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高中阶段常见函数性质及图像


高中阶段常见函数性质汇总
函 数 名 称:常数函数 解析式 形 式:f(x)=b (b∈R) 图象及其性质:函数 f(x)的图象是平行于 x 轴或与 x 轴重合(垂直于 y 轴)的直线 定 义 域:R 值 域:{b} 单 调 性:没有单调性 奇 偶 性:均为偶函数[当 b=0 时,函数既是奇函数又是偶函数] 反 函 数:无反函数 周 期 性:无周期性 y b O

/>
f(x)=b x

函 数 名 称:一次函数 解析式 形 式:f(x)=kx+b (k≠0,b∈R) 图象及其性质:

定 值 单 奇 反 周

义 调 偶 函 期

域:R 域:R 性:当 k>0 时,函数 f(x)为 R 上的增函数; 当 k<0 时,函数 f(x)为 R 上的减函数; 性:当 b=0 时,函数 f(x)为奇函数;当 b≠0 时,函数 f(x)没有奇偶性; 数:有反函数。[特殊地,当 k=-1 或 b=0 且 k=1 时,函数 f(x)的反函数为原函 数 f(x)本身] 性:无

函 数 名 称:反比例函数 解析式 形 式:f(x)=

k (k≠0) x

图象及其性质: 定 值 单 调 义 域: (??,0) ? (0,??) 域: (??,0) ? (0,??) 性:当 k>0 时,函数 f(x)为 (??,0) 和 (0,??) 上的减函数; 当 k<0 时,函数 f(x)为 (??,0) 和 (0,??) 上的增函数; 奇 反 周 偶 函 期 性:奇函数 数:原函数本身 性:无

函 数 名 称:二次函数 解析式 形 式:一般式: f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

顶点式: f ( x) ? a( x ? k ) ? h(a ? 0)
2

两根式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0)

图象及其性质

f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0?

a?0

a?0

图像

x??

b 2a

x??

b 2a

定 值



域:R 域:当 a ? 0 时,值域为 ( 性:当 a ? 0 时, ( ?? ,?

4ac ? b 2 4ac ? b 2 ,??) ;当 a ? 0 时,值域为 (??, ) 4a 4a





奇 反 周

偶 函 期

b b ] 上为减函数, [ ? ,?? ) 上为增函数; 2a 2a b b ,?? ) 上为减函数, ( ?? ,? ] 上为增函数; 当 a ? 0 时, [ ? 2a 2a 性:当 b ? 0 时,函数为偶函数;当 b ? 0 时,函数为非奇非偶函数
数:定义域范围内无反函数 性:无

函 数 名 称:三次函数 解析式 形 式: f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 图象及其性质: a>0 a<0

? >0
图 象 x2 x

? ?0

? >0

? ?0

x1

x0

x

x1

x2

x

x0

x

定 值 单

义 调

域:R 域:R 性: a>0 a<0

? >0
单 调 性
在 (??, x1 ),( x2 , ??) 上, 是增函数; 在 ( x1 , x2 ) 上,是减函 数;

? ?0
在R上是增函数 数;

? >0
在 ( x1 , x2 ) 上,是增函

? ?0
在R上是减函数

在 (??, x1 ),( x2 , ??) 上,是减函数;

奇 反 周

偶 函 期

性:当 b ? 0 时,函数为奇函数;当 b ? 0 时,函数为非奇非偶函数 数:定义域范围内无反函数 性:无

函 数 名 称:指数函数

解析式 形 式: f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1)
x

图象及其性质 值 单 奇 反 周 调 偶 函 期 域: (0,??) 性:当 a ? 0 时,函数为增函数;当 a ? 0 时,函数为减函数; 性:无 数:对数函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) 性:无

函 数 名 称:对数函数 解析式 形 式: f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) 图象及其性质: a>1 图 a<1



定 值



域:R 域: (0,??)

单 调 性:当 a ? 0 时,函数为增函数;当 a ? 0 时,函数为减函数;[与系数函数的单 调性类似,因为两函数互为反函数] 奇 偶 性:无 反 周 函 期 数:指数函数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1)
x

性:无

函 数 名 称:对钩函数

1 x 图象及其性质:①函数图象与 y 轴及直线 y ? x 不相交,只是无限靠
解析式 形 式: f ( x ) ? x ? 近; ②当 x ? 0 时,函数 y ? f ( x) 有最低点 (1,2) ,即当

y f(x)= x ? 2 O 1 x

1 x

x ? 1 时函数取得最小值 f (1) ? 2 ;
③当 x ? 0 时, 函数 y ? f ( x) 有最高点 (?1,?2) , 即当 x ? ?1 时函数取得最 大值 f (?1) ? ?2 ; 定 值 单 奇 反 周 调 偶 函 期 义 域: (??,0) ? (0,??) 域: (??,?2] ? [2,??) 性:在 (??,?1] 和 [1,??) 上函数为增函数;在 [?1,0) 和 (0,1] 上函数为减函数; 性:奇函数 数:定义域内无反函数 性:无

解析式 形 式: f ( x) ?| x |

图象及其性质: 定 值 单 奇 反 调 偶 函 义 域:R 域: (0,??) 性:在 (0,??) 上函数为增函数;在 (??,0) 上函数为减函数; 性:偶函数 数: f ( x) ?| x |





性:无

解析式 形 式: f ( x) ?

x

图象及其性质: 定 值 单 奇 反 周 调 偶 函 期 义 域: [0,??) 域 : [0,??) 性:增函数 性:无 数: y ? x 2 性:无

注意:幂函数的图像与性质

定义域 奇偶性 在第Ⅰ象限的增减 性

R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增

R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增

R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增

非奇非偶
在第Ⅰ象限 单调递增

奇 在第Ⅰ象限 单调递减

幂函数 y ? x ( x ?R,? 是常数)的图像在第

?

一象限的分布规律是:
①所有幂函数 y ? x ( x ?R, ? 是常数)的图 像都过点 (1,1) ;
?

? ? 1,2,3,
②当

1 ? 2 时函数 y ? x 的图像都过原点 (0,0) ;
?

③当 ? ? 1 时, y ? x 的的图像在第一象限是第一象限的平分线(如 c2 ) ;

? ④当 ? ? 2,3 时, y ? x 的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如 c1 )

??
⑤当

1 ? 2 时, y ? x 的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如 c3 )
?

⑥当 ? ? ?1 时, y ? x 的的图像不过原点 (0,0) ,且在第一象限是“下滑”曲线(如 c4 )

当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x

?

有下列性质:

(1)图象都通过点 (0,0), (1,1) ; (2)在第一象限内都是增函数; (3)在第一象限内, ? ? 1 时,图象是向下凸的; 0 ? ? ? 1时,图象是向上凸的; (4)在第一象限内,过点 (1,1) 后,图象向右上方无限伸展。

当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x
(1)图象都通过点 (1,1) ;

?

有下列性质:

(2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的;

(3)在第一象限内,图象向上与

y 轴无限地接近;向右无限地与 x 轴无限地接近;

(4)在第一象限内,过点 (1,1) 后,

?

越大,图象下落的速度越快。
?

无论 ? 取任何实数,幂函数 y ? x 的图象必然经过第一象限,并且一定不经 过第四象限。


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