tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

数学命题及其教学


西华师范大学数学与信息学院 杨孝斌

一 、判断与命题概述
(一)判断的意义、分类和结构
1、判断的意义

判断:是对思维对象有所断定的一种思维方式.
例如:“2是自然数”、“1是质数”、“A=B”、 “1+2=9”

判断具有两个基本特征:
(1) 一定要“有所断定”.

/>
不能作出肯定或否定的思维形式,不称其为判断.

例如:“1小于9吗?”“1+2=3吗?”等都不是判断.
(2) 判断有真假之分.

2、判断的分类(一)

判断

? ? 简单判断 ? ? ? ? ? 复合判断 ? ? ? ?

? 性质判断 ? ? 关系判断 ? 负判断 ? ? 联言判断 ? ? 选言判断 ? 假言判断 ?

2、判断的分类(二)

? ? 肯定判断 ? ? ? ? ? 否定判断 ? ?

? 全称肯定判断( ? ? 特称肯定判断(

A ):“所有 I ):“有些

S 都是 P ”,简记为 S 是 P ”,简记为 SIP

SAP

? 全称否定判断( ? ? 特称否定判断(

E ):“所有 O ):“有些

S 都不是 P ”,简记为 S 不是 P ”,简记为

SEP SOP

3.判断的结构
(判断)=(量项)+(主项)+(连项)+(谓项)

判断



有些

直角三角形

不是

等腰三角形

(二)命题及其基本运算
1 命题的含义
命题:表达判断的陈述语句.

(1)数学有一类语句的表达没有真假可言,如:含 有变量x的“x-1=2”和“x>3” 就是没有判断真假的句 子.

(2)命题也有真假之分,命题可用A,B,C或 p,q,r等表示. 当命题p是真命题时,记为“p=1” . 当命题p是假命题时,记为“p=0”. 这里的1和0就称为命题的真值.

2、命题的运算
(1)否定(非) 命题p的否定,记作 p ,读作“非p”,有时也称 为负命题或否定命题。其真值表如下:

P 1 0

p

0 1

(2)合取(与、并且)
两个命题p,q用逻辑联词“与”联结起来的新命题“p与

p? q”称为命题的合取式,也称为联言命题.记作“ q



p
1 1
0

q

p? q
1 0 0 0

1
0

0 1

在中学数学教学中,合取式常用其简化形 式表达: 如: ( 2>1) ∧(2<3) 简记为 1<2<3

“15是3的倍数且15是5的倍数”简记 为“15是3和5的公倍数”.

(3)析取(或)
两个命题p,q用逻辑联词“或”联结起来的新 命题“p或q”称为命题p,q的析取式,也称选言命 题.记作“ q ” p?

p
0

q
1 0 1

p? q
1 1 1 0

1 1 1 0 0

有一个 为真析 取为真

在中学数学教学中,析取式也常用其简化 形式表达: 如:(x=5)∨(x<5) 简记为 x≤5 .

(4)蕴涵(如果(若)---,那么(则)---)
把两个命题用逻辑连词“如果---,那么---”(或:若—— 则——) 联结起来,得到新的(复合)命题“如果p,那么q”,或

者“若p,则q”就称为蕴涵式,也称假言命题.
“p ? q ”.

记作

其中p叫做蕴涵式的前件(或条件),q叫做后件(或结论).

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p ? q

1 0 1 1

如条件本身不真, 则命题视为真.

注释:
________ ________

可用真值表 验证一下

1)

p ? q ? p ? q ? p? q

等价命题
若两个命题的真值完全相同,则这两个命题
称为等价命题(或逻辑等价).记着“≡”.

逻辑等价的两个命题,在推理论证时可以互
相替换.

常用的逻辑等价式(略).

2)“若1+2=3,则雪是白的”在逻辑学 上是真命题,但不能作为数学上的真命 题. (条件和结论间没有实质性的联 系) 3)“若1>2,则7<5”在逻辑学上是真 命题,但不能作为数学上的真命题.

(条件不真,结论无实际意义)

(5)等价(当且仅当)
把两个命题p,q用逻辑连词“当且仅当”联 结起来得到的新命题“p当且仅当q”称为等价式, 记作 p ? q p . q 也称为充分必要假言命题.
p? q

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 1

注意其与 “蕴涵” 的差别

注:等价式与逻辑等价是不一样的.

等价式是由p,q构成的新命题

p? q;

而逻辑等价是指两个命题p,q间的关系:
p ? q 即两个命题的真值表是完全相同的.

例1:求复合命题 例2:求复合命题

( p∧q) →p的真值. p ∧

p

的真值.

恒真命题和恒假命题

二 命题运算应用举例
1.命题的四种形式及关系

p
1 1

q
1 0

p

q
0 1

p ? q q? p p ? q q ? p

0 0

1 0

1 1

1 1

1 0

0
0

1
0

1
1

0
1

1
1

0
1

0
1

1
1

注:从表中可以看出,互为逆否关系的两个命题是等价的.

2.命题的条件
p ? q

q ? p
q ? p

P是q的 充分但非必要

1

0

0
1 0

1
1 0

必要但非充分
充分且必要 既不充分又不必要

3.命题的合并
(1)同一数学对象的诸性质定理可以合并.

依据:
( p ? q1 ) ? ( p ? q 2 ) ? ( p ? q1 ) ? ( p ? q 2 ) ? p ? (q1 ? q 2 ) ? p ? (q1 ? q 2 )

例题:若两条直线平行,则同位角相等且内错角相等.

(2)同一数学对象的判定定理也可以合并. 依据:
(q1 ? p ) ? (q 2 ? p ) ? (q1 ? p ) ? (q 2 ? p ) ? (q1 ? q 2 ) ? p ? q1 ? q 2 ? p ? (q1 ? q 2 ) ? p

例题:同位角相等或内错角相等,则两直线平 行.

(3)相应的性质定理与判定定理还可以进一步合并. 例题: “两条直线平行的充要条件是同位角相等” 与“两条直线平行的充要条件是内错角相等”可 以合并为“两条直线平行的充要条件是同位角相

等或内错角相等”.

4.逆命题的制作
按逻辑学上的规定,就是将原命题的结论与 条件交换即可. 但在初等数学中,往往还研究将一个复合命 题中相同个数的条件与结论交换位置所得的“逆 命题”,有人称之为“偏逆命题”. 即:把复合命题的结论与其中一个条件交换位置 而得的命题.

如命题“若a ? b , c ? 0 则ac ? bc ”,它有一 a 个逆命题“若 ? bc 则? b , c ? 0 ” ac

但它还有两个“偏逆命题”: ac ? bc “若c ? 0 ,则 ”,

a ?b

“若 ac ? bc , c ? 0

,则 a ? b ”.

制作“逆命题”的注意事项:

(1)必须分清条件和结论.
例如:“在 Rt ? 中,若一锐角等于 0 ,则它 30

所对的边等于斜边的一半”及“若在两个三角形
中有两对对边相等,则第三边大的所对的角也大” 中的“? Rt ”及“ 第三边”也都是条件。

制作“逆命题”的注意事项:

(2)命题的条件、结论互换后,必须要适当作些 语词修饰.

如“等腰三角形两底角相等”的逆命题制作 必须要适当作些语词修饰.

制作“逆命题”的注意事项:
(3)命题的条件、结论中,如果含有多个判 断的选言判断,在制作逆命题时,选言判断只

能当作一个整体,不能再加以分解.
2 a 如:“若 ? 0 , 或 a ? 0 ,则 a ? 0 一个逆命题而没有偏逆命题.

”只有

5、否命题、逆否命题的制作
可根据命题的逻辑运算,应注意全称量词


系.

?



和特称量词

“ ?



的互换关

二、数学命题的教学
概念、命题、推理、证明的密切联系: ?命题由概念组成,概念由命题揭示; ?命题是推理的要素,推理可获得命题;

?命题是证明的依据,而命题的真实性一
般又需经证明而确认.

数学命题教学的基本要求是: 使学生认识命题的条件和结论,掌 握命题推理证明的方法,运用所学命题进 行推理论证并解答实际问题,进而弄清数 学命题间的关系,将学过的命题系统化, 形成结构紧密的知识体系,从而发展和提

高学生的认识水平和数学能力.

1.数学命题引入的教学
(1)发现式引入——通过实践去发现;

(2)过渡性引入——新公式通过旧公式过渡 迁移而引入. 2.数学命题证明与推导的教学
公式、定理的教学重点在于让学生掌 握证题的思路和方法,对于有典型意义的 思想、方法要及时加以总结,以提高学生 的解题能力.

3.数学命题应用的教学

数学命题是解决数学问题的工具,学 习公式、定理的目的就在于应用,它是理 论联系实际的重要教学环节.
4.建立数学命题系统知识的教学 数学是由概念、命题构成的逻辑体系, 要对公式、定理有较深刻的认识,就必须 了解公式、定理在数学知识体系中的地位、 作用及相互间的逻辑联系.

中学数学教学过程中,命

题的教学相当重要,作为师范
生应了解命题结构及变化的基 本规律,否则搞好数学教学将

很困难.


推荐相关:

如何进行数学命题的教学

如何进行数学命题的教学_专业资料。龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 如何进行数学命题的教学 作者:钱国元 来源:《职业· 下旬》2011 年第 03 期 中学数学...


第4章 专题二:数学命题及其教学

第4 章 数学教学理论与实践 专题二: 专题二:数学命题的教学 数学中的命题,包括公理、定理、公式、法则、数学对象的性质等。 一、数学命题学习的三种形式 根据...


第二节 数学命题的教学

第二节 数学命题的教学_教学计划_教学研究_教育专区。教学案例第二节 数学命题的教学 数学中的定义、公理、定理、公式、性质和法则等都是数学命题。由于数学命题 ...


近三年江苏高考数学命题的特点及教学建议

近三年江苏高考数学命题的特点及教学建议靖江市第一高级中学 一、近三年江苏卷的命题规律 对 2010 年是江苏省高考数学试卷的评价褒贬不一,普遍反映较难,甚至认为有...


初中数学命题课的初步探讨

初中数学命题课的初步探讨_初二数学_数学_初中教育_教育专区。初中数学命题课的初步探讨教学目标: 1.掌握命题课的基本要求及教学中要注意的问题; 2.探讨出命题课中...


《命题及其关系》教学设计

命题及其关系》教学设计_高二数学_数学_高中教育_教育专区。公开课教学设计 《命题及其关系》教学设计一、教材分析 1. 教材的内容和地位 《命题及其关系》 是...


中考数学命题研究及有效课堂教学策略

中考数学命题研究及有效课堂教学策略 2015 年常州中考数学命题作了一些调整,但试题仍然严格遵循课程标准和命题指导思想, 注重考查学生数学基础知识和知识应用能力。 对...


沪科版八年级数学14章 命题与证明--教学反思

《14 章 命题与证明 6》的教学反思 三铺初中 蒋万贵 本节课目标明确, 预设很充分, 课堂教学过程中能紧扣教学目 标,每个环节都有明确的指向性问题。很注重学法...


高考数学命题规律与数学教学策略

高考数学命题规律与数学教学策略_教育学/心理学_人文社科_专业资料 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高考数学命题规律与数学教学策略_教育学/心理学_人文社科_...


高中数学人教版A选修2-1教学设计1.1.1 命题及其关系(一)

高中数学人教版A选修2-1教学设计1.1.1 命题及其关系(一)_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教版A选修2-1教学设计 第一课时 1.1.1 命题及其关系(一) ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com