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一轮复习 第七章 立体几何 7.4 空间中的平行关系课时规范训练


【高考领航】 2017 届高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 7.4 空 间中的平行关系课时规范训练 理 北师大版
[A 级 基础演练] 1.(2015·高考北京卷)设 α ,β 是两个不同的平面,m 是直线且 m? α ,“m∥β ”是 “α ∥β ”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 α ∥β ;

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

解析:当 m∥β 时,过 m 的平面 α 与 β 可能平行也可能相交,因而 m∥β

当 α ∥β 时, α 内任一直线与 β 平行, 因为 m? α , 所以 m∥β .综上知, “m∥β ”是“α ∥β ”的必要而不充分条件. 答案:B 2.(2015·高考安徽卷)已知 m,n 是两条不同直线,α ,β 是两个不同平面,则下列 命题正确的是( )

A.若 α ,β 垂直于同一平面,则 α 与 β 平行 B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若 α ,β 不平行,则在 α 内不存在与 β 平行的直线 D.若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 解析:A 项,α ,β 可能相交,故 A 错误;B 项,直线 m,n 的位置关系不确定,可能 相交、平行或异面,故 B 错误;C 项,若 m? α ,α ∩β =n,m∥n,则 m∥β ,故 C 错误; D 项,假设 m,n 垂直于同一平面,则必有 m∥n,所以原命题正确,故 D 项正确. 答案:D 3.(2016·汕头质检)若 m,n 为两条不重合的直线,α ,β 为两个不重合的平面,则 下列命题中真命题的序号是__________. ①若 m,n 都平行于平面 α ,则 m,n 一定不是相交直线; ②若 m,n 都垂直于平面 α ,则 m,n 一定是平行直线; ③已知 α ,β 互相平行,m,n 互相平行,若 m∥α ,则 n∥β ; ④若 m,n 在平面 α 内的射影互相平行,则 m,n 互相平行. 解析:①为假命题,②为真命题,在③中,n 可以平行于 β ,也可以在 β 内,故是假 命题,在④中,m,n 也可能异面,故为假命题. 答案:② 4.棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是棱 AA1 的中点,过 C、M、D1 作正方体的截 面,则截面的面积是________. 解析:由面面平行的性质知截面与面 AB1 的交线 MN 是△AA1B 的中位线,所以截面是梯
1

9 形 CD1MN,易求其面积为 . 2 9 答案: 2 5.已知 α 、β 是不同的两个平面,直线 a?α ,直线 b?β ,命题 p:a 与 b 没有公共 点;命题 q:α ∥β ,则 p 是 q 的________条件. 解析:∵a 与 b 没有公共点,不能推出 α ∥β , 而 α ∥β 时,a 与 b 一定没有公共点, 即p

q,q? p,∴p 是 q 的必要不充分条件.

答案:必要不充分 6.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上.若 EF∥ 平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于________.

解析:因为直线 EF∥平面 AB1C,EF?平面 ABCD,且平面 AB1C∩平面 ABCD=AC,所以 EF 1 ∥AC.又因为点 E 是 DA 的中点,所以 F 是 DC 的中点,由中位线定理可得 EF= AC.又因为在 2 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,所以 AC=2 2,所以 EF= 2. 答案: 2 7.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中 M,N 分别是 AB,AC 的中点,G 是 DF 上的一动点. (1)求该多面体的体积与表面积; (2)当 FG=GD 时,在棱 AD 上确定一点 P,使得 GP∥平面 FMC,并给出证明.

解:(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱,在△ADF 中,AD⊥DF,DF=AD=DC=a,所 1 3 1 2 2 2 2 2 以该多面体的体积为 a ,表面积为 a ×2+ 2a +a +a =(3+ 2)a . 2 2 (2)点 P 与点 A 重合时,GP∥平面 FMC. 取 FC 的中点 H,连接 GH,GA,MH.
2

∵G 是 DF 的中点, 1 ∴GH 綊 CD. 2 1 又 M 是 AB 的中点,∴AM 綊 CD. 2 ∴GH∥AM 且 GH=AM,∴四边形 GHMA 是平行四边形.∴GA∥MH. ∵MH?平面 FMC,GA 平面 FMC,∴GA∥平面 FMC,即当点 P 与点 A 重合时,GP∥平面

FMC.
8.(2016·石家庄二中一模)如图,在四棱锥 P?ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,∠ABC=∠ACD =90°,∠BAC=∠CAD=60°,E 为 PD 的中点,F 在 AD 上,且∠FCD=30°.

(1)求证:CE∥平面 PAB; (2)若 PA=2AB=2,求四面体 P?ACE 的体积. 解:(1)证明∵∠ACD=90°,∠CAD=60°, ∴∠FDC=30°. 又∠FCD=30°,∴∠ACF=60°, ∴AF=CF=DF,即 F 为 AD 的中点. 又 E 为 PD 的中点, ∴EF∥PA,∵AP?平面 PAB,EF ∴EF∥平面 PAB. 又∠BAC=∠ACF=60°, ∴CF∥AB,可得 CF∥平面 PAB. 又 EF∩CF=F, ∴平面 CEF∥平面 PAB,而 CE?平面 CEF, ∴CE∥平面 PAB. (2)∵EF∥AP,AP?平面 APC,EF? 平面 APC, ∴EF∥平面 APC. 又∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=60°,PA=2AB=2, ∴AC=2AB=2,CD= =2 3. tan 30° 平面 PAB,

AC

3

1 1 1 1 1 2 3 ∴VP?AEC=VE?PAC=VF?PAC=VP?ACF= × ×S△ACD·PA= × × ×2×2 3×2= . 3 2 3 2 2 3 [B 级 能力突破] 1. (2015·高考福建卷)若 l, m 是两条不同的直线, m 垂直于平面 α , 则“l⊥m”是“l ∥α ”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

解析:∵m⊥α ,若 l∥α ,则必有 l⊥m,即 l∥α ? l⊥m. 但 l⊥m

l∥α ,∵l⊥m 时,l 可能在 α 内.

故“l⊥m”是“l∥α ”的必要而不充分条件. 答案:B 2.(2016·北京模拟)以下命题中真命题的个数是( )

(1)若直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线,则直线 l∥α ; (2)若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α ; (3)若直线 a∥b,b?α ,则 a∥α ; (4)若直线 a∥b,b?α ,则 a 平行于平面 α 内的无数条直线. A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个

解析: 命题(1)l 可以在平面 α 内, 不正确; 命题(2)直线 a 与平面 α 可以是相交关系, 不正确;命题(3)a 可以在平面 α 内,不正确;命题(4)正确. 答案:A 3.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是棱 BC,CC1 的中点,P 是侧面 BCC1B1 内一点,若 A1P∥平面 AEF,则线段 A1P 长度的取值范围是( )

A.?1, C.?

? ?

5? ? 2?

B.?

5? ?3 2 , ? 4 2 ? ?

? 5 ? , 2? ?2 ?

D.[ 2, 3]

解析:选 B.取 B1C1 的中点 M,BB1 的中点 N,连接 A1M,A1N,MN,可以证明平面 AMN∥平 面 AEF,所以点 P 位于线段 MN 上,因为 A1M=A1N= 5 ?1?2 1+? ? = ,MN= ?2? 2

?1?2+?1?2 ?2? ?2? ? ? ? ?

4



2 ,所以当点 P 位于 M,N 处时,A1P 的长度最长,当 P 位于 MN 的中点 O 时,A1P 的长度 2 3 2 5 ? 5?2 ? 2?2 3 2 ? ? -? ? = 4 ,所以 A1O≤A1P≤A1M,即 4 ≤A1P≤ 2 ,所以 ?2? ?4? 5? ?3 2 , ?,选 B. 2 ? ? 4

最短,此时 A1O=

线段 A1P 长度的取值范围是?

4.如图所示,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M、N 分别是下底面的棱 A1B1、B1C1 的中点,P 是上底面的棱

a AD 上的一点,AP= ,过 P、M、N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ=________.
3 解析:∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,∴MN∥PQ. ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点,AP= , 3

a

a 2a ∴CQ= ,从而 DP=DQ= , 3 3
2 2 ∴PQ= a. 3 2 2 答案: a 3 5.如图所示,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足条件________时,有

MN∥平面 B1BDD1.

解析:由题意,HN∥面 B1BDD1,FH∥面 B1BDD1. ∵HN∩FH=H,∴面 NHF∥面 B1BDD1. ∴当 M 在线段 HF 上运动时, 有 MN∥面 B1BDD1. 答案:M∈线段 HF
5

6.如图,

正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,

Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S, 则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的
编号). 1 ①当 0<CQ< 时,S 为四边形; 2 1 ②当 CQ= 时,S 为等腰梯形; 2 3 1 ③当 CQ= 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= ; 4 3 3 ④当 <CQ<1 时,S 为六边形; 4 ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为 6 . 2

解析:利用平面的基本性质结合特殊四边形的判定与性质求解. 1 ①当 0<CQ< 时,如图(1). 2 在平面 AA1D1D 内,作 AE∥PQ, 显然 E 在棱 DD1 上,连接 EQ,则 S 是四边形 APQE.

1 ②当 CQ= 时,如图(2). 2 显然 PQ∥BC1∥AD1,连接 D1Q,则 S 是等腰梯形. 3 ③当 CQ= 时,如图(3). 4 1 作 BF∥PQ 交 CC1 的延长线于点 F,则 C1F= . 2 作 AE∥BF,交 DD1 的延长线于点 E,

6

D1E= ,AE∥PQ,连接 EQ 交 C1D1 于点 R,
由于 Rt△RC1Q∽Rt△RD1E, ∴C1Q∶D1E=C1R∶RD1=1∶2, 1 ∴C1R= . 3

1 2

3 ④当 <CQ<1 时,如图(3),连接 PM(点 M 为 AE 与 A1D1 交点),显然 S 为五边形 APQRM. 4 ⑤当 CQ=1 时,如图(4). 同③可作 AE∥PQ 交 DD1 的延长线于点 E,交 A1D1 于点 M,显然点 M 为 A1D1 的中点,所以

S 为菱形 APQM,其面积为 MP×AQ= × 2× 3=
答案:①②③⑤ 7.(2016·潍坊市模拟)

1 2

1 2

6 . 2

1 如图,已知平行四边形 ABCD 与直角梯形 ABEF 所在的平面互相垂直,且 AB=BE= AF= 2 π 1,BE∥AF,AB⊥AF,∠CBA= ,BC= 2,P 为 DF 的中点. 4 (1)求证:PE∥平面 ABCD; (2)求三棱锥 A?BCE 的体积. 解:(1)证明:取 AD 的中点 M,连接 MP,MB, 在△ADF 中,FP=PD,DM=MA,

7

1 ∴MP∥AF,且 MP= AF. 2 1 又 BE∥AF,BE= AF,∴MP∥BE,且 MP=BE, 2 ∴四边形 BMPE 为平行四边形.∴PE∥BM. 又 PE 平面 ABCD,BM?平面 ABCD, ∴PE∥平面 ABCD. π (2)在△ABC 中,AB=1,∠CBA= ,BC= 2, 4 ∴由余弦定理 AC =BC +AB -2BC·ABcos∠CBA=1 +( 2) -2× 2×1× 得 AC +AB =BC ,∴AC⊥AB. ∵平面 ABCD⊥平面 ABEF,又平面 ABCD∩平面 ABEF=AB,∴AC⊥平面 ABEF. 又 BE∥AF,AB⊥AF,∴BE⊥AB, 1 1 又 AB=BE=1,∴S△ABE= ×1×1= , 2 2 1 1 1 1 ∴VA?BCE=VC?ABE= S△ABE·AC= × ×1= . 3 3 2 6
2 2 2 2 2 2 2 2

2 =1, 2

8


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