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高中数学必修4知识点总结


高中数学必修 4 知识点总结
第一章:三角函数 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角 ? 终边相同的角的集合:

?? ? ? ? ? 2k? , k ? Z?.

§1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. 2、 ? ?

l . r

3、弧长公式: l ?

n?R ? ? R. 180

n?R 2 1 ? lR . 4、扇形面积公式: S ? 360 2
§1.2.1、任意角的三角函数 1、 设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P?x, y ?,那么: sin ? ? y, cos ? ? x, tan ? ? 2、 设点 A? x , y (设 r ? ? 为角 ? 终边上任意一点,那么:

y x

x2 ? y 2 )

sin ? ?
3、

y x y x , cos ? ? , tan ? ? , cot ? ? r r x y

y P T

sin ? , cos? , tan ? 在四个象限的符号和三角函数线的画法.
O

正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线:AT 4、 特殊角 0°,30°,45°,60°, 90°,180°,270 等的三角函数值. 0
?
? 6

M

Ax

?
4

? 3

? 2

2? 3

3? 4

?

3? 2

2?

sin ?
cos ?

tan ?

§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 .

sin ? . cos ? 3、 倒数关系: tan ? cot ? ? 1
2、 商数关系: tan ? ?

§1.3、三角函数的诱导公式 (概括为“奇变偶不变,符号看象限” k ? Z )

-1-

sin ?? ? 2k? ? ? sin ? , 1、 诱导公式一: cos?? ? 2k? ? ? cos? , (其中: k ? Z ) tan?? ? 2k? ? ? tan? .
sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , 2、 诱导公式二: cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? .

sin ?? ? ? ? ? sin ? , 3、诱导公式三: cos?? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? . sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? ? tan? .

4、诱导公式四:

?? ? sin? ? ? ? ? cos? , ?2 ? 5、诱导公式五: ?? ? cos? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?? ? sin? ? ? ? ? cos? , ?2 ? 6、诱导公式六: ?? ? cos? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象:

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y 1 o -1
? 2 ? ? 2

3? 2 2? 5? 3? 2

7? 2 4?

x

y=cosx
-4? -7? 2 -5? -3? 2 -2? -3? 2

? -? - 2

?

3? 2 2? 5? 2

7? 3? 2

4?

x

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、 单调性、周期性. 3、会用五点法作图.

0) ( , , 1 ) ( , ?, 0) ( , y ? sin x 在 x ? [0, 2? ] 上的五个关键点为:(0, 2
§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象:
-2-

?

3? ,) -1( , 2?, 0) . 2

y

y=tanx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

2、记住余切函数的图象:
y

y=cotx

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

2?

x

3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

周期函数定义:对于函数 f ?x ? ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f ?x ? T ? ? f ?x ?,那么函数 f ?x ? 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.

-2-

图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域
x ? 2 k? ?

R
[-1,1]
?
2 , k ? Z时,y max ? 1 , k ? Z时,y min ? ?1

R
[-1,1]
x ? 2k? , k ? Z时,ymax ? 1 x ? 2k? ? ? , k ? Z时,ymin ? ?1

{x | x ?

?
2

? k? , k ? Z }

R

最值
x ? 2 k? ?

?
2



周期性 奇偶性
2

T ? 2?
奇 在 [2k? ? ? , 2k? ? ? ] 上单调递增
2

T ? 2?
偶 在 [2k? ? ? , 2k? ] 上单调递增 在 [2k? , 2k? ? ? ] 上单调递减

T ??
奇 在 ( k? ? ? , k? ? ? ) 上 单 调 递 2 2 增

单调性

k ?Z

在 [2k? ? ? , 2k? ? 3? ] 上单调递减
2 2

对称性

对称轴方程: x ? k? ? 对称中心 ( k? , 0)

?
2

对称轴方程: x ? k? 对称中心 ( k? ?

无对称轴 对称中心 (

k ?Z

?
2

, 0)

k? 2

, 0)

§1.5、函数 y ? A sin ??x ? ? ? 的图象 1、对于函数:

y ? Asin ?? x ? ? ? ? B ? A ? 0, ? ? 0? 有:振幅 A,周期 T ?
2、能够讲出函数 y ? sin x 的图象与

2?

?

, 初相 ? , 相位 ?x ? ? , 频率 f ?

1 T

?

2?

?

.

y ? Asin ??x ? ? ? ? B 的图象之间的平移伸缩变换关系.
① 先平移后伸缩:

y ? sin x

平移

| ?| 个单位

y ?sin ? x ?? ? y ? As i n ?? ? ? x

(左加右减) 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍

2

纵坐标不变 横坐标变为原来的 | 平移 | B | 个单位 (上加下减)

y ? Asin ??x ? ? ?
1

?

|倍

y ? Asin ??x ? ? ? ? B

② 先伸缩后平移:

y ? sin x

横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变

y ? A sin x y ? A sin ? x
1

横坐标变为原来的 | 平移
? ?

?

|倍

个单位

y? A sin ?? ? ?? x
y ? Asin ??x ? ? ? ? B

(左加右减) 平移 | B | 个单位 (上加下减)

3、三角函数的周期,对称轴和对称中心 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A, ? , ? 为常数,且 A≠0)的周期 T ? 函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ?

2? ; |? |

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0)的周期 T ?

? . |? |

对于 y ? A sin(? x ? ? ) 和 y ? A cos(? x ? ? ) 来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系. 求函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图像的对称轴与对称中心,只需令 ? x ? ? ? k? ?

?
2

(k ? Z ) 与

? x ? ? ? k? (k ? Z )
解出 x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得. 4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征: A ?

ymax ? ymin y ? ymin , B ? max . 2 2 ? 要根据周期来求, ? 要用图像的关键点来求.

§1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题. 第三章、三角恒等变换 §3.1.1、两角差的余弦公式 记住 15°的三角函数值:

?

sin ?
6? 2 4

cos?
6? 2 4

tan ?

? 12

2? 3
3

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1、 sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 2、 sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 3、 cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? 4、 cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? 5、 tan ?? ? ? ? ? 6、 tan ?? ? ? ? ?

tan? ?tan ? . 1?tan? tan ? tan? ?tan ? . 1?tan? tan ?

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、 sin 2? ? 2 sin ? cos ? , 变形: sin ? cos ? ? 1 . 2 sin 2? 2、 cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ?

? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? .
变形如下: 升幂公式: ?

?1 ? cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 2 ? ?1 ? cos 2? ? 2sin ?

?cos 2 ? ? 1 (1 ? cos 2? ) ? 2 降幂公式: ? ?sin 2 ? ? 1 (1 ? cos 2? ) ? 2
3、 tan 2? 4、 tan ? ?

? 2 tan? . 1 ? tan2 ?
sin 2? 1 ? cos 2? ? 1 ? cos 2? sin 2?

§3.2、简单的三角恒等变换 1、 注意正切化弦、平方降次. 2、辅助角公式

y ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ?)
(其中辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决定, tan ? ?

b ). a

第二章:平面向量 §2.1.1、向量的物理背景与概念 1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度. 2、 向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度(或称模) ,记作 AB ;长度为零的向量叫做零向量;长度
4

??? ?

等于 1 个单位的向量叫做单位向量. 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共线向量).规定:零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.

2、 a ? b ≤ a ? b . §2.2.2、向量减法运算及其几何意义 1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量. 2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.

§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义 1、 规定:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘.记作: ? a ,它的长度和方向规定 如下: ⑴

?a ? ? a ,
? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反.

⑵当 ? ? 0 时,

2、 平面向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . §2.3.1、平面向量基本定理 1、 平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量 a , 有且只有一对实数 ?1 , ? 2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 a ? xi ? y j ? ?x, y ? . §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则:

? ?

5

⑴ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ?, ⑵ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ? , ⑶ ? a ? ??x1 , ?y1 ? , ⑷ a // b ? x1 y2 ? x2 y1 . 2、 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则:

AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ?.
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?, C?x3 , y3 ? ,则

? ⑵△ABC 的重心坐标为 ?
⑴线段 AB 中点坐标为 1、 a ? b ? a b cos? .

x1 ? x2 2

y2 , , y1 ? 2

?

x1 ? x2 ? x3 3

, y1 ? y32 ? y3 .

?

§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义

2、 a 在 b 方向上的投影为: a cos? . 3、 a ? a . 4、 a ?
2 2

a .

2

5、 a ? b ? a ? b ? 0 . §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则: ⑴ a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ⑵a ?

x12 ? y12

⑶ a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ⑷ a / /b ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 2、 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则:

?

?

? ?

?

?

?

?

AB ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 .
6

3、 两向量的夹角公式

? ? a ?b co? s ? ? ? ? a b
4、点的平移公式

x1 x2 ? y1 y2 x ? y 12 ? x 2 2? y
2 1 2 2

平移前的点为 P ( x, y ) (原坐标) ,平移后的对应点为 P?( x?, y?) (新坐标) ,平移向量为 PP? ? (h, k ) , 则?

????

? x? ? x ? h ? y? ? y ? k .
函数 y ? f ( x) 的图像按向量 a ? (h, k ) 平移后的图像的解析式为 y ? k ? f ( x ? h).

?

7



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