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四川省成都市五校2015-2016学年高二数学下学期期中联考试题 理


成都市五校联考高 2014 级第四学期期中试题 数学(理科)
(全卷满分:150 分 完成时间:120 分钟) 注意事项: 选择题答案用铅笔涂写在机读卡上,每小题选出答案后,用铅笔把对应题目的答案标号 涂黑.其它题答在答题卷上. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合

题目 要求的.) 1 . 命题“ ?x ? R, sinx ? 1 ”的否定是 ( ▲ )

A. ?x0 ? R, sinx0 ? 1 C . ?x ? R, sinx ? 1

B. ?x0 ? R, sinx0 ? 1 D. ?x0 ? R, sinx0 ? 1

2 . 双曲线 9 y 2 ? 16x 2 ? 144的渐近线方程是 ( ▲ ) 4 3 16 9 A. y ? ? x B. y ? ? x C. y ? ? x D. y ? ? x 3 4 9 16 ' ' 3 . 在同一坐标系中,将曲线 y ? 3 sin 2 x 变为曲线 y ? sin x 的伸缩变换是 ( ▲ )

?x ? 2x' ?x' ? 2x ? ? A, ? B, ? ' 1 1 ' ?y ? y ?y ? y 3 3 ? ? ' ' ? ? ?x ? 2x ?x ? 2x C, ? D , ? ' ' ? ? ?y ? 3y ?y ? 3y 4 . 已知命题 p : 命题“对角线互相垂直的四边形是 菱形”的否命题是真命题; x2 y2 “5 ? k ? 9” ? ? 1 表示椭圆的充要条件。 命题 q : 是方程 9?k k ?5
则下列命题为真命题的是 ( ▲ )

A. ?p ? q

B. ?p ? ?q

C. p ? q

D . p ? ?q

5 . 在极坐标系中,圆心为 ( 2,

?
4

) ,半径为 1 的圆的极坐标方程是 ( ▲ )

A. ? ? 8 sin( ??

?
4

)

B . ? ? 8 cos( ??

?
4

)

)? 3 ? 0 4 4 x2 y2 6 . 已知 F1、F2 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点, P 是椭圆上一点,且 a b
PF2 ? F1 F2 , ?PF1F2 ?
A.

C . ? 2 ? 4 ? cos(? ?

?

)? 3 ? 0

D. ? 2 ? 4 ? sin( ??

?

?

6

。则椭圆的离心率是 ( ▲ )

1 2 3 5 B. C. D. 2 2 3 5 2 2 2 2 7 . 与⊙ C1 : x ? ( y ? 2) ? 25 内切且与⊙ C2 : x ? ( y ? 2) ? 1 外切的动圆圆心 M 的轨
迹方程是 ( ▲ )

1

x2 y2 y2 x2 A. ? ? 1( y ? 0) B. ? ?( 1 x ? 0) 9 5 9 5 x2 y2 y2 x2 C. ? ? 1( x ? 3) D. ? ? 1( y ? 3) 9 5 9 5 lnx 8 . 设函数 f ( x ) ? ,已知曲线 y ? f ( x ) 在点 (1,f (1)) 处的切线与直线 x?a 2 x ? y ? 3 ? 0 平行,则 a 的值为 ( ▲ ) 3 1 3 1 A. ? 1 或 ? D. 1 或 ? B. ? C. ? 2 2 2 2 9 . 已知极坐标的极点在直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合。曲线 C 的参 ? x ? 3 cos? 数方程为 ? ,直线 l 的极坐标方程是 ? (cos? ? 2 sin? ) ? 15 。若 (? 为参数) ? y ? 2 sin? 点 P、Q 分别是曲线 C 和直线 l 上的动点,则 P、Q 两点之间距离的最小值是 ( ▲ )
C. 2 5 D. 21 10 . 甲乙两位同学同住一小区,甲乙俩同学都在 7 : 00 ~ 7 : 20 经过小区门口。由于天气下 雨,他们希望在小区门口碰面结伴去学校,并且前一天约定先到者必须等候另一人 5 分

A. 10

B. 2 3

钟,过时即可离开。则他俩在小区门口碰面结伴去学校的概率是 ( ▲ )

6 8 7 C. D. 11 15 16 11. 已知命题 p : 函数 f ( x ) ?| 4 x ? a | ?ax (a ? 0) 存在最小值;命题 q : 关于 x 的方程 2 x 2 ? (2a ? 2) x ? 3a ? 7 ? 0 有实数根。则使“命题 p ? ? q 为真, p ? ? q 为假”的 A. B.
一个必要不充分的条件是 ( ▲ )

5 9

B. 0 ? a ? 4 D. 3 ? a ? 5 或 0 ? a ? 3 12 . 已知,焦点在 x 轴上的椭圆的上下顶点分别为 B2、B1 , 经过点 B2 的直线 l 与以椭圆
的中心为顶点、 以 B2 为焦点的 抛物线交于 A、B 两点, 直线 l 与椭圆交于 B2、C 两点, 且 | AB2 |? 2 | BB2 | 。直线 l 1 过点 B1 且垂直于 离为

A. 3 ? a ? 5 C. 4 ? a ? 5 或 0 ? a ? 3

y 轴,线段 AB 的中点 M 到直线 l1 的距

9 。设 CB ? ? BB2 ,则实数 ? 的取值范围是 ( ▲ ) 4 1 2 B . ( ? , 2) C . ( ? , 4) A. (0, 3) 2 3

5 D . ( ? , 3) 9

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案直接填在答题卷指定的横线上.)

13 . 现有 3 本不同的语文书,1 本数学书,从中任意取出 2 本,取出的书恰好是一本
语文书和一本数学书的概率是 ▲ . ▲ .

14 . 已知函数

f ( x) ? e x sin(2x ? 1) ,则 f ?( ? 1 ) ?
2

15 . 已知函数 f ( x) ? ( )

1 2

x 2 ? 4 x ?3

,g ( x) ? x ?

1 ? t, x

,若 ?x1 ? R ,

2

?x2 ? ?1, 3? ,使得 f ( x1 ) ? g( x2 ) ,则实数 t 的取值范围是



.

16 . 已知直线 l 交抛物线 y 2 ? ?3 x 于 A、B 两点,且 OA ? OB ? ( ,设 l 4 O 是坐标原点)
与 x 轴的非正半轴交于点 F , F、 F ? 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右 a 2 b2

焦点。若在双曲线的右支上存在一点 P ,使得 2 | PF |? 3 | PF ? | ,则 ▲ 三、 .

a 的取值范围是

解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )

17.(本题满分 12 分)已知命题 p : 实数x满足 | 2 x ? m |? 1 ;命题 q; 实数 x满足 (Ⅰ)若 m ? 1 时, p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ) 若 ?p 是 q 的的 充分不必要条件,求实数 m 的取值范围。 ▲

1 ? 3x ? 0. x?2

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

x , g ?x ? ? ax ? 1 。 ( e 是自然对数的底数) 。 ln x

2 (Ⅰ)当 x ? 1, e 时,求函数 f ?x ? 图象上点 M 处切线斜率的最大值;

? ?

(Ⅱ) 若 h?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? 在点 ?e, h?e ?? 处的切线 l 与直线 x ? y ? 2 ? 0 垂直,求切线 l 方 程; ▲

19.(本题满分 12 分)已知袋子中装有红 色球 1 个,黄色球 1 个,黑色球 n 个(小球大小 形状相同) ,从中随机抽取 1 个小球,取到黑色小球的概率是 (Ⅰ)求 n 的值; (Ⅱ)若红色球标号为 0,黄色球标号为 1,黑色球标号为 2,现从袋子中有放回地随机抽 取 2 个小球,记第一次取出的小球标号为 a,第二次取出的小球标号为 b. (ⅰ)记“a+b=2”为事件 A,求事件 A 的概率; (ⅱ)在区间[0,2]内任取 2 个实数 x,y,求事件“x +y >(a-b) 恒成立”的概率.
2 2 2

1 . 3

20.(本小题满分 12 分)已知动圆过定点 F (0,1) ,且与定直线 y ? ?1 相切。
3

(Ⅰ )求动圆圆心 M 所在曲线 C 的方程; (Ⅱ)直线 l 经过曲线 C 上的点 P( x0 , y0 ) ,且与曲线 C 在点 P 的切线垂直, l 与曲线 C 的 另一个交点为 Q 。 ①当 x0 ? 2 时,求 ?OPQ 的面积; ②当点 P 在曲线 C 上移动时, 求线段 PQ 中点 N 的轨迹方程以及点 N 到 x 轴的最短距离。 ▲

21,(本小题满分 12 分) 椭圆 C ;

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,右顶 a2 b2
1 2 21 ,椭圆的离心率是 。 2 7

点为 A ,上顶点为 B ,坐标系原点 O 到直线 AB 的距离为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)若经过点 N ?0, t ? 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 P, Q ,且 PN ? 3NQ ,求 ?AON (点 o 为坐标系原点)周长的取值范围;

▲ 22.(本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 。以原点 o 为极点,以 x 轴正半轴 为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 4 2 ? cos?? ? (Ⅰ)求直线 l 的极坐标方程,曲线 C 的直角 坐标方程; (Ⅱ)若点 P 曲线 C 上任意一点,P 点的直角坐标为 ? x, y ? ,求 x ? 2 y 的最大值和最小值.

? ?

??

? ? 6 ? 0。 4?

4

高二下期半期考试数学(理)参考答案 一、选择题

BABDC
二填空题

CDBCD

CD

4 16. [ , 4) 5 1 ? 3x ? 0. 17.(本题满分 12 分)已知命题 p : 实数x满足 | 2 x ? m |? 1 ;命题 q; 实数 x满足 x?2 (Ⅰ)若 m ? 1 时, p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ) 若 ?p 是 q 的的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围。 解 ; ( Ⅰ ) 为 真 , 都 为 ?p?q ? p, q
1 13 . ; 2

14. 2e

?

1 2



? 4 15. ?? , ? ? ? ; ? 3

真。............................................................1 分 m ?1 又



? p真; 2x ?1 ? 1,即x ? 0或x ? 1. ..............................................2 分
1 - 3x q真; ? 0,? (1 ? 3x)( x ? 2) ? 0, x?2 1 ? 2 ? x ? .........................................4 分 3 ? x ? 0或x ? 1 ? 由? 1 得-2 ? x ? 0 ?2? x ? ? 3 ?


?- 2, ?实数x的取值范围为 ,0? 。 .................................................
..................6 分 (Ⅱ)? p : 实数x满足 | 2 x ? m |? 1 ,??p; 2x ? m ? 1,即 令

m ?1 m ?1 ?x? 2 2

? m ?1 m ?1 ? A?? , ? 2 ? ............................................................. ? 2
...........7 分

q;?2 ? x ?

1 3

,



1? ? B ? ? ? 2, ? ............................................................8 分 3? ? ? ?P是q的充分非必要条件 A B , 是 的 真 子
集。.........................................................9 分

? m ?1 ? ?2 ? 1 ? 2 ?3? m ? ? ?? (不能同时取等) ,得 3 ?m ?1 ? 1 ? 3 ? 2 m ? 实 数 的 取









5

1? ? ? 3,? ? 。...........................................................12 分 ? 3? ? x 19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? , g ?x ? ? ax ? 1 。 ( e 是自然对数的底数) 。 ln x (Ⅰ)当 x ? 1, e 2 时,求函数 f ?x ? 图象上点 M 处切线斜率的最大值; (Ⅱ) 若 h?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? 在点 ?e, h?e ?? 处的切线 l 与直线 x ? y ? 2 ? 0 垂直, 求切线 l 方

? ?

程;

解; (Ⅰ)设切点 M ?x, f ?x ??,则 x ? 1, e 2 。
' 函数 f ?x ? 图象上点 M 处切线斜率为 f ? x ? ?

? ?

ln x ? 1 1 1 ?? 2 ? .....2 分 2 ln x ln x ln x

? x ? 1, e 2 ,

1 ?1 ? ? ln ? ? , ? ? ?, x 2 ?
2

........................................4 分

? 1 1? 1 ? f ' ?x ? ? ?? ? ? ? ? ln x 2 ? 4 1 1 1 ?当 ? 时,即 x ? e 2 , f ' ?x ?max ? ln x 2 4 ................................6 分
(Ⅱ) ? h? x ? ?

x ln x ? 1 ? ax ? 1 , h, ?x ? ? 2 ? a ,.......................8 分 ln x ln x 又 h ? x ? 在点 ?e, h?e ?? 处的切线 l 与直线 x ? y ? 2 ? 0 垂直. ? h, ?e? ? a ? ?1 , h?e ? ? 1 ,......................................10 分 切线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? e ? 0 ....................................12 分
1 . 3

19.(本题满分 12 分)已知袋子中装有红色球 1 个,黄色球 1 个,黑色球 n 个(小球大小 形状相同) ,从中随机抽取 1 个小球,取到黑色小球的概率是 (Ⅰ)求 n 的值; (Ⅱ)若红色球标号为 0,黄色球标号为 1,黑色球标号为 2,现从袋子中有放回地随机 抽取 2 个小球,记第一次取出的小球标号为 a,第二次取出的小球标号为 b. (ⅰ)记“a+b=2”为事件 A,求事件 A 的概率; (ⅱ)在区间[0,2]内任取 2 个实数 x,y,求事件“x +y >(a-b) 恒成立”的概率. 解: (Ⅰ)依题意
2 2 2

n 1 ? , 得 n ? 1 .........................................2 分 n?2 3 (Ⅱ)(1)记标号为 0 的小球为 s,标号为 1 的小球为 t,标号为 2 的小球为 k, 则取出 2 个小球的可能情况有:(s,t),(s,k),(t,s),(t,k),(k,s),(k,

t), (s,s) , (t,t),(k,k),共 9 种,.............................。 。 。.........5 分 其中满足“ a ? b ? 2 ”的有 3 种:(s,k),(k,s)(t,t)。
所以所求概率为 P ? A ? ?

1 . 3 ............................7 分

(2)记“x2+y2>(a-b)2 恒成立”为事件 B。 2 2 则事件 B 等价于“x +y >4 恒成立” ,(x,y)可以看成平面中的点
的 坐 标 , 则 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 为

? ? ??x, y?0 ? x ? 2,0 ? y ? 2, x, y ?R?,....................9 分

6

2 2 而事件 B 构成的区域为 B ? ?? x, y ? x ? y ? 4, ? x, y ? ? ?? 。

π SB =1- .............................12 分 4 S? 21.(本题满分 12 分)已知动圆过定点 F (0,1) ,且与定直线 y ? ?1 相切。 所以所求的概率为 P(B)= (Ⅰ)求动圆圆心 M 所在曲线 C 的方程; (Ⅱ)直线 l 经过曲线 C 上的点 P( x0 , y0 ) ,且与曲线 C 在点 P 的切线垂直, l 与曲线 C 的 另一个交点为 Q 。 ①当 x0 ? 2 时,求 ?OPQ 的面积; ②当点 P 在曲线 C 上移动时, 求线段 PQ 中点 N 的轨迹方程以及点 N 到 x 轴的最短距离。 解.(Ⅰ)由题知,点 M ( x, y ) 到定点 F (0,1) 的距离等于它到定直线 y ? ?1 的距离,所以点

M 所 在 的 曲 线 C 是 以 F (0,1) 为 焦 点 , 以 y ? ?1 为 准 线 的 抛 物
线。.............................2 分 曲 线 ? C
2











x ? 4 y 。 .....................................................................
.......................3 分 ( Ⅱ ) 由 ( 1 ) 有 曲 线

C



y?

1 2 x 4



?

y' ?

1 x 2 .............................. ...............................4 分

①当 x0 ? 2 时, P ( 2, ) , 曲线 C 在点 P 的切线的斜率是

1 2

2 , 所以直线 l 的斜率 2

k ?? 2
? 直线 l的方程为: y ? - 2 x ?
...............5 分 设

5 2 ................................................

Q?x1 , y1 ?





5 ? y ? ? 2x ? ? ? 2 ? 1 ? y ? x2 ? 4 ?







x 2 ? 4 2 x ? 10 ? 0 ............................................................6


? x0 ? x1 ? ?4 2 , x0 x1 ? ?10

PQ ? 3

?x0 ? x1 ?2 ? 4 x0 x1 ? 6
5 3 6


6

又点 O 到直线 l 的距离 d ? 从





7

S ?OPQ ?

15 2 2 .................................................................
1 x0 ,当 x0 ? 0 时不符合题意,? x0 ? 0 ,所以 2

...................7 分 ②由题有曲线 C 在点 P 的切线的斜率是 直线 l 的斜率 k ? ?

2 1 2 ,点 P( x0 , x0 ) , x0 4 1 2 2 ? 直线l的方程为:y ? x0 ? ? ( x ? x0 ) 4 x0
①...............................................8 分

1 2 ? ? y 0 ? 4 x0 ? 1 2 ? 设点 Q( x1 , y1 ),点N ( x, y) ,有 ? y1 ? x1 从而可得 4 ? ? x0 ? x1 ? 2 x ? ? 1 2 1 2 1 1 y0 ? y1 ? x0 ? x1 ? ( x0 ? x1 )(x0 ? x1 ) ? x( x0 ? x1 ) 4 4 4 2
? k ??

2 y0 ? y1 1 ? ? x x0 x0 ? x1 2

? x0 ? ?

4 x



将②代入 ①消 x 0 得: y ?

? N ( x, y )

x2 4 ? ?2 2 x2
轨 迹 方 程 为



y?

x 4 ? 2 ?2 2 x

2

..............................................................

......10 分

?点N ( x, y) 到 x轴 的距离为 | y | ,由轨迹方程知
x2 4 4 y? ? 2 ?2?2 2 ?2 当且仅当 x ? 8 时取等号 2 x N ? 点 到 轴 的 最 短 距 离 为 x 2 2 ? 2 。.....................................................................
......12 分 21,(本小题满分 12 分) 椭圆 C ;

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,右顶 a2 b2
1 2 21 ,椭圆的离心率是 。 2 7

点为 A ,上顶点为 B ,坐标系原点 O 到直线 AB 的距离为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)若经过点 N ?0, t ? 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 P, Q , 且 PN ? 3NQ , 求

?AON (点 o 为坐标系原点)周长的取值范围;
8

解; (
2





?e ?


1 b 3 ?1? ,? ? 1 ? ? ? ? ..........................1 2 a 2 ?2?
又? 坐标系原点 O 到直线 AB 的距离为

2 21 。 7

1 1 2 21 2 ? ab ? ? a ? b 2 ................................2 分 2 2 7 3 2 2 21 2 3 2 ? a ? a ? a , a ? 2 ,b ? 3 2 7 4 2 2 x y 椭圆 C 的方程为 ? ? 1 .......................................4 分 4 3 (Ⅱ)?当直线 l 斜率不存在时, ? 经 过 点 N ?0, t ? 的 直 线 l 与 椭 圆 C 交 于 不 同 的 两 点 P, Q ,
且, PN ? 3NQ 。

,t ? ? ? 点N为椭圆短轴的四等分点

3 ................ ...............5 分 2 ?当直线 l 斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? t 又设直线 l 与椭圆 C 的交点 P?x1 , y1 ?, Q?x2 , y2 ? 。

? x2 y2 ?1 ? ? ?由? 4 得(4k 2 ? 3) x 2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 12 ? 0 3 ? y ? kx ? t ? ? ? ? 0,即4k 2 ? t 2 ? 3 ? 0 ,(*) 8kt x1 ? x2 ? ? 2 4k ? 3 2 4t ?12 ..................................7 分 x1 x2 ? 2 4k ? 3 ? 12kt 4kt 又? PN ? 3NQ ,? x1 ? ?3x2 带入上式可得 x1 ? , x2 ? 2 4k ? 3 4k 2 ? 3 ? 12kt 4kt 4t 2 ? 12 2 2 2 2 ? ? ,化简得 16k t ? 3t ? 12k ? 9 ? 0 4 k 2 ? 3 4 k 2 ? 3 4k 2 ? 3 9 ? 3t 2 t2 3?t2 带入( * )得 ?k 2 ? ? 0 即又 t ? 0 ? 3 ? t 2 4t 2 ? 3 ? 0 2 2 16t ? 12 4t ? 3 ,



?

?

?

??

?







? 3 ?t ??
....9 分 综

3 3 或 ? t ? 3 ..... ............................................. 2 2
上 所 述 实 数

t













??

3, ?

3? ? 3 ? ? ? , 3 ............................10 分 2 ? ? 2
9

?

又 ?AON 的周长 l ? 2 ? t ? t ? 4 , t ? ? 3 , ?
2

?

3? ? 3 ? ? ? , 3 是偶函数。 2 ? ? 2

?

? 3 ? 3 ?当 t ? ? , 3 时, l ? 2 ? t ? t 2 ? 4 在 ? , 3 上单调递增, ? 2 ? 2 ? 3 19 ? l ? ?2 ? ? ,2? 3 ? 7 2 2 ? ? 3 19 ? , 2 ? 3 ? 7 ..............12 分 ? ?AON 周长的取值范围为 ?2 ? 2 2 ? 23.(本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 。以原点 o 为

?

?

?

?

极点,以 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为

?? ? ? 2 ? 4 2 ? cos?? ? ? ? 6 ? 0 。
? 4?
(Ⅰ)求直线 l 的极坐标方程,曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 曲线 C 上任意一点,P 点的直角坐标为 ? x, y ? ,求 x ? 2 y 的最大值和最小 值. 解: (Ⅰ)直线 l 的方程; x ? y ? 4 ? 0

? x ? ? cos? , y ? ? sin ? ?l的极坐标方程为; ? cos? ? ? sin ? ? 4 ? 0 .......................3 分
又曲线 C 的极坐标方程; ? 2 ? 4 2 ? cos?? ?

? ?

??

??6 ? 0 4?

? ? 2 ? 4? cos? ? 4? sin ? ? 6 ? 0 ? ? 2 ? x 2 ? y 2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,
曲线 C 的直角坐标方程: ?x ? 2? ? ? y ? 2? ? 2 ......................6 分
2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知曲线 C 参数方程为 ?

? ? x ? 2 ? 2 cos? ??为参数? ........7 分 ? y ? 2 ? 2 sin ? ?

?

x ? 2 y =(2+ 2cos θ )+2(2+ 2sin θ )
=6+ 2(cos θ +2sin θ )

? 6 ? 10 sin?? ? ? ?...........................................8 分

当 sin(? ? ? ) ? ?1 时, x ? 2 y 有最小值为 6 ? 10 ....................9 分

当 sin?? ? ? ? ? 1 时, x ? 2 y 有最大值为 6 ? 10 ......................10 分

10


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