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数列的综合应


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数列的综合应用

1.若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S8-S3=10,则 S11 的值为 ( ) A.12 B.18 C.22 D.44 a6 2.在等比数列{an}中,an>an+1,且 a7· a11=6,a4+a14=5,则 等于 ( ) a16 2 3 1 5 A. B. C.- D.- 3 2 6

6 3.若{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,把{an}的每一项都减去 2 后,得到一个新数列{bn},设 {bn}的前 n 项和为 Sn,对于任意的 n∈N*,下列结论正确的是 ( ) 1 n 1 n A.bn+1=3bn,且 Sn= (3 -1) B.bn+1=3bn-2,且 Sn= (3 -1) 2 2 1 n 1 C.bn+1=3bn+4,且 Sn= (3 -1)-2n D.bn+1=3bn-4,且 Sn= (3n-1)-2n 2 2 4.“嫦娥奔月,举国欢庆”,据科学计算,运载“神六”的“长征二号”系列火箭,在点火第一秒 钟通过的路程为 2 km,以后每秒钟通过的路程都增加 2 km,在达到离地面 240 km 的高度时,火箭与飞 船分离,则这一过程需要的时间大约是 ( ) A.10 秒钟 B.13 秒钟 C.15 秒钟 D.20 秒钟 n 5.(2011· 台州月考)已知数列{an}的通项为 an= 2 ,则数列{an}的最大项为 ( ) n +58 A.第 7 项 B.第 8 项 C.第 7 项或第 8 项 D.不存在 6.(2011· 南京模拟)设数列{an},{bn}都是正项等比数列,Sn,Tn 分别为数列{lg an}与{lg bn}的前 n 项 Sn n 和,且 = ,则 logb5a5=________. Tn 2n+1 探究点一 等差、等比数列的综合问题 例 1 设{an}是公比大于 1 的等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 S3=7,且 a1+3,3a2,a3+4 构成等差数列. (1)求数列{an}的通项; (2)令 bn=ln a3n+1,n=1,2,?,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

变式迁移 1 假设 a1,a2,a3,a4 是一个等差数列,且满足 0<a1<2,a3=4.若 bn=2an (n=1,2,3,4).给 出以下命题: ①数列{bn}是等比数列;②b2>4;③b4>32;④b2b4=256.其中正确命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 探究点二 数列与方程、函数、不等式的综合问题 2x+3 1? * 例 2 (2011· 温州月考)已知函数 f(x)= ,数列{an}满足 a1=1,an+1=f? ?an?,n∈N , 3x (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+?-a2na2n+1,求 Tn; m-2 001 1 (3)令 bn= (n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+?+bn,若 Sn< 对一切 n∈N*成立,求最小正 2 an-1an 整数 m.

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变式迁移 2 已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)若 bn=anlog an,Sn=b1+b2+?+bn,对任意正整数 n,Sn+(n+m)an+1<0 恒成立,试求 m 的取值 2 范围.

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) a9+a10 1 1.(2010· 湖北)已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等差数列,则 的值为 2 a7+a8 ( ) A.1+ 2 B.1- 2 C.3+2 2 D.3-2 2 2 . (2011· 漳州模拟 ) 数列 {an} 是各项均为正数的等比数列, {bn} 是等差数列,且 a6 = b7 ,则有 ( ) A.a3+a9≤b4+b10 B.a3+a9≥b4+b10 C.a3+a9≠b4+b10 D.a3+a9 与 b4+b10 的大小不确定 S1+S2+?+Sn 3.有限数列 A:a1,a2,?,an,Sn 为其前 n 项和,定义 为 A 的“凯森和”,若有 99 n 项的数列 a1,a2,?,a99 的“凯森和”为 1 000,则有 100 项的数列 1,a1,a2,?,a99 的“凯森和”为 ( ) A.1 001 B.991 C.999 D.990 4.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个,现在 有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要 ( ) A.6 秒 B.7 秒 C.8 秒 D.9 秒 5.已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an,an+1 是函数 f(x)=x2-bnx+2n 的两个零点,则 b10 等于 ( ) A.24 B.32 C.48 D.64 1 2 3 4 5 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 2?2n-2 ?2?n-1 6.(2011· 丽水月考)若数列{an}的通项公式 an=5? ?5? -4?5? ,数列{an}的最大项为第 x 项,最小 项为第 y 项,则 x+y=________. 7.(2010· 江苏)函数 y=x2(x>0)的图象在点(ak,a2 k )处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak+1,其中 k∈ N*,a1=16,则 a1+a3+a5=________. 8.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表.设 aij (i,j∈N*)是位于这个三角形数表中 从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数,如 a42=8.若 aij=2 009,则 i 与 j 的和为________. 1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 ?????????????? 三、解答题(共 38 分) 1 9.(12 分)(2011· 湘潭模拟)已知点(1, )是函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)的图象上一点,等比数列{an} 3 的前 n 项和为 f(n)-c,数列{bn}(bn>0)的首项为 c,且前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-1= Sn+ Sn-1(n≥2). (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; 1 1 000 (2)若数列{ }的前 n 项和为 Tn,问满足 Tn> 的最小正整数 n 是多少? 2 009 bnbn+1
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10.(12 分)沿海地区甲公司响应国家开发西部的号召,对西部地区乙企业进行扶持性技术改造.乙企 业的经营现状是:每月收入为 45 万元,但因设备老化,从下月开始需付设备维修费,第一个月为 3 万元, 以后每月递增 2 万元.甲公司决定投资 400 万元扶持改造乙企业.据预测,改造后乙企业第一个月收入 为 16 万元,在以后的 4 个月中,每月收入都比上个月增长 50%,而后每个月收入都稳定在第 5 个月的水 平上.若设备改造时间可忽略不计,那么从下个月开始至少经过多少个月,改造后的乙企业的累计总收 益多于仍按现状生产所带来的总收益?

1 11.(14 分)(2011· 广东执信中学模拟)已知函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)· f(y)且 f(1)= . 2 * (1)当 n∈N 时,求 f(n)的表达式; (2)设 an=n· f(n),n∈N*,求证:a1+a2+a3+?+an<2; f?n+1? (3)设 bn=(9-n) ,n∈N*,Sn 为{bn}的前 n 项和,当 Sn 最大时,求 n 的值. f?n?

答案 1.(4)n=1 或 n≥2 自我检测 1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 9 6. 19 课堂活动区 例 1 解题导引 1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差、等比数 列的通项公式、前 n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点. 2.利用等比数列前 n 项和公式时注意公比 q 的取值.同时对两种数列的性质,要熟悉它们的推导过 程,利用好性质,可降低题目的思维难度,解题时有时还需利用条件联立方程求解. 解 (1)由已知得 a +a +a =7 ? ? 1 2 3 ,解得 a2=2. ?(a1+3)+(a3+4) =3a2 ? 2 ? 设数列{an}的公比为 q,由 a2=2, 2 可得 a1= ,a3=2q. q 2 又 S3=7,可知 +2+2q=7, q 1 即 2q2-5q+2=0.解得 q1=2,q2= . 2 由题意得 q>1,∴q=2,∴a1=1. - 故数列{an}的通项为 an=2n 1. 3n (2)由(1)得 a3n+1=2 , ∴bn=ln a3n+1=ln 23n=3nln 2. 又 bn+1-bn=3ln 2,∴{bn}是等差数列, ∴Tn=b1+b2+?+bn n(b1+bn) 3n(n+1) = = · ln 2. 2 2
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3n(n+1) 故 Tn= ln 2. 2 变式迁移 1 D [设 a1,a2,a3,a4 的公差为 d,则 a1+2d=4,又 0<a1<2,所以 1<d<2.易知数列{bn} 是等比数列,故(1)正确;a2=a3-d∈(2,3),所以 b2=2a2>4,故(2)正确;a4=a3+d>5,所以 b4=2a4>32, 故(3)正确;又 a2+a4=2a3=8,所以 b2b4=2a2+a4=28=256,故(4)正确.] 例 2 解题导引 这是一道数列、函数、不等式的综合题,利用函数关系式求通项 an,观察 Tn 特点, 求出 Tn.由 an 再求 bn 从而求 Sn,最后利用不等式知识求出 m. 2 +3 a 1? 2+3an 2 n 解 (1)∵an+1=f? = = =an+ , ?an? 3 3 3 an 2 ∴{an}是以 为公差的等差数列. 3 2 1 又 a1=1,∴an= n+ . 3 3 (2)Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+?-a2na2n+1 =a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+?+a2n(a2n-1-a2n+1) 5 4n 1 n? + + ? 4 4 ?3 3 3? =- (a2+a4+?+a2n)=- · 3 3 2 4 2 =- (2n +3n). 9 1 1 (3)当 n≥2 时,bn= = an-1an ?2 1??2 1? ?3n-3??3n+3? 1 9 1 = ?2n-1-2n+1?, 2? ? 9 ? 1? 又 b1=3= ×?1-3?, 2 ∴Sn=b1+b2+?+bn 1 1 1 1 1 9 = ×?1-3+3-5+?+2n-1-2n+1? 2 ? ? 1 9 9n = ?1-2n+1?= 2? ? 2n+1, m-2 001 ∵Sn< 对一切 n∈N*成立. 2 9n m-2 001 即 < , 2 2n+1 1 9n 9 又∵ = ?1-2n+1?递增, ? 2n+1 2? 9n 9 m-2 001 9 且 < .∴ ≥ , 2 2 2n+1 2 即 m≥2 010.∴最小正整数 m=2 010. 变式迁移 2 解 (1)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q. 依题意,有 2(a3+2)=a2+a4, 代入 a2+a3+a4=28,得 a3=8. 3 ? ?a1q+a1q =20, ∴a2+a4=20.∴? 2 ?a3=a1q =8, ?

? ? ?q= , ?q=2, 解之,得? 或? 2 ?a1=2 ? ?

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?a1=32.
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? ?q=2, 又{an}单调递增,∴? ∴an=2n. ?a1=2. ? 1 (2)bn=2n· log 2n=-n· 2 n, 2 ∴-Sn=1×2+2×22+3×23+?+n×2n.① + ∴-2Sn=1×22+2×23+3×24+?+(n-1)×2n+n×2n 1.② + ∴①-②,得 Sn=2+22+23+?+2n-n· 2n 1 n 2(1-2 ) + + + = -n· 2n 1=2n 1-n· 2n 1-2. 1-2 由 Sn+(n+m)an+1<0, + + + + 即 2n 1-n· 2n 1-2+n· 2n 1+m· 2n 1<0 对任意正整数 n 恒成立, 1 + + ∴m· 2n 1<2-2n 1 对任意正整数 n,m< n-1 恒成立. 2 1 ∵ n-1>-1,∴m≤-1, 2 即 m 的取值范围是(-∞,-1]. 例 3 解 依题意,第 1 个月月余款为 a1=10 000(1+20%)-10 000×20%×10%-300 =11 500, 第 2 个月月底余款为 a2=a1(1+20%)-a1×20%×10%-300, 依此类推下去,设第 n 个月月底的余款为 an 元, 第 n+1 个月月底的余款为 an+1 元,则 an+1=an(1+20%)-an×20%×10%-300=1.18an-300. 下面构造一等比数列. an+1+x 设 =1.18,则 an+1+x=1.18an+1.18x, an+x ∴an+1=1.18an+0.18x. ∴0.18x=-300. 5 000 an+1- 3 5 000 ∴x=- ,即 =1.18. 3 5 000 an- 3 5 000 5 000 5 000 29 500 ∴数列{an- }是一个等比数列,公比为 1.18,首项 a1- =11 500- = . 3 3 3 3 5 000 29 500 - ∴an- = ×1.18n 1, 3 3 5 000 29 500 ∴a12- = ×1.1811, 3 3 5 000 29 500 ∴a12= + ×1.1811≈62 396.6(元), 3 3 即到年底该职工共有资金 62 396.6 元. 纯收入有 a12-10 000(1+25%) =62 396.6-12 500=49 896.6(元). 变式迁移 3 解 (1)设中低价房的面积形成的数列为{an}, 由题意可知{an}是等差数列,其中 a1=250,d=50, 则 an=250+(n-1)· 50=50n+200, n(n-1) Sn=250n+ ×50=25n2+225n, 2 令 25n2+225n≥4 750, 即 n2+9n-190≥0,而 n 是正整数,∴n≥10. ∴到 2020 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4 750 万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{bn},

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由题意可知{bn}是等比数列,其中 b1=400,q=1.08, - 则 bn=400· (1.08)n 1. 由题意可知 an>0.85bn, - 即 50n+200>400· (1.08)n 1· 0.85. 当 n=5 时,a5<0.85b5, 当 n=6 时,a6>0.85b6, ∴满足上述不等式的最小正整数 n 为 6. ∴到 2016 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. 课后练习区 1.C 2.B 3.B 4.B 5.D 6.3 7.21 8.107 1?x 1 9.解 (1)∵f(1)=a= ,∴f(x)=? ?3? .…………………………………………………(1 分) 3 1 a1=f(1)-c= -c, 3 2 a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=- , 9 2 a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=- ; 27 4 2 81 a2 2 1 又数列{an}成等比数列,a1= = =- = -c, a3 2 3 3 - 27 ∴c=1;……………………………………………………………………………………(2 分) 1?n a2 1 2 1?n-1 * 公比 q= = ,an=- ×? =-2×? ?3? ,n∈N ;………………………………(3 分) a1 3 3 ?3? ∵Sn-Sn-1=( Sn- Sn-1)( Sn+ Sn-1) = Sn+ Sn-1(n>2),……………………………………………………………………(4 分) 又 bn>0, Sn>0,∴ Sn- Sn-1=1. 数列{ Sn}构成一个首项为 1、公差为 1 的等差数列, Sn=1+(n-1)×1=n,Sn=n2. 当 n≥2,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1; 又当 n=1 时,也适合上式, ∴bn=2n-1,n∈N*.……………………………………………………………………(6 分) 1 1 1 1 (2)Tn= + + +?+ b1b2 b2b3 b3b4 bnbn+1 1 1 1 1 = + + +?+ 1×3 3×5 5×7 (2n-1)×(2n+1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1- ?+ ? - ?+ ? - ?+?+ = ? 3? 2?3 5? 2?5 7? 2? 1 ? 1? 1 ? 1? 1 n - = 1- = .……………………………………………(10 分) 2?2n-1 2n+1? 2? 2n+1? 2n+1 n 1 000 1 000 由 Tn= > ,得 n> , 9 2n+1 2 009 1 000 ∴满足 Tn> 的最小正整数为 112.…………………………………………………(12 分) 2 009 10. 解 设乙企业仍按现状生产至第 n 个月所带来的总收益为 An(万元), 技术改造后生产至第 n 个月 所带来的总收益为 Bn(万元).依题意得 An=45n-[3+5+…+(2n+1)] =43n-n2,………………………………………………………………………………(4 分)

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?3?5 ? 16? ??2? -1? 当 n≥5 时,Bn= + 3 -1 2 3?4 16? ?2? (n-5)-400=81n-594,…………………………………………………………(8 分) ∴当 n≥5 时,Bn-An=n2+38n-594, 令 n2+38n-594>0,即(n+19)2>955,解得 n≥12, ∴ 至 少 经 过 12 个 月 , 改 造 后 的 乙 企 业 的 累 计 总 收 益 多 于 仍 按 现 状 生 产 所 带 来 的 总 收 益.……………………………………………………………………………………………(12 分) 11.解 (1)令 x=n,y=1, 1 得到 f(n+1)=f(n)· f(1)= f(n),……………………………………………………………(2 分) 2 1 1 ∴{f(n)}是首项为 ,公比为 的等比数列, 2 2 1 即 f(n)=( )n.………………………………………………………………………………(5 分) 2 (2)记 Sn=a1+a2+a3+?+an, 1 ∵an=n· f(n)=n· ( )n,……………………………………………………………………(6 分) 2 1 12 1 1 ∴Sn= +2×( ) +3×( )3+?+n×( )n, 2 2 2 2 1 12 13 14 1 1 + S =( ) +2×( ) +3×( ) +?+(n-1)×( )n+n×( )n 1, 2 n 2 2 2 2 2 1 1 12 1n 1 n+1 两式相减得 Sn= +( ) +?+( ) -n×( ) , 2 2 2 2 2 1 n-1 1n 整理得 Sn=2-( ) -n( ) <2.…………………………………………………………(9 分) 2 2 f(n+1) 1 (3)∵f(n)=( )n,而 bn=(9-n) 2 f(n) 1 n+1 ( ) 2 9-n =(9-n) = .…………………………………………………………………(11 分) 1 2 ( )n 2 当 n≤8 时,bn>0; 当 n=9 时,bn=0; 当 n>9 时,bn<0, ∴n=8 或 9 时,Sn 取到最大值.……………………………………………………(14 分)

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