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数学必修2第二章2.1空间点线面的位置关系


2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

观察长方体,你能发现长方体的顶点、棱所在的直线, 以及侧面、地面之间的关系吗?
长方体由上下、前后、左右六个面围成,有些面是平行的, 有些面是相交的;有些棱所在的直线与面平行,有些棱所在 的直线与面相交;每条棱所在的直线都可以看作是某个面内 的直线等等.
空间中的点、直线、平面之间有什么位置关系

,是我们接下来要讨论的问题. D1 C1
A1 B1

D

C

A

B

1.平面的基本知识

(1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是 最基本的概念,即为不加定义的原始概念. (2)平面的基本特征是无限延展性.
平面是理想的,绝对的平(平面是处处平直的面); 平面没有大小、没有厚薄和宽窄,是不可度量的.

光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象,数学中 的平面概念是现实平面加以抽象的结果. 思考:能不能说一个平面长4米,宽2米?为什么? 不能.

1.平面的基本知识
(3)平面的画法及表示 画法 ——立体几何中通常用平行四边形来表示平面,
有时也用圆或三角形等图形来表示平面.
?

?
水平放置

画平面水平放置时, 常把平行四边形的 锐角通常画成45°, 且横边长等于邻边 长的2倍.

垂直放置

为了增强立体感,如果一个平面被另一个平面遮挡住,常把它遮 挡的部分用虚线画出来.

练习
画出两个竖直放置的相交平面.

1.平面的基本知识
D

(3)平面的画法及表示
C

A

?

?
B

表示方法:
①把希腊字母 ? , ? , ? 等写在代表平面的平行四边形的一个角上, 如平面 ? ,平面 ? . ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示, 如平面ABCD. ③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表 示,如平面AC或者平面BD.

2.点、直线、平面的位置关系
(1)点、线、面的表示
点(元素):大写字母A、B、C、D…… 直线(点的集合):小写英文字母 a, b 或者两个大写英文字母 ,c ,? 平面(点的集合):用希腊字母表示 ? , ? ; 用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示.

(2)点、线、面之间的位置关系的表示 用集合中的关系符号 元素与集合关系: 集合与集合关系: ?, ?;

?, ?

2.点、直线、平面的位置关系
(1)点与直线的位置关系: 点A在直线a上,记作 A ? a 点B不在直线a上,记作 B ? a (2)点与平面的位置关系: 点A在平面α上,记作 A ? ? 点B不在平面α上,记作 B ? ?
α
A A a

B

B

2.点、直线、平面的位置关系
(3)直线与平面的位置关系:按公共点个数分三类
①直线a与平面α有无数个公共点,称直线a在平面α内, 或称平面α通过直线a.记为: a ? ?
公理1

②直线a与平面α有且只有一个公共点,称直线a与平面α相交. 记为: a ? ? A ③直线a与平面α没有公共点,称直线a与平面α平行. 记为: a // ? 或 a ? ? ? 注1:情况②和③统称为直线a在平面α外,记作
a a
α α

a ??
a

A

α

2.点、直线、平面的位置关系
(4)平面与平面的位置关系:按有否公共点分两类
①当两个不同平面α与平面β有公共点时,它们的公共点组成 直线a,称平面α与平面β相交.记作: ? ? ?a
②当平面α与平面β没有公共点时,称平面α与平面β平行. 记作:? // ? 或 ? ? ? ? 注2:当平面α上的所有点都在平面β上时,称平面α与平面β重合. (当两个平面有不共线的三个公共点,则两个平面重合)
公理2
公理3

β
a
α α β

β
α

小结:用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系:
B a B α

b a
α A

a

A

A

α

A? a B?a
β
a
α

A?? B??
α β

a ?? b ??A

a ? ?? 或a // ?
β

α

? ? ?a

? // ? 或 ? ? ? ?

平面α与平面β重合
练习

3.平面的基本性质
观察下列问题,你能得到什么结论?
B

桌面α
A

直尺落在桌面上(直线AB在平面α内)

3.平面的基本性质
(1)公理1:若一条直线上的两点在一个平面内, 则这条直线在此平面内. ①图形语言:

?

A

l

B

②符号语言: A ? l , B ? l且A ?? , B ?? ? l ? ?

③该公理反映了直线与平面的位置关系: 可用于判定直线是否在平面内,点是否在平面内,又 可用直线检验平面.

3.平面的基本性质
思考:两个平面会不会只有一个公共点呢?
不会!因为平面是无限延展的. 因此,两个平面有一个公共点,必然有无数个公共点, 并且这些公共点在一条直线上.

3.平面的基本性质
(2)公理3:若两个不重合的平面有一个公共点, 则它们有且只有一条过该点的公共直线. ①图形语言:
?
P

?

l

②符号语言:P ??

? ??

? ? l且P ? l

③该公理反映了平面与平面的位置关系:
i)该公理是用以判定两个平面相交的依据:只要两个平面有一个 公共点,就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线. (找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可) ii)该公理可用以判定点在直线上:点是某两平面的公共点,线 是这两个平面的公共交线,则该点在交线上.

3.平面的基本性质
观察下列问题,你能得到什么结论?

C
A

B

自行车需要一个支脚架就可以保持平衡.

3.平面的基本性质
(3)公理2: 经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. ①图形语言: B ?A C ②符号语言:
A, B, C不共线 ? 有且只有一个平面?,使得A ?? , B ?? , C ??

③定义的说明:
过不在一条直线上的四点,不一定有平面.故要充分重视“不在 一条直线上的三点”这一条件;
“有且只有一个”强调的是存在性和唯一性两方面,不能用“只 有一个”替代; 确定一个平面的“确定”是“有且只有”的同义词.

3.平面的基本性质
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.

A

B

aC

已知点A? a,求证过点A和直线a可以确定一个平面. 存在性. 证明: 因为A?a,在a上任取两点B,C. 所以过不共线的三点A,B,C有一个平面?.(公理2) 因为B∈?,C∈?, 所以a ? ?.(公理1) 故经过点A和直线a有一个平面?. 唯一性. 因为B,C在a上, 所以过直线a和点A的平面一定经过点A,B,C. 由公理2,经过不共线三点A,B,C的平面只有一个, 所以过直线a和点A的平面只有一个.

3.平面的基本性质
公理2: 经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.

?A
推论2 推论3 a

B C

A

B

a

C

经过两条相交直线,有且只有一个平面. 经过两条平行直线,有且只有一个平面. a b

α

b

α

注3: 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据, 是证明点、线共面的依据,也是作截面、辅助平面的依据.
练习

3.平面的基本性质
我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,
那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
D' C' B' D A B C

观察:在右图的长方体中, BB '// AA ', DD '// AA ',那么 BB ' 与DD ' 平行吗?
A'

观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系? d

a

b

c

e

a∥ b ∥ c ∥ d ∥ e ∥ …

3.平面的基本性质
(4)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表示: a // b, b // c ? a // c.
c
a

a

b

c

α 注4:①平行具有传递性; ②该公理是判断空间两条直线平行的方法之一.即要证明两条 直线平行,一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节.

例1 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,直线AB与C1D1 ,AD1与 BC1是什么位置关系?为什么?
解: 1)∵AB∥A1B1, C1D1 ∥A1B1, ∴ AB ∥ C1D1 2)∵AB ∥C1D1 ,且AB = C1D1
A1

D1
B1

C1

D A B

C

∴ ABC1D1为平行四边形
故AD1 ∥ BC1

练习:上例中,AA1与CC1,AC与A1C1的位置是什么关系?

若E, F , G, H 分别是AB, AD, C1D1的中点,判断下列直线是否平行: i) EF与GH ; ii) DE与HB1;

例2 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形,E,F, G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,连结EF,FG,GH,HE,求证: EFGH是一个平行四边形. A

证明: 连结BD,

∵ EH是△ABD的中位线, 1 ∴EH ∥BD且EH = 2 BD.

H

∴EH ∥FG且EH =FG. ∴EFGH是一个平行四边形.

1 同理,FG ∥BD且FG = 2 BD.

E
D B F G C

另 注 : 平 行 线 段 成 比 例

法二:往证EH//FG,EF//HG呢?

“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法. 问1:若上例加上条件AC=BD,则四边形EFGH是一个什么图形? 菱形 问2:若上例中四边形EFGH为矩形,AC与BD垂直吗?
练习

例3 如图,在正方体ABCD ? A1B1C1D1中, (1)判断下列命题是否正确,并说明理由: A. 直线AC1在平面CC1 B1 B内; B. 点A, O, C可确定一个平面; C. 由点A, C1 , B1确定的平面与由点A, C1 , D确定的平面是同一个 平面; 面BB1 D1 D的交线为OO1.





D. 设正方形ABCD与A1 B1C1D1的中心分别为O, O1 , 则面AA1C1C与
D1
O1
1

C1 B1

E. AC1与面BDD1B1的交点落在直线OO1上. A



D A
O

C B

例 几何体中的截面问题(两平面的交线问题)
长方体ABCD ? A1 B1C1 D1中,画出下列平面的交线: (1)平面A1C1 D与平面B1 D1 D; (2)平面A1C1 B与平面AB1 D1 ;
D1 O
A1

找两平面的两个公共点

C1 B1
A1

D1

F
B1 D E B

C1

D A

C

C

B

A

例 几何体中的截面问题(两平面的交线问题)
*在棱长为a的正方体ABCD ? A'B'C'D'中,M , N 分别是AA', D'C'的中点. (1)画出过点D, M , N的平面与正方体的下底面的交线l ; (2)设平面l AB ? P, 求PB'的长;
分析:找面DMN 与面ABCD的交线

?N 即交线为QN ? 找面DMN 与面ABCD的两个公共点.? ??? Q MD ? 面 DMN ? ? ? AD ? 面ABCD D' ? MD, AD在同一个平面ADD'A'内,且交点为Q ?

C'

? MD和AD的交点Q ? 面DMN 面 ABCD

A'

B' D N C

M A

P

B
拓展

Q

4.点线共面问题
(1)证明的主要依据:公理1;公理2及其三个推论.

(2)证明的常用方法: ①纳入平面法:先由部分元素确定一个平面,再证明其余有关的 点、线在此平面内; ②辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面?,再证明其余元 素确定平面?,最后证明平面?、?重合.

4.点线共面问题

例1 证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内.

B
A C

确定一个面,再 证明其余线在该 面内.

已知:AB∩AC=A,AB∩BC=B,AC∩BC=C 求证:直线AB,BC,AC共面. 证明: 因为AB∩AC=A,
所以直线AB,AC确定一个平面?.(推论2) 因为B∈AB,C∈AC,所以B∈?,C∈?, 故BC??.(公理1) 因此直线AB,BC,CA共面.

4.点线共面问题

例1 证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内.

B
证法二:

A

C

因为A? 直线BC上,所以过点A和直线BC确定平面? .(推论1) 因为B∈BC,所以B∈? . 又A∈?,故AB ??,同理AC ? ?, 所以AB,AC,BC共面. 证法三: 因为A,B,C三点不在一条直线上, 所以过A,B,C三点可以确定平面?.(公理2) 因为A∈?,B∈?,所以AB ? ?.(公理1) 同理BC ? ?,AC ? ?,所以AB,BC,CA三直线共面.

4.点线共面问题
练 已知A, B, C ? l ,D ? l , 求证:直线AD,BD,CD共面.
D

?
证明 :

AlB C

D ? l . ? l与D确定平面? .




A, B, C ? l , l ? ?
D ??

? A, B, C ? ? .
? BD, CD, AD ? ? ,即AD, BD, CD共面.

4.点线共面问题
P51 5 证明:一条直线与两条平行直线都相交,则这三条直线共面.
A c B a b

已知:a//b,a∩c=A,b∩c=B. 求证:直线a,b,c共面. 证明: 因为a//b, 所以直线a,b确定一个平面? .(推论3) 因为A∈a,B∈b,所以A∈?,B∈?. 又因为A∈c,B∈c.故AB?? .(公理1)

因此直线a,b,c共面.

4.点线共面问题
例2 已知一条直线与三条平行直线都相交,证明这四条直线共面.
已知:a//b//c,a∩l=A,b∩l=B, c∩l=C. 求证:直线l与a,b,c共面.
C l B A a b c

证明: ∵a//b, ∴直线a,b确定一个平面?.(推论3) ∵ l ∩a=A, l ∩b=B,∴ A∈?,B∈?. 又A∈l,B∈l,故l ??. 同理,直线b,c确定一个平面?,且l ?? . ∴平面?与?都过两相交直线b,l.

?

又∵两相交直线确定一个唯一的平面. ∴?与?重合. 故l与a,b,c共面.
证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.

4.点线共面问题

练 已知a ??,b ??,a∩b=A,P∈b,PQ//a . 求证:PQ ?? .
b A a

?
证明:

P

Q

PQ // a,?直线PQ与a确定一个平面,设为? . ?P ? ? , a ? ?.

又P ? b ? ? , a ? ? , 且P ? a.
由推论1,过P,a有且只有一个平面. ?? 和? 重合,即有PQ ? ? .

5.证明三点共线、三线共点的问题
(1)证明的主要依据是公理3: 如果两个平面相交,则这两个平面的公共点共线; 如果两个平面相交,那么一个平面内的直线和另一平面的交点 必在这两个平面的交线上. (2)证明的常用方法: ①首先找出两个平面,再证这三个点都是这两个平面的公共点; ②选择其中两点确定一条直线,然后证明另一个点也在其上(一 般地,这条直线看作某两个平面的交线,往证第三个点也是两个 面的公共点); ③证明三线共点问题:先证明两条直线交于一个点,再证明第三 条直线经过这个点(转化为证明点在线上的问题)

5.证明三点共线、三线共点的问题
B
要证明各点共线,只 要证明他们是两个相 交平面的公共点.

例1 已知三角形ABC的三条边AB、BC、AC与平面α分别交于P、 Q、R.求证:P、Q、R共线. A

C

P

R

Q

证明: P ? AB ? 平面ABC? P ? 平面ABC.

又 P ?? ? P ??

平面ABC.

同理Q、R也为公共点, 所以P、Q、R共线.

5.证明三点共线、三线共点的问题
P53 3 空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,
H分别是CD和AD上的点,且EH与FG相交于K. 求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.
分析: 已知EH∩FG=K,要证EH,BD,FG共点. 即要证明B,D,K三点共线. 而BD是面ABD和面CBD的交线. 所以往证K∈面ABD∩面CBD.
B F C G E H D K

A

而显然,由EH∈面ABD,K∈EH,可得K∈面ABD. 同理,由FG∈面CBD,K∈FG,可得K∈面CBD.

练习 在四面体ABCD中,E, G分别是AB, BC的中点,F 在CD上, H 在AD上,且有DF : FC ? DH : HA=2 : 3. 求证:EF , GH , BD三线共点.
练习 正方体ABCD ? A1 B1C1 D1中, (1)M 是该正方体下底面的中心,过C1 , B, D作一截面, 求证:此截面与对角线A1C的交点P一定在C1M 上. (2)若E , F 分别是AB, A1 A的中点,求证: i ) E , F , D, C四点共面; ii ) CE , D1 F , DA三线共点.
A1 D A M B D1 B1 C C1

小结: (1) 空间点、线、面的位置关系 (2) 平面的基本性质(四个公理) (3) 证明直线平行的常用方法 (4) 点线共面,三线共点,三点共线问题的证明 作业:P51 5、6 P53 B组2、3 P78 3、4、8 精讲精练: P18 9、8

“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法. D E G P78 4,5
(1)证明:连接EF , 因为AE // BC且AE ? BC , 所以四边形ABFE为平行四边形. ? AB // EF 且AB ? EF . 又因为C , D分别为棱边的中点, ? CD为 GEF的中位线. 1 ? DC // EF 且DC ? EF . 2 1 即DC // AB且DC ? AB. 2 ?四边形ABCD为梯形.
A B
F

C

(2) 立体几何中求解平面的角度 边长面积等问题时,注意重新 画出图形,结合几何体找出边 角关系并利用平面图形性质求 解问题.
back

例 几何体中的截面问题(两平面的交线问题)
在长方体A ? C1中,P为棱BB1的中点,画出由A1 ,C1 ,P三点所 确定的平面? 与长方体表面的交线.
D1 A1 D A B1 P B C C1
A1 D A D1 B1 P B C C1

精讲精练P2 4(正方体的截面形状的研究)
back

形状 三角形
锐 角 三 角 形 平 行 四 边 形

特殊情形
等 腰 三 角 形 长 方 形 等 边 三 角 形 正 方 形 梯 形

四边形

不可能是直角梯形

五边形

注意:该五边形 必有两组分别平 行的边,且不可 能是正五边形 注意:该六边形 必有分别平行的 边,且可以是正 六边形

六边形

例 几何体中的截面问题(两平面的交线问题) 正方体中,试画出过其中三条棱的中点P,Q,R的平面 截得正方体的截面形状.

back

例 几何体中的截面问题(两平面的交线问题) 正方体中,试画出过其中三条棱的中点P,Q,R的平面 截得正方体的截面形状.
分析:找面PQRK与面ADD1A1的交线

?PQ ? 面PQRK ? ?AD ? 面ADD1A1 ? ?PQ,AD在同一平面ABCD内,交点为S ? G PQ和AD的交点S ? 面PQRK,S ? 面ADD1A1 .
同理,找面PQRK与面BCC1B1的交线
1

?R ? 找面PQRK与面ADD1A1的两个公共点. ? ??? S

即交线为RS交AA1于中点G T K H

?Q ? 找面PQRK与面BCC1B1的两个公共点.? ??? T 即交线为QT交CC 于中点H

S

back

例 几何体中的截面问题(两平面的交线问题) 正方体中,试画出过其中三条棱的中点P,Q,R的平面 截得正方体的截面形状. K
法二: 取中点G,H,往证RKHQPG六点共面. 连结GH, RK//GH // PQ. 又 ?RQ RK=R ? ?RQ PQ=Q ?RQ GH=J(在平面RHQG内) ?

J G

H

即直线RQ与三条平行直线都相交. 故这四条直线共面(前面已证明),从而这六点共面.

back

例 几何体中的截面问题(两平面的交线问题)
*画出四面体ABCD中过E,F,G三点的截面与四面体各面的交线.
分析:找面EFG与面BCD的交线

?G ? 找面EFG与面BCD的两个公共点. ? ??? ?EF ? 面EFG ? ?BD ? 面BCD ?EF,BD在同一平面内,交点为P ?
? EF和BD的交点P ? 面EFG 面BCD.
B

P

即交线为GP
A F
D

E

P

H
G C

同理,找面EFG与面ADC的交线

连接GP交DC于H,则H ? DC ? 面ADC,且H ? GP ? 面EFG.
back

?F 即交线为FH ? 找面EFG与面ADC的两个公共点.? ??? H

练习
1.正方体的各顶点如图所示,正方体的三个面所在平面 ?、?、? ,试用适当的符号填空. AC 1 1, A 1 B, B 1C ,分别记作 D C A_? O (1) A1 _ ? , A B D _?

(3)? ? ? ? A1B1

? (2) B1? _?,

? ?

(5) A1B1 ? __? , A1B1? _?

(4) ? ? ? ?

BB1

D1 A1 O1 B1

C1

(6)平面A1C1CA∩平面D1B1BD= OO1
back

练习
2.根据下列符号表示的语句,说出有关点、线、面的 关系,并画出图形.

(1) A ?? , B ??
(2)l ? ? , m ? ?
(3)?

B P
? A

? ?l

l
Q

(4) P ? l , P ?? , Q ? l , Q ??

back

思考:
(1)过一点可以做几条直线?两点呢? (2)过平面内一点可以做几个平面?两点呢?三点呢?

(3)不共面的四点可以确定多少个平面? 4 个 (4)共点的三条直线可以确定多少个平面? 1个或3个

back

练习
(1)用符号表示 " A在直线l , l 在平面? 外", 正确的是( ) A. A ? l , l ? ? C. A ? l , l ? ? 公共点. (3)请指出下列说法是否正确? 为什么? 1 空间三点确定一个平面. 2 平面? 与平面? 若有公共点, 就不止一个. 3 因为平面型斜屋面与地面不相交,所以屋面所在的平面 与地面不相交.
back

B. A ? l , l ? ? D.A ? l ,l ? ?

(2)若A ? ? , B ? ? , A ? l , B ? l , 那么直线l与平面? 有 ___ 个

练习
3.填空: 不在同一直线上 的三点确定一个平面; (1)_________________

(2)两条 平行 或 相交 直线确定一个平面;
(3)有一个公共点的两个平面交于唯一 的一条直线. 4.下列命题正确的是( D ) A. 经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
back

练习
5.判断下列命题是否正确:
(1)平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点.

×

(2)经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个 平面. √ (3)经过两条相交直线,有且只有一个平面.



(4)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个 平面重合. √

back


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