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2016届河南省高三上学期天一大联考阶段测试数学(理)试题 一 word版含解析


天一大联考 2016 学年高中毕业班阶段性测试(一) 数学理科
一、选择题
2 ? 4i 的共轭复数所对应的点位于( ) 1? i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 答案:C 解析:考查共轭复数定义 去分母得 z=-1+3i,共轭复数对应点(-1,-3) 2. tan 240? ? ( )

1. 复数 z ?

D.第四象限

A. ?

3 3

B.

3 3

C. ? 3

D. 3

答案:D 解析:考查三角函数诱导公式 3. 已 知 命 题
x x p : ?x ? (0,?? ), 3 ? 2







1 q : ? a ? (0, ),{ x | 2 x ? 1? 1} ? x { |x ( ? a )( x ? a ? 1) ? 则下列命题为假命题的 0} 2 是( )

A. p ? ( ? q )

B. (?p ) ? q

C . ( ?p ) ? ( ?q )

D. ( ?p ) ? q

答案:A 解析:考查真假命题的或与非 易知命题 p 为假,命题 q 为真,故选 A 4. 某商厦停车场的收费标准和甲乙两车在此停车的概率分布如下表: t>2 停车时间 t 0<t≤1 1<t≤2 收费 5元 10 元 15 元 1/4 1/2 1/4 甲车对应的概率 1/2 1/3 1/6 乙车对应的概率 则甲乙两车的停车费用相同的概率为( ) 1 5 3 2 A.3 B.16 C. 4 D.3 答案:A ???? ? 1 ??? ? 2 ???? 5. 菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=60°,其内部一点 M 满足 AM ? AB ? AD , 3 3 ???? ? ???? 则 AM ? AC ? ( ) A.3 答案:D B.4 C.5 D.6

解析:考查平面向量数量积的几何意义 ???? ? ???? ??? ? ???? ???? ???? AM ? AC ? AB ? AC / 3 ? AD ? AC ? 2 / 3 ? 2 3 ? 2 cos 30? ? 6 6. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), ( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? ? / 2) 的部分图像如图所示, 将函 数 f(x)的图像向右平移π /6 个单位得到函数 g(x)的图像,则 g(x)( A. 是偶函数且图像关于点 (? , 0) 对称 称 C .是偶函数且图像关于点 (? / 2, 0) 对称 D .是奇函数且图像关于直线 )

B. 是奇函数且图像关于点 (? / 2, 0) 对

x ? ? / 3 对称 答案:B 解析:考查三角函数图像平移
由图可知 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ? / 3)
g( x) ? 2 sin[2( x ? ? / 6) ? ? / 3] ? 2 sin 2 x ,故选 B

7. 在如图所示的程序框图中,若输入 x ? ?2016 ,则输出结果为( A.2048 B.2116 C.2016 D.2015 答案:A 解析:考查流程图



? n 3 ? 8. 若 ? (2 x ? 1)dx ? 6(n ? N *) , 则二项式 ? 0 ? x
n

? x ? 的展开式中含 x 2 项的系数为 ?

6

( ) A.2 B.-2 答案:C

C.1

D.-1

解析:定积分转化为一元二次方程 n 2 ? n ? 6 ? n ? 3
m 6?m 6 0 n (?1)6 ? 1 ? ? 2 ? m ? 6 ,因此系数为 C6 3 2 9. 某空间几何体的三视图如图所示, x,y 两个未知变量, 已知俯视图的周长为 4, 则该几何体外接球的体积的最小值是( )

列出关于 x 指数的方程

A. ?

B.

3? 2

C.

3? 3

D.

3? 4

答案:B 解析:考查三视图,这是一个三棱柱 由周长得 x+y=2,外接球中截面可参考图例右下方示意图 因此 4 R 2 ? 1 ? x 2 ? y 2 ? 3 ,即 V ?
4? 3 3? R ? 3 2

10. 在 《张邱建算经》 中有一道题: “今有女子不善织布, 逐日所织的布同数递减,

初日织五尺,末一日织一尺,计织三十日.”由此推断,该女子到第十日时, 大约已经完成三十日织布总量的( ) A.33% B.49% C.62% D.88% 答案:B 解析:考查等差数列 依题意 a1 ? 5, a30 ? 1 ? d ? ?4 / 29
S n ? na1 ?

10a1 ? 10 ? 9 ? d / 2 n(n ? 1) 44 d 比例 S10 / S30 ? ? 2 30a1 ? 30 ? 29 ? d / 2 90

11. 如图,某计时沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为 8,用一 个平行于圆锥沙漏的轴的平面 α 截圆锥, 得到的截口曲线为双曲线的一部分, 且圆锥顶点 P 到平面 α 的距离为 2,则此双曲线的离心率为( ) A.
5 2

B.

2 2

C. 2

D.2

答案:A 解析:考查圆锥曲线 如图所示,在平面 α 内建系,以 P 在平面上投影为原点 过点 P 的平面 α 的垂直截面中,A 为双曲线右顶点(4,0) 圆锥底面圆上截得的半弦长为 r 2 ? d 2 ? 42 ? 22 ? 2 3 双曲线标准方程

x2 y 2 b2 ? 2 ? 1 经过点 (8, 2 3) 推出 b 2 ? 4 , 2 ? e 2 ? 1 16 b a

12. 设满足方程 (2a ln a ? b) 2 ? (c 2 ? mc ? 3 ? d ) 2 ? 0 的点(a,b),(c,d)的运动轨迹分别
1 为曲线 M,N,若在区间 [ , e] 内,曲线 M,N 有两个交点,则实数 m 的最大值 e 为( ) A.4 B.4+2ln3 C.e+2+3/e D.1/e+3e-2 答案:C

解析:曲线 M 为 f ( x) ? 2 x ln x, ( x ? 0) 曲线 N 为 g ( x) ? ? x 2 ? mx ? 3 两曲线有交点即方程 2 x ln x ? ? x 2 ? mx ? 3 有两根,分离变量得
h( x) ? 2 ln x ? x ? 3 / x , h '( x) ?

2 3 x2 ? 2 x ? 3 ?1? 2 ? x x x2

1 1 1 3 因此 h(x)在 [ ,1] ? , [1, e] ? ,极小值 h(1)=4, h( ) ? 3e ? ? 2 ? h(e) ? e ? 2 ? e e e e

要有两个交点, 4 ? m ? h(e) 二、填空题

?1, x ? Q 13. 定义函数 f ( x) ? ? ,则 f ( f (2016 ? ? )) ? ___ ??1, x ? Q
答案:1 解析:π 是典型的无理数,因此内函数取值-1,外函数取值正 1 14. 已知过抛物线 C : y 2 ? 4 x 焦点的直线 l 与抛物线 C 交于 M,N 两点(M 点在 x

???? ???? 轴上方) ,且 MF ? 3FN ,则点 M 的坐标为___
答案: (3, 2 3) 解析:考查抛物线焦点弦分成比例问题 焦点 F(1,0),设焦点弦直线方程 y=k(x-1) p 3p 1 取 k 2 ? 3 ,联立方程得 x=3(x 轴上方) , y 2 ? 12 ? ? cos ? ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 2

?y ? 0 ? 15. 在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? a ? 0 , (a 为常数)表示的平面区域 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
的面积为 3,则 z ? a | x | ? y 的最大值为___ 答案:3 解析:联立方程得交点 x ? 三角形面积
4?a 4 ? 2a ,y? 3 3

2 ? a 4 ? 2a ? ? 3 ? a ? 1 ,四个交点(0,0),(2,0),(-1,0),(1,2) 2 3 目标函数最大值为 1+2=3 16. 在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 2c cos B ? 2a ? b ,若 ?ABC 的面

积为 S ? 答案:1/3

3 c ,则 ab 的最小值为___ 12

解析: 2sin C cos B ? 2sin A ? sin B ? 2sin( B +C ) ? sin B
1 3 sin B cos C ? sin B ? 0 ? cos C ? ? , sin C ? 2 2

S?

3 1 c ? ab sin C ? c ? 3ab 12 2

根据余弦定理 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ,因此 9a 2b 2 ? a 2 ? b 2 ? ab ? 3ab , ab ? 1/ 3 三、解答题 17. 已知等比数列 ?an ? 的公比为 q, a1 ? 1/ 2 ,其前 n 项和为 S n ,且 S 2 ? S3 ? 2S 4

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

?1? (2)设 bn ? log 2 | a1 | ? log 2 | a2 | ? log 2 | a3 | ?... ? log 2 | an | ,求数列 ? ? 的前 n 项和. ? bn ?
18. 如图为某校高二奥赛班 N 名学生的物理测评成绩(满分 120 分)的频率分布 直方图,已知 100~110 分数段的学生有 21 人. (1)求总人数 N 和 110~115 分数段内的人数 n; (2)现欲从 110~115 分数段内的 n 名学生(女生占 1/3)中选 3 名学生分配给某 老师进行指导, 设随机变量 X 表示 3 名学生中女生的人数, 求 X 的分布列和数学 EX. 期望 19. 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, 底面四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形, ∠ABC=60°, ?PDC 是正三角形,平面 PDC⊥平面 ABCD,M 为 PA 的中点. (1)求证:PA⊥CD; (2)求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值. 20. 设 椭 圆 E :
4 x2 y 2 3 2 2 ,圆 x ?y ? 与直线 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 2 5 a b 2

x y ? ? 1 相切,O 为坐标原点. a b (1)求椭圆 E 的方程;

(2)已知定点 Q(t , 0)(t ? 0) ,斜率为 1 的直线 l 过点 Q 且与椭圆 E 交于不同的两

???? ???? ???? 点 C,D,若 ON ? cos ? ? OC ? sin ? ? OD ,且对于任意 ? ? [0, 2? ) 总有点 N 在椭圆 E
上,求满足条件的实数 t 的值. 21. 已知函数 f (x) ? e x , h( x) ? k ( x ? 1) . (1)当函数 f(x)的图像恒在 h(x)的图像上方时,求正实数 k 的取值范围; (2)当函数 f ( x) ? h( x) 有两个零点 x1 , x2 时,证明: x1 ? x2 ? 0 . 四、选作题 22. 如图,已知圆内接四边形 ACDB,过 D 的切线与 AC 的延长线交于点 E,AD 交 BC 于点 F,BC//DE. (1)求证:AD 平分∠BAC; (2)若 ?ABC 为边长为 3 的正三角形,求 AD 的长.

? x ? ?t 23. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ,曲线 C 的参数方 ? y ? 1? t ? x ? 4 ? 2(cos ? ? sin ? ) 程为 ? ,若以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极 ? y ? 2(cos ? ? sin ? )
坐标系. (1)求曲线 C 的极坐标方程;

(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,点 P 的直角坐标为(0,2) ,求 ?PAB 的 面积. 24. 设函数 f ( x) ? a | 2 x ? 1| ? | x ? 2 | . (1)若 a=1,求不等式 f ( x) ? x ? 1 的解集; (2)若函数 f(x)在 x=-2 处存在唯一的最大值,求实数 a 的取值范围.



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