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1.2充分条件与必要条件教案



§1.2
教学目标
1、知识与技能

充分条件与必要条件

(1) 、正确理解充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充 分也不必要条件的定义. (2) 、会判断命题的充分条件、必要条件、充分不必要条件、 必要不充分 条件、充要条件、 既不充分也不必要条件. (3) 、通过学习,使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.

2、过程与方法
(1) 、通过对充分条件、必要条件、充分不必要条件、 必要不充分条件、

充要条件、 既不充分也不必要条件概念的理解和运用,培养学生分析、判断和 归纳的逻辑思维能力. (2) 、在观察和思考中,在解题和证明题中,培养学生思维能力的严密性品 质.

3、情感、态度与价值观
(1) 、通过学生的举例,培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品 质,在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育. (2) 、激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培 养积极进取的精神.

教学重点
(1) 、正确区分充分条件、必要条件、充分不必要条件、 必要不充分条件、

充要条件、 既不充分也不必要条件的概念. (2) 、正确运用“条件”的定义解题.

教学难点
如何正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也 不必要条件.

1

教学方法
探究式, 从生活中的具体事例引入课题,用例子的形式和同学一起探究得出 相关定义.

教学设想
通过学生举例, 教师例题设计,教师学生共同总结定义的思想来学习本节课, 培养他们的辨析能力以及观察总结能力,同时培养他们良好的思维品质.

教学过程 一、复习回顾、课题引入
上课之前我们先来看两个生活中的问题: 问题 1: p :大 A (男性)是小 a 的父亲
q :小 a 是大 A (男性)的儿子

“若q,则p” “若p,则q” 思考:1、说出 与 形式的命题;
2、判断真假. 问题 2: p :鱼缸里的鱼能存活
q :鱼缸里有水

“若p,则q” “若q,则p” 思考:1、说出 与 形式的命题;
2、判断真假. 学生回答:有同学可能会用到能够保证,必须具备等这样的词语来描述 p 与 q 的 关系, 那我们在数学上应该怎样准确的来刻画命题的条件与结论之间的关系呢? 宣布课题————充分条件与必要条件.

二、新课教学
<一>、充分条件与必要条件的定义
进行讨论提纲讨论一的讨论,引出充分条件与必要条件的定义;

讨论一:下列“若p、则q”的命题中,p、q关系如何? (1).若x ? 1, 则x 2 ? 1 ;(2).若a, b都为偶数、则a ? b是偶数;

2

讨论结果:一般地,“若p、则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q. 这时,我们就说,由p可推出q,记作:p ? q.于是我们就把p叫做q充分条件, q叫做p的必要条件.

定义:一般地, 如果命题“若p、则q”为真命题,即p ? q, 那么我们就说p是q的充分条件; q是p必要条件.
注意:命题是 1. “若p、则q”形式的,要认清p、q分别指什么. 2.命题必须是真命题.
所以讨论一中的(1).x ? 1是x2 ? 1的充分条件;x2 ? 1是x ? 1的必要条件. (2).a, b都为偶数是a ? b是偶数的充分条件;a ? b是偶数是a, b都为偶数必要条件.
例1.下列“若p、则q”的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件? (1).若x ? 1, 则x 2 ? 4 x ? 3 ? 0. (2).若f ( x) ? x, 则f ( x)在R上是增函数. (3).若x为无理数, 则x 2为无理数.

分析:因为(1).(2)是真命题,所以p是q的充分条件; (3)不是真命题,所以p不是q的充分条件. 从这个例子强调判断条件的第一步是判断命题的真假,同时从(3)说明如果“若p、则q”是 假命题时p、q的关系.
结论:如果“若p、则q”是假命题,即p不能推出q,记为p ?? q, 这时我们说p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.

思考 1:

观察我们应该如何根据定义来判断 p 与 q 的关系呢?

回答:1、可以判断命题的真假; 2、 p 能否推出 q ,即 p ? q 是否成立.

<二>、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、 既不充分又不必要条件的定义
进行讨论提纲讨论二的讨论, 引出充分不必要条件、 必要不充分条件、 充要条件、 既不充分又不必要条件的定义.

3

讨论二设计思想:巩固充分条件、必要条件的定义,同时引出充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件的定义.设计命题分为四类,如下: (1). “若p、则q”为真命题且“若q、则p”为假命题. (2). “若p、则q”为假命题且“若q、则p”为真命题. (3). “若p、则q”为真命题且“若q、则p”为真命题. (4). “若p、则q”为假命题且“若q、则p”为假命题.

讨论二:下列“若p、则q”的命题中,写出命题的逆命题,并判断原命题与逆命题的真假. (1)、“若x ? y、则x 2 ? y 2”; (2)、“若ac ? bc、则a ? b”; (3)、“若两直线平行、则内错角相等”; (4)、“若a ? b、则ac ? bc”.
讨论结果: (1)中p是q的充分条件且p不是q的必要条件,即p ? q且q ?? p, 这时我们把p叫做q的充分不必要条件. (2)中p是q的必要条件且p不是q的充分条件,即q ? p且p ?? q, 这时我们把p叫做q的必要不充分条件. (3)中p是q的充分条件且p是q的必要条件,即p ? q且q ? p, 这时我们把p叫做q的充分必要条件,简称充要条件.

(4)中p不是q的充分条件且p不是q的必要条件,即p ?? q且q ?? p, 这时我们把p叫做q的既不充分也不必要条件.
定义: (1). “若p、则q”为真命题且“若q、则p”为假命题.即p ? q且q ?? p, 我们把p叫做q的充分不必要条件. (2). “若p、则q”为假命题且“若q、则p”为真命题即 . q ? p且p ?? q, 我们把p叫做q的必要不充分条件. (3). “若p、则q”为真命题且“若q、则p”为真命题.即p ? q且q ? p, 我们把p叫做q的充分必要条件,简称充要条件. (4). “若p、则q”为假命题且“若q、则p”为假命题即 . p ?? q且q ?? p, 我们把p叫做q的既不充分也不必要条件.

所以讨论二中: (1)、x ? y是x 2 ? y 2充分不必要条件. (2)、ac ? bc是a ? b必要不充分条件. (3)、若两直线平行是内错角相等充要条件. (4)、a ? b是ac ? bc既不充分也不必要条件.
4

总结:完善思考 1 如何判断 p 与 q 的关系步骤. 还要判断由 q 能否推出 p ,即 q ? p 是否成立

例2(11年高考)、下例四个条件中,使a ? b成立的充分而不必要的条件是( )
A、a ? b+1 B、a ? b ?1 C、a2 ? b2 D、a3 ? b3

分析:搞清楚命题中的p指什么,q指什么;题目中的选项是p,a ? b是q, 所以根据定义只要“若p、则q”为真命题且“若q、则p”为假命题即可,故选A
分别讲解 B、C、D是什么条件,让学生能从同一个例题理解不同的知识.
2 2 思考 2:讨论二中的(1) x ? y是x ? y 充分不必要条件

例 2 中的 a ? b成立的充分而不必要的条件是 a ? b+1 这两种句型(1) p是q的充分条件 ; (2) p的充分条件是q ;辨析以下这两种说法. (1)中谁是条件,谁是结论; (2)中的呢? 回答: (1)的条件是 p 结论是 q ; (2)的条件是 q 结论是 p ;所以我们在判断 条件与结论的关系时,首先要判断谁是条件谁是结论. 总结:再次完善思考 1 如何判断 p 与 q 的关系步骤. 1、可以判断命题的真假; 2、 (1)首先判断谁是 p ,谁是 q ; (2) p 能否推出 q ,即 p ? q 是否成立;还要判断由 q 能否推出 p , 即 q ? p 是否成立

例?、证明:?ABC是等边三角形的充要条件是 a 2 ? b2 ? c 2 ? ab ? ac ? bc 这里a,b,c是?ABC的三条边.
分析:此题中的p是a2 ? b2 ? c2 ? ab ? ac ? bc;q是?ABC是正三角形

5

证明:①“p ? q” ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? ac ? bc ? 2a 2 ? 2b 2 ? 2c 2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc即 ( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? ( a ? c) 2 ? 0 ? a ? b ? c即?ABC是正三角形 ②“q ? p” ? ?ABC是正三角形 ?a ? b ? c ? ab ? ac ? bc ? a 2 ? b 2 ? c 2即a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? ac ? bc ??ABC是正三角形的充要条件是a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? ac ? bc

课堂练习
1、判断下列各组问题中,p 与 q 的关系如何? (1)、p : x ? x q : x 2 ? 0;
(2)、p : tan ? ? ? ; 4 (3)、p : 直线l与平面?内的两条相交直线垂直 (4)、p : 函数f ( x)满足f ( x) ? 0 q:? ?

?

q : 直线l与平面?垂直;

q : 函数f ( x)是奇函数.

课堂小结
1、掌握6个定义 q是p必要条件. 定义2:如果“若p、则q”是假命题,即p不能推出q,记为p ?? q, 这时我们说p不是q的充分条件,q不是p的必要条件. 定义3:若p ? q且q ?? p,把p叫做q的充分不必要条件. 定义4:q ? p且p ?? q,把p叫做q的必要不充分条件. 定义5:p ? q且q ? p,把p叫做q的充分必要条件,简称充要条件. 定义6::p ?? q且q ?? p,把p叫做q的既不充分也不必要条件.
1、准确理解如何判断条件与结论的关系 方法 1、可以通过判断命题的真假; 方法 2、 (1)首先判断谁是 p ,谁是 q ; (2) p 能否推出 q ,即 p ? q 是否成立;还要判断由 q 能否推出 p , 即 q ? p 是否成立

定义1:一般地, 如果命题“若p、则q”为真命题,即p ? q, 那么我们就说p是q的充分条件;

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作业
P 1.2 A组 12习题 2题、题 4

板书设计
把黑板分为四部分: 一、定义板块;二、总结板块;三、例题板块;四、探究板块.

教学反思
本节课我采用的是探究式教学,通过生活中的例子引入,从开始 上课就能激发学生求知的欲望, 接下来都是通过和同学们共同探讨例 子来总结出定义,一步步的完善判断命题中条件与结论的步骤及方 法,给学生留下深刻印象。 总的来说这节课我觉得是成功的,但也存在着一定的不足,不是 每个同学都能积极的参与在讨论中, 从而一部分同学对知识的了解还 不是很透彻。 通过这节课的讨论,我发现大部分同学都喜欢这样的上课方式, 特别是当把数学知识与实际生活结合时, 同学们都很积极、 很有兴趣, 这让我看到了教学的亮点,所以在今后的教学中,我会多利用这样的 教学方式,更要在备课中尽量挖掘学生感兴趣的例子,希望在以后的 教学中会越来越有趣,学生会越来越喜欢这样的课堂,力争把全班同 学都带动到课堂中。

7

【讨论提纲】
§1.2 充分条件与必要条件
班级:_____________________

姓名:_______________________

讨论一:下列“若p、则q”的命题中,p、q关系如何? (1).若x ? 1, 则x2 ? 1;(2).若a, b都为偶数、则a ? b是偶数;

讨论结果: __________________________________________________ _______________________________________________________;

结论: ______________________________________________________ _______________________________________________________;
讨论二:下列“若p、则q”的命题中,写出命题的逆命题,并判断原命题与逆命题的真假. (1)、“若x ? y、则x 2 ? y 2”; (2)、“若ac ? bc、则a ? b”; (3)、“若两直线平行、则内错角相等”; (4)、“若a ? b、则ac ? bc”.

讨论结果:_________________________________________________ _______________________________________________________;

结论: ______________________________________________________ ________________________________________________________;

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