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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.2 矩阵与变换课件 理


第十四章 系列4选讲

§14.2 矩阵与变换

内容 索引

基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理
?b ? ? 11 ? a12] 与列矩阵? ?的乘法规则:

?b21?

1.乘法规则
(1)行矩阵[ a11
[ a11
?b ? ? 11 ? a12] ? ?= ?b21?

[a11×b11+a12×b21] .
?x ? a12 ? ? ? 0? ?与列向量? ?的乘法规则: a22? ?y0?

?a ? 11 (2)二阶矩阵? ?a21

?a ? 11 ? ?a21

?a11×x0+a12×y0? ? ? ? ? a12 ? ?a ×x +a ×y ? ??x0? 21 0 22 0? . ?? ?= ?

a22??y0?

答案

(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵,其乘法法则如下:
?a ? 11 ? ?a21

?a11×b11+a12×b21 a11×b12+a12×b22 ? ?b ? a12 ? b 11 12 ? ? ?? ? = . ?? ? ? ? a22??b21 b22? ?a21×b11+a22×b21 a21×b12+a22×b22?

(4)两个二阶矩阵的乘法满足 结合 律,但不满足 交换 律和 消去 律. 即(AB)C=A(BC), AB≠BA, 由AB=AC不一定能推出B=C. 一般地,两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等 时才能进行乘法运算.
答案

2.常见的平面变换
?1 (1)恒等变换:如? ? ?0

0? ? ?; 1?
0? ? 1?; 2? ?
0? ?; -1 ?
-sin θ? ?,其中 θ 为旋转角度; cos θ?

?1 ? (2)伸压变换:如? ?0 ?
?1 (3)反射变换:如? ?0

?cos θ (4)旋转变换:如? ?sin θ

?1 ? (5)投影变换:如? ?0
?1 (6)切变变换:如? ? ?0

?1 0? ? ? ,? 0? ? ?1

0? ? ; 0? ?

k? ? ?(k∈R,且 k≠0). 1?

3.逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵A、B,若有AB=BA=E,则称A是 可逆的 ,B称为A 的 逆矩阵 ; (2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵,则AB也存在逆矩阵,且(AB)-1= B-1A-1.
答案

4.特征值与特征向量 设 A是一个二阶矩阵,如果对于实数 λ,存在一个非零向量α ,使Aα= λα,那么λ称为A的一个 特征值,而α称为A的属于特征值λ的一个 特征 向量 . 5.特征多项式

?a A= ? ? ?c

?λ-a b? ? ? 是一个二阶矩阵, λ ∈ R , 我们把行列式 f ( λ ) = ?-c d? ? ?

λ-d ? ?

-b? ?

2 = λ -(a+d)λ+ad-bc ,称为 A 的特征多项式.

答案

2

考点自测
? 1 1? 1? ? ? ? - 2? 2? ? 2 ,B=? ,求 AB. ? ? 1 1 1 ? ?- ? 2? 2? ? 2

?1 ? ?2 1.已知 A=? 1 ? ?2
?1 ? ?2 AB=? 1 ? ?2



1?? 1 ?? 2?? 2 1?? 1 ??- 2?? 2

1? - 2? ? 1? ? 2?
1 1 1 1? ? ? × ? - ? + × 2 2 2 2? ?0 =? ? 1 1 1 1 ?0 ? × ? - ? + × 2 2 2 2? 0? ? ?. 0?
1 2 3
解析答案

?1 1 1 1 ? × + ×?- ? 2 ?2 2 2 =? 1 1 1 1 ? × + ×?- ? 2 ?2 2 2

?-1 2.设 A=? ? 0

?0 0? ?,B=? 1? ?1

-1? ?,求 AB 的逆矩阵. 0?
1? ?, 0?
0? ? ?0 ?= ? 1? ?1 1? ? ?. 0?



∵A

-1

?-1 =? ? 0

? 0 0? 1 ?,B- =? 1? ?-1

? 0 1 1 1 ∴(AB)- =B- A- =? ?-1

1??-1 ?? 0 ?? 0

1

2

3

解析答案

?6 ? 3.求矩阵 M=? ?6

-3? ?

的特征值. ? -3?



?λ-6 ? 3 ? ? f(λ)=? =(λ-6)(λ+3)+18=0. ? ?-6 λ+3?

∴λ1=0,λ2=3.
∴M的特征值为0和3.

1

2

3

解析答案

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题型分类 深度剖析

题型一

矩阵与变换
已知 a,b 是实数,如果矩阵
?2 M=? ? ?b

例1

a? ? ?所对应的变换将直线 x-y= 1?

1 变换成 x+2y=1,求 a,b 的值.



设点(x,y) 是直线 x- y=1 上任意一点,在矩阵 M的作用下变成点
? ?x? ?x′? a? ?x′=2x+ay, ?? ? ?,所以? ?? ?=? 1??y? ?y′? ? ?y′=bx+y.

(x′,y′),
?2 则? ? ?b

因为点(x′,y′)在直线x+2y=1上,
?a=-3, ? ? ?2+2b=1, 所以(2+2b)x+(a+2)y=1,即? 所以? 1 ? ?b=- . ?a+2=-1, 2 ?

思维升华

解析答案

二阶矩阵M对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点 跟踪训练1
(-1,-1)与(0,-2).

(1)求矩阵M; ?-1? ?a ? ?a ?? ? 1 b b ? ? ? ? ? ? ? 解 设 M=? ,则有 = , ? ? ? ? ? ? d? d ??-1? ?-1? ?c ?c
?a ? ? ?c

?a =1 , ? ? ? ?b =2 , ?a-b=-1, ?-2a+b=0, 所以? 且? 解得? ? ? ?c=3, ?c-d=-1, ?-2c+d=-2, ? ?1 ? d =4 , 2? ? ?

? ? ? 0? b? ? -2 ?=? ?, ?? d ?? 1? ?-2?

所以 M=?

?3

4? ?

.

解析答案

(2)设直线l在变换作用下得到了直线m:x-y=4,求l的方程.

?x′? ?1 ? ? ? 因为 =? ?y′? ?3 ?x+2y ? ? ? 2? ? ? ??x? , ?? ?=? ? 4??y? ?3x+4y?

且m:x′-y′=4,所以(x+2y)-(3x+4y)=4, 整理得x+y+2=0, 所以直线l的方程为x+y+2=0.

解析答案

题型二

求逆矩阵
(2015· 福建)已知矩阵
?2 A=? ? ?4 ?1 1? ? ? , B = ?0 3? ? ?

例2

1? ? . -1 ? ?

(1)求A的逆矩阵A-1;



因为|A|=2×3-1×4=2,

?3 1? ?3 1 ? ? ? ? - 2? 2 -2 ? ?2 -1 ?. 所以 A =? =? ? 4 2 ? 1? ?- ? ?-2 ? 2 2 ? ?

解析答案

(2)求矩阵C,使得AC=B.



由AC=B得(A-1A)C=A-1B,
?3 1? ? ?=?2 -1? ? ?-2 ? 2 ? ?. -3? ?

?3 1 ? ? ??1 - -1 2 ?? 故 C=A B=?2 0 ? ?-2 ? 1? ?

思维升华

解析答案

跟踪训练2
?-1 已知矩阵 A=? ? 0
?1 0? ?,B=? ? ?0 2?

2? ? -1 ,求矩阵 A B. ? 6?

解析答案

题型三

特征值与特征向量
已知矩阵 A 的逆矩阵 A
-1

例3

?2 ? =? ?1

1? ? . 2? ?

(1)求矩阵A;



因为矩阵A是矩阵A-1的逆矩阵,且|A-1|=2×2-1×1=3≠0,
? 2 ? -1? ? ? 3 =? ? 2? ? 1 - ? 3

1? ? 2 所以 A=3? ?-1

1? -3? ? . ? 2 ? 3?

解析答案

(2)求矩阵A-1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 解 矩阵A-1的特征多项式为
λ-2? -1? ?
2 = λ -4λ+3=(λ-1)(λ-3), ?

?λ-2 ? f(λ)=? ? -1

令f(λ)=0,得矩阵A-1的特征值为λ1=1或λ2=3,
? 1? ?是矩阵 A-1 的属于特征值 λ1=1 的一个特征向量, 所以 ξ1=? ? -1?
?1? ? ξ2=? ? ?是矩阵 ?1?

A-1 的属于特征值 λ2=3 的一个特征向量.
思维升华 解析答案

跟踪训练3
?1 已知矩阵 A=? ?a

-1? ?,其中 a∈R,若点 P(1,1)在矩阵 A 的变换下得到 1?

点 P′(0,-3).

(1)求实数a的值;

?1 由题意得? ?a
? ? 0? -1?? ?1? ?? ?=? ?, 1??1? ?-3?

所以a+1=-3,所以a=-4.

解析答案

(2)求矩阵A的特征值及特征向量.

? 1 ? 由(1)知 A=? ?-4

-1? ?

?λ-1 ? 1 ? ? 2 , 令 f ( λ ) = = ( λ - 1) -4=0. ? ? ? 1? ? 4 λ- 1 ?

解得A的特征值为λ=-1或3.
当 λ=-1 时,
? ?1? ?-2x+y=0, ? ? ? 由 得矩阵 A 的属于特征值-1 的一个特征向量为? ?, ?2? ? ?4x-2y=0

当 λ=3 时,
? ? 1? ?2x+y=0, ?. 由? 得矩阵 A 的属于特征值 3 的一个特征向量为? ? ?-2? ?4x+2y=0
解析答案 返回

思想方法 感悟提高

?a ? 1.二阶矩阵与平面列向量乘法:? ?b

?ax+cy ? ? ? c? ? ? ??x? ,这是所有变换的基础. ?? ?=? ? d??y? ?bx+dy?

2.证明两个矩阵互为逆矩阵时,切记从两个方向进行,即AB=E=BA.
? ?a1x+b1y=c1, 3.二元一次方程组? 相应的矩阵方程为 AX=B,其中 A= ? ?a2x+b2y=c2
?a ? 1 ? ?a2 ?x? ?c ? b1 ? ? ? ? ? 1? ?为系数矩阵,X 为未知数向量? ?,B=? ?为常数向量. b2 ? ?y? ?c2?

4. 若某一向量在矩阵变换作用下的像与原像共线,则称这个向量是属

于该变换矩阵的特征向量,相应共线系数为属于该特征向量的特征值.
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练出高分

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1.已知


?1 A=? ? ?6

5? ? ?,求 A 的特征值. 2?
λ-2? ? -5? ?

?λ-1 ? A 的特征多项式 f(λ)=? ? -6

=(λ-1)(λ-2)-30=λ2-3λ-28=(λ-7)(λ+4),

∴A的特征值为λ1=7,λ2=-4.
故A的特征值为7和-4.

解析答案

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? 2 ? 2.已知矩阵 A=? ?-4

-1? ?

? 4 ? ,B=? ? 3? ?-3

-1? ?

,求满足 AX=B 的二阶矩阵 X. ? 1?



?3 ? 由题意,得 A-1=?2 ? ? 2

1? ? 2 ?, 1? ?

∵AX=B,
?3 1 ?? ? ?? 4 -1 ∴X=A B=?2 2 ?? -3 ? 1? ? 2 ?? ?9 ? ? ? -1? ? - 1 2 ? ?. = ? 1? ? 5 -1? ? ?
解析答案

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?1 ? M=? ?3

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3.已知矩阵

?1? ? 0? 2? ? ? ? ?,求 M(2α+4β). ?,α=? ?,β=? 4? ?2? ?-3?



?2? ? 0 ? ? 2? ? ? ?=? ?, 2α+4β=? ?+? ?4? ?-12? ?-8?

?1 ? M(2α+4β)=? ?3

? 2? ? -14? 2? ? ? ? ? ? =? . ? ? 4??-8? ?-26?

解析答案

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4.已知矩阵 A 将点(1,0)变换为(2,3),且属于特征值 3 的一个特征向量是
?1? ? ? ? ?,求矩阵 ?1?

A.
? ?a ??1? ?2? b? b ?a=2, ? ? ?? ? ? ? ?,由? ?? ?=? ?,得? d? d ??0? ?3? ?c ? ?c=3.


?a 由? ? ?c



?a A=? ? ?c

? ? ?1? ?1? ?3? a + b = 3 , b? ? ?b=1, ?? ? ? ? ? ? 所以? ?? ?=3? ?=? ?,得? d ??1? ?1? ?3? ? ? ?c+d=3. ?d=0.
?2 A=? ? ?3

所以

1? ? ?. 0?
解析答案

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5.曲线 C1:x2+2y2=1 在矩阵 的方程.

?1 M=? ? ?0

2? ? ?的作用下变换为曲线 C2,求 C2 1?



设 P(x, y) 为曲线 C2 上任意一点, P′(x′ , y′) 为曲线 x2 + 2y2 = 1
?x′? ?x? 2? ? ? ? ? ? =? ?, ? 1??y′? ?y?

上与P对应的点,
?1 ? 则? ?0

? ? ?x=x′+2y′, ?x′=x-2y, 即? ?? ? ? ?y=y′ ?y′=y.

因为P′是曲线C1上的点,所以C2的方程为(x-2y)2+2y2=1.
解析答案

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?x ? 1? ?是矩阵 A=? 6.(2015· 江苏)已知 x,y∈R,向量 α=? ? - 1 ?y ? ?

1? ? ?的属于特征 0?

值-2 的一个特征向量,求矩阵 A 以及它的另一个特征值.


?x ? 即? ?y

由已知,得Aα=-2α,
? 1? ?x-1? ?-2? 1? ? ?= ? ?, ?=? ?? 0??-1? ? y ? ? 2?

? ? ?-1 ?x-1=-2, ?x=-1, 则? 即? 所以矩阵 A=? ? ? ? 2 ?y=2, ?y=2,

1? ?. 0?

从而矩阵A的特征多项式f(λ)=(λ+2)(λ-1),

所以矩阵A的另一个特征值为1.
解析答案

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7.设A是一个二阶矩阵,如果A是可逆的,证明A的逆矩阵是唯一的. 证明 设B1,B2都是A的逆矩阵,

则B1A=AB1=E2,B2A=AB2=E2,
从而B1=E2B1=(B2A)B1=B2(AB1)=B2E2=B2. 即B1=B2.故A的逆矩阵是唯一的.

解析答案

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?1 ? 8.求曲线|x|+|y|=1 在矩阵 M=? ?0 ?

0? ? 1?对应的变换作用下得到的曲线所围 3? ?

成图形的面积.

解析答案

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?an+4? ?a ? ? ? ? n? 9.设数列{an}, {bn}满足 an+1=2an+3bn, bn+1=2bn, 且满足? =M? ?, ? ?bn? ?bn+4?

求二阶矩阵 M. ?an+1? ?2 3??an? ? ? ? ?? ? 解 依题设有? = ? ?? ?, ? ?bn+1? ?0 2??bn? ?2 ? 3 ? 4 令 A= ? ,则 M = A , ? ? 2? ?0
?2 A2=? ? ?0 ?4 ? 3? 12 ? ? ? = ? ? ?. 2? ?0 4? ?4 ? ?16 12? 12? ? ??4 ? ? 4 2 2 M=A =(A ) =? = ?? ? ? 0 4 0 4 ? ?? ? ? 0 ?2 3? ?? ? 2? ??0

96? ? ?. 16?
解析答案

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10.已知矩阵

?1 A= ? ? ?1

?0 0? ? ? , B = ? 1? ? ?3

2? ? ?. 2?

(1)求满足条件AM=B的矩阵M; ?a b? ? ? 解 设 M=? ?, d? ?c
?1 AM=? ? ?1 ? ? a b? ? 0? b? ??a ? ?0 ?=? ?? ?=? 1??c d ? ?a+c b+d ? ?3

2? ? ?, 2?
2? ? ?. 0?
解析答案

?a=0, ? ?a+c=3, 得? ?b=2, ? ?b+d=2,

?0 ? ∴a=0,b=2,c=3,d=0.∴M=? ?3

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(2)矩阵M对应的变换将曲线C:x2+y2=1变换为曲线C′,求曲线C′ 的方程.

解析答案

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