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2015届高三数学体艺午间小练及答案:解三角形与立体几何(3)


高三体艺午间小练:解三角形与立体几何(3)

1. (本小题满分 12 分)已知 a, b, c 分别是△ ABC 三个内角 A, B, C 的对边。 (1)若△ ABC 面积为

3 , c ? 2 , A ? 60 ,求 b, a 的值; 2

(2)若 a cos A ? b cos B ,试确定△ ABC 的形状

,并证明你的结论。

2.如图,直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,D,E 分别是 AB, BB1 的中点

试卷第 1 页,总 2 页

(1)证明: BC1 / / ACD ; 1 (2)设 AA 的体积 1 1 ? AC ? CB ? 2, AB ? 2 2 ,求三棱锥 D ? ACE

试卷第 2 页,总 2 页

参考答案 1. (1) b ? 1 , a ? 3 ; (2) ?ABC 为等腰三角形或直角三角形 . 【解析】 试题分析: (1)由面积公式及 A 可得 b=1,再由余弦定理可得 a.(2)由正弦定理等式两边 的边换为角的正弦可得 s in 2 A ? sin 2 B , 从而 A ? B 或 A ? B ? 简即可. 试题解析: (1)依题意,由 S 解得 b ? 1 再由余弦定理可得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 3
2 2

?
2

.也可由余弦定理代入化

ABC

?

1 1 3 bc sin A 可得, b ? 2sin 60 ? 2 2 2

(2)方法一:由正弦定理可得 sin A cos A ? sin B cos B 所以 s in 2 A ? sin 2 B 因为 A, B ? (0, ? ) ,所以 2 A ? 2 B 或 2 A ? 2 B ? ? 即 A ? B 或 A? B ?

?
2

所以 ABC 为等腰三角形或直角三角形 方法二:由余弦定理可得

a?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 ? b? ,整理得: (a2 ? b2 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? 0 2bc 2ac

2 2 2 所以 a ? b 或 a ? b ? c

所以 ABC 为等腰三角形或直角三角形 考点:正弦定理和余弦定理的应用 2. (1)详见解析; ( 2) 【解析】
3

10 5

试题分析: (1)要证明直线和平面平行,只需证明直线和平面内的直线平行,本题连接 AC1

F ,易证 DF 是 ?ABC1 的中位线, 交 AC ,由三角形的中位线定理易证 BC1 / / DF , 1 于点
进而证明 BC1 / / ACD ; (2)求四面体体积,难点在于求高,若不易求,则可考虑等体积转 1 化,本题 VD? A1CE ? VC ? A1DE ,易证 CD ? 面 ABB1 A 1 ,则 CD ? 2 的高,再求底面 A 1DE 的 面积,进而求体积.

F ,则 F 为 AC1 的中点, 试题解析: (1)连接 AC1 交 AC 1 于点
又 D 是 AB 的中点,连接 DF,则 BC1 / / DF . 因为 DF ? 平面 A1CD, BC1 ? 平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD (2)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1⊥平面 ABC, 因为 CD ? 平面 ABC, 所以 AA1⊥CD, 6分 2分 4分 5分

由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CD⊥AB, 7 分 又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1, 由 AA1=AC=CB=2,AB= 2 2 得 ∠ACB=90°,CD= 2 ,A1D= 6 ,DE= 3 ,A1E=3, 故 A1D2+DE2=A1E2,DE⊥A1D, 所以 VD ? A1CE ? VC ? A1DE ? 8分

1 1 ? ? 6 ? 3 ? 2 ? 1. 3 2

12 分

考点:1、直线和平面平行的判定定理;2、四面体的体积.
4

5


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