g?. ¤±, 2 +
35. ???

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max{|x ? (a ? d)|, |y ? a|, |z ? (a + d)|} > td. 1 )‰ ÷v?? t ?0 < t < . 2 1 2 ?k, é0 < t < , λ = , Kλ > 1. -xi = λi , X = {x1 , x2 , · · · }. 2 1 ? 2t b ?3a ∈ R, d ∈ R+ 9x i , x j , x k , ? max{|xi ? (a ? d)|, |xj ? a|, |xk ? (a + d)|} td,

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(?1 ? t)d ?td xi ? a xj ? a 25 (?1 + t)d, td, 1 2

(1 ? t)d

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3

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(1 ? 2t)d (1 ? 2t)d 1 ??t < , 2 1 ? 2t > 0, ?d, d 4 , 5 xj ? xi xk ? xj (1 + 2t)d, (1 + 2t)d. 4 5

xj ? xi > 0, xk ? xj > 0, (?λ > 1?i < j < k , ???, k xk ? xj xj ? xi 1 + 2t , 1 ? 2t

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?x < y < z , ??3a ∈ R, d ∈ R+ ,
td.

max{|x ? (a ? d)|, |y ? a|, |z ? (a + d)|} x+z ???, -a = , d = z ? x, K 2 max{|x ? (a ? d)|, |y ? a|, |z ? (a + d)|} = max

x+z z?x z?x , y? , 2 2 2

=

1 z?x = d 2 2

td.

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1 2

t??÷v??. t?0 < t < 1 . 2 n?

n?¤?, ¤? ??÷v??
36. ?¤k?

u3

ên , ?

éu??‰?
Mn

êa1 , a2 , · · · , an , ?3??
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êMn , ÷

v? ?
a1 + a2 + · · · + an √ n a1 a2 · · · an a3 an a1 a2 + + ··· + + a1 a2 an?1 an

)‰ (1) n = 3?, ·?y?? M3 = 3. a2 a3 a1 a2 a3 a1 é??3? êa1 , a2 , a3 , + + = M . ¤±, , , < M. a1 a2 a3 a1 a2 a3 1 1 1 ?” a3 a1 , a2 , Ka2 > a3 , a1 > a2 > 2 a3 . M M M
a1 + a2 + a3 < √ 3 a a a 1 2 3 3a3
3

1 1 a3 · a3 a3 · M2 M

= 3M.

?d, M3 = 3÷vK ??. (2) n 4?, ·?y???3ù Mn . 2 b ù Mn ?3, -a1 = k , a2 = k , · · · , an = k n , KAk
k + k2 + · · · + kn √ n k · k2 · · · · · kn Mn (n ? 1)k + 1 n k ?1 .

n?1 kn k + k2 + · · · + kn k + k2 + · · · + kn 2 . √ > = n+1 n+1 = k n 2 n k · k · ··· · k k 2 k 2

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n?1 2

Mn [(n ? 1)k + k ?(n?1) ].
n?3 2

k

n?3 2

Mn [(n ? 1) + k ?n ].

-k → +∞, k n?, ¤?

→ +∞ ,

Mn [(n ? 1) + k ?n ] → Mn (n ? 1), g?.

ê?n = 3.
26

? u1 ên, ???32n?üü?? êa1 , a2 , · · · , an , b1 , b2 , · · · , bn , ?? ÷v±eü?^?: (1) a1 + a2 + · · · + an = b1 + b2 + · · · + bn ; n 1 ai ? bi (2) n ? 1 > >n?1? . a + bi 1998 i=1 i ?`?nd. )‰? ?3??·K?? 2n?ê. -ai = 2M i, bi = 2i (i = 1, 2, · · · , n ? 1; M ??u? u8000n ê) , an = (M ? 1)2 n(n ? 1), bn = M (M ? 1)n(n ? 1). w,, ??2n?êüü??, …a1 + a2 + · · · + an = b1 + b2 + · · · + bn = n(n ? 1)(M 2 ? M + 1). ,???, ·?k
n

37. éu‰?

i=1 n

ai ? bi ai + bi ai ? bi ai + bi

= = >

(n ? 1)

M ?1 1 ? < n ? 1, M + 1 2M ? 1 2(n ? 1) 1 ? M +1 2M ? 1

n?1? n?1?

i=1

1 2(n ? 1) ? 8000n 2M ? 1 2(n ? 1) 1 > n?1? ? 8000n 8000 1 > n?1? . 1998

?d, ??¤‰ 2n?ê??·K??. )‰ ?k, rK8 ^?U ?Xeo^: (i) a1 , a2 , · · · , an , b1 , b2 , · · · , bn ?2n?üü?? ê; (ii) a1 + a2 + · · · + an = b1 + b2 + · · · + bn ; n ai ? bi 1 (iii) ê) ; > n ? 1 ? (ε???‰? a + bi ε i=1 i
n

(iv) n ? 1 >
i=1

ai ? bi . ai + bi

?g, y?d(i) ?(ii) ?±í?(iv). ??
n

i=1

ai ? bi = ai + bi n, ?

n

1?
i=1

2bi ai + bi

n

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i=1

2bi . a i + bi
n

d(i) ?(ii) ?, ?3i1 , 1

i1

bi1 > ai1 , ù?

2bi1 > 1, ai1 + bi1

i=1

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ai = M (2i ? 1), bi = 2i (i = 1, 2, · · · , n ? 1, M ?–? ?(n ? 1)M + 2

ê) , “\(ii)

(n ? 1)n (n ? 1)n M + an = 2 + bn . 2 2

u?, éu‰?
bn = an + (n ? 1)[M (n ? 1) ? n]. an n > 1, -M → +∞, … → +∞ (~X, ? an = M 2 ) , w,?? M a1 , a2 , · · · , an , b1 , b2 , · · · , bn ?
n

^ ?(i) ?(ii) (
n?1

,?

(iv) ) , ? ? ? ?

^ ?(iii) , ? ? d(i)

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i=1

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i=1

4i 2an + 2(n ? 1)[M (n ? 1) ? n] an ? → n ? 1 (??M → +∞, → +∞) . 2i + M (2i ? 1) 2an + (n ? 1)[M (n ? 1) ? n] M 27

ùT??X M ?
38. ‰?

an v M

n

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i=1

1 ai ? bi > n ? 1 ? , =? ai + bi ε

^?(iii) .

ên

3, ???

?êM , ? é?? ?ê x1 , x2 , · · · , xn , ??3???ü y1 , y2 , · · · , yn ,
n 2 yi 2 ? yi+1 yi+2 + yi +2

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M,

??, yn+1 = y1 , yn+2 = y2 . )‰ -F (x1 , x2 , · · · , xn ) = ?k

n

x2 i=1 i+1

x2 i . ? xi+1 xi+2 + x2 i+2

x1 = x2 = · · · = xn?1 = 1, xn = ε, d?¤kü F (x1 , x2 , · · · , xn ) = n ? 3 +

3????e????, ·?k

2 + ε2 . 1 ? ε ? ε2

-ε → 0+ , ????un ? 1, M n ? 1. ?g·?y?é?? ?êx1 , x2 , · · · , xn , ??3??ü y1 , y2 , · · · , yn , ÷vF (y1 , y2 , · · · , yn ) n ? 1. ??? ü y1 , y2 , · · · , yn ÷vy1 y2 · · · yn , |^? ?a2 ? ab + b2 max{a2 , b2 }é ?êa, b¤á, ?? 2 2 2 yn y2 y1 ?1 + + · · · + n ? 1. F (y1 , y2 , · · · , yn ) 2 2 2 y2 y3 y1 ? ???
A?

????? ?. n?¤?, M = n ? 1.

ê8 ????f8. XJ¤k??? ê??± ¤A?ü?ê??(?±? ?) , K?A??? ?. éx 1, PA(x)?A?¤k??Lx ê | ¤ 8 ?. y ?: ? 3 ? ? √ ?A9 ~êc, ? é¤kx 1, ?k|A(x)| c x. )‰ ? ? n ? n ? A= 22bi |0 b1 < · · · < bn , bi ∈ Z ∪ 22cj +1 |0 c1 < · · · < cm , ci ∈ Z . ? ?
39.
i=1 j =1

dz?? ê??±L?2k1 + 2k2 + · · · + 2kr , 0 k1 < k2 < · · · < kr /?92k = 2k?1 + 2k?1 (k 1) , ?A??? ?. √ √ 2b1 2b2 e2 + 2 + · · · + 22bn x, K22bn x, 2bn x. l , 2b1 + 2b2 + · · · + 2bn < 2bn +1 < 2 x. √ ?d, A(x)?/X22b1 + 22b2 + · · · + 22bn ê ?ê??L2 x. x x, 2cm e22c1 +1 + 22c2 +1 + · · · + 22cm +1 x, K22cm +1 . l , 2c1 + 2c2 + · · · + 2cm < 2 √ √ 2cn +1 < 2x. ?d, A(x)?/X22c1 +1 + 22c2 +1 + · · · + 22cm +1 ê ?ê??L 2x. √ √ ¤±, |A(x)| (2 + 2) x. êa, b, b > a > 1, a?U ?b9‰? êê {bn }∞ n=1 , ÷ v é ¤ k ∞ ên, kan+1 ? an ∈ {a, b}, …é¤ ênkbn+1 2bn . ??o?3 ê ê {an }n=1 ? é¤k k êm, l (?±??) , kam + al ∈ {bn }∞ ? n=1 )‰ ‰Y?’? , ·?^8B{y?{an } ?3. ? ? k a1 ? ê, ? 2a1 ∈ {bn }∞ n=1 …a1 > b ? a (~Xdbn → +∞??3n0 ∈ N , ?bn0 > b ? a + 1, a1 = bn0 ? 1, Ka1 > b ? a…2a1 = 2bn0 ? 2 < bn0 +1 , 2a1 ∈ {bn }∞ n=1 ) . ?g, b a1 , a2 , · · · , ak ? ?, ÷vai+1 ? ai ∈ {a, b} (i = 1, 2, · · · , k ? 1) …al + am ∈ {bn }∞ n=1 (1 l k, 1 m k ) . ??ak+1 ? ak ∈ {a, b}, ak+1 ??kak + a?ak + bü??U, l a1 + ak+1 , a2 + ak+1 , · · · , ak + ak+1 , ak+1 + ak+1 ??ke ü??U:
28 40. �

(I) a1 + (ak + a), a2 + (ak + a), · · · , ak + (ak + a), 2(ak + a); (II) a1 + (ak + b), a2 + (ak + b), · · · , ak + (ak + b), 2(ak + b).

e?·?y?(I) (II) ?– k????{bn }∞ ‘. e(I) ?k{bn }∞ ?‘bu , ?…(II) n=1 ? n=1 ? ∞ ?k{bn }n=1 ? ?‘bv , Kdb < a1 + a, 2(ak + b) < 2(a1 + ak + a) 2bu , l bv 2(ak + b) < 2bu bu+1 . qbv+1 2bv 2(a1 + ak + b) > 2(a1 + ak + a) > 2(ak + a) bu , bu = bv . qbv = bu < 2(ak + a) < 2(ak + b), l ?31 j k, ? bv = aj + ak + b. ?/1: bu = ai + ak + a (1 i k) , d?, 0 = bu ? bv = ai ? aj + a ? b, l ai ? aj = b ? a > 0, d8Bb , kai ? aj = ca + db (c, d??K ê) , u?ca + db = b ? a, (1 ? d)b = (1 + c)a > 0, ¤ ±d = 0, b = (1 + c)a, ù?a bg?. ?/2: bu = 2(ak + a), d?0 = bu ? bv = ak ? aj + 2a ? b, l ak ? aj = b ? 2a, d1 j k , ?ak ? aj 0. 2d8Bb ?ak ? aj = c a + d b (c , d ??K ê) , u?c a + d b = b ? 2a, (1 ? d )b = (2 + c )a > 0, ¤±d = 0, b = (2 + c )a, g?. (I) (II) ?– k????{bn }∞ n=1 ? ‘. ?d? ak+1 = ak +a?ak+1 = ak +b, ? ai +ak+1 ∈ ∞ {bn }n=1 (1 i k + 1) , u?·K y.

29


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