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2014届高考数学二轮复习专题训练:函数、基本初等函数的图象和性质


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2012 届高考数学二轮复习专题训练: 函数、 基 本初等函数的图象和性质 (时间:45 分钟
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.函数 f(x)= 1 +lg(1+x)的定义域是 1-x ( A.(-∞,1) C.(-1,1)∪(1,+∞) 2.如果 x< y<0,那

么 ( A.y<x<1 C.1<x<y B.x<y<1 D.1<y<x ). B.(1,+∞) D.(-∞,+∞) ).

满分:75 分)

3.(2012· 山东省实验中学一诊)下列四个函数中,是奇函数且在区间(-1,0)上为 减函数的是 ( ?1? A.y=?2?|x| ? ? C.y=log2|x| B.y= x-4 2-x ).

D.y=

4.已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围为 ( A.[2- 2,2+ 2] C.[1,3] D B.(2- 2,2+ 2) D.(1,3) ).

5.已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1]时 f(x)=x2,那么函数 y=f(x)的图 象与函数 y=|lg x|的图象的交点共有 ( A.10 个
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).

B.9 个

C.8 个

D.1 个

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二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.设函数 f(x)=x3cos x+1,若 f(a)=11,则 f(-a)=______. 7.f(x)为定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f(1)>0,f(2)=(a+1)(2a-3), 则 a 的取值范围是________. 8.(2012· 西南大学附属中学第二次月考)函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 满足 f(x-2)=-f(x)对一切 x∈R 都成立,又当 x∈[-1,1]时,f(x)=x3,则下 列四个命题: ①函数 y=f(x)是以 4 为周期的周期函数; ②当 x∈[1,3]时,f(x)=(2-x)3; ③函数 y=f(x)的图象关于 x=1 对称; ④函数 y=f(x)的图象关于点(2,0)对称. 其中正确命题的序号是________. 三、解答题(本题共 3 小题,共 35 分) 9.(11 分)已知 a∈R 且 a≠1,求函数 f(x)= ax+1 在[1,4]上的最值. x+1

10.(12 分)(2012· 洛阳模拟 )已知二次函数 f(x)=ax2 +bx+1(a>0),F(x)= ?f?x?,x>0, ? 若 f(-1)=0,且对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立. ?-f?x?,x<0. (1)求 F(x)的表达式; (2)当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求 k 的取值范围. 11. 分)(2012· (12 镇江模拟)已知 f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数, f(1)=1, 且 若 m,n∈[-1,1],m+n≠0 时,有 ? 1? (1)解不等式 f?x+2?<f(1-x); ? ? (2)若 f(x)≤t2-2at+1 对所有 x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数 t 的取值 范围. f?m?+f?n? >0. m+n

参考答案 训练 1 函数、基本初等函数的图象和性质

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1.C

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?1-x≠0, [要使函数有意义当且仅当? 解得 x>-1 且 x≠1,从而定义域 ?1+x>0,

为(-1,1)∪(1,+∞),故选 C.] 1 2.D [因为 y=log2x 为(0,+∞)上的减函数,所以 x>y>1.] x-4 x-4 ?1? 3.D [选项 A,y=?2?|x|为偶函数,因此排除;选项 B,y= =- =- ? ? 2-x x-2 2 ? 2 ? ?1-x-2?=-1+ 对称中心为(2,-1),在(2,+∞)和(-∞,2)递减, x-2 ? ? 不符合题意,排除;选项 C,y=log2|x|是偶函数,因此不符合题意,排除 C. 答案为 D.] 4.B [∵f(a)>-1,∴g(b)>-1,∴-b2+4b-3>-1, ∴b2-4b+2<0,∴2- 2<b<2+ 2.选 B.] 5.A [根据 f(x)的性质及 f(x)在[-1,1]上的解析式可作图如下

可验证当 x=10 时,y=|lg 10|=1;0<x<10 时,|lg x|<1;x>10 时,|lg x| >1.因此结合图象及数据特点 y=f(x)与 y=|lg x|的图象交点共有 10 个.] 6.解析 令 g(x)=x3cos x,则 f(x)=g(x)+1 且 g(x)为奇函数,所以 g(-a)=-

g(a).由 f(a)=11 得,g(a)+1=11,所以 g(a)=10. f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-10+1=-9. 答案 7.解析 -9 ∵f(x)是周期为 3 的奇函数,

∴f(2)=f(2-3)=f(-1)=-f(1)<0. 3 ∴(a+1)(2a-3)<0.解得-1<a<2. 答案 8.解析 3? ? ?-1,2? ? ? 因为函数 y=f(x)是奇函数,故有 f(-x)=-f(x),由 f(x-2)=-f(x)可

知,函数是最小正周期为 4 的函数,故命题①正确.

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f(-x)=-f(x)和 f(x-2)=-f(x)结合得到 f(x-2)=f(-x),故函数关于 x=-1 对称, 而 x∈[1,3],x-2∈[-1,1], ∴f(x-2)=(x-2)3=-f(x), ∴f(x)=-(x-2)3=(2-x)3,故命题②正确, 由上可作图,推知命题③④正确. 答案 9.解 ①②③④ 任取 x1,x2∈[1,4],且 x1<x2,则 ax1+1 ax2+1 ?a-1??x1-x2? - = . x1+1 x2+1 ?x1+1??x2+1?

f(x1)-f(x2)=

∵x1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0,又 a∈R,且 a≠1. ∴当 a-1>0,即 a>1 时,f(x1)-f(x2)<0. 即 f(x1)<f(x2). ∴函数 f(x)在[1,4]上是增函数, ∴f(x)max=f(4)= 4a+1 a+1 ,f(x)min=f(1)= 2 . 5

当 a-1<0,即 a<1 时,f(x1)-f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2),∴函数 f(x)在[1,4]上是减函数, a+1 4a+1 ∴f(x)max=f(1)= 2 ,f(x)min=f(4)= 5 . 10.解 (1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,

∴b=a+1, ∴f(x)=ax2+(a+1)x+1. ∵f(x)≥0 恒成立, ?a>0, ?a>0, ∴? ∴? 2 2 ?Δ=?a+1? -4a≤0, ??a-1? ≤0. ∴a=1,从而 b=2,∴f(x)=x2+2x+1,
2 ?x +2x+1 ?x>0?, ∴F(x)=? 2 ?-x -2x-1 ?x<0?.

(2)g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1. ∵g(x)在[-2,2]上是单调函数,
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k-2 k-2 ∴ 2 ≤-2,或 2 ≥2,解得 k≤-2,或 k≥6. 所以 k 的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞). 11.解 (1)任取 x1 、x2 ∈[-1,1],且 x2 >x1 ,则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=

f?x2?+f?-x1? · 2-x1)>0, (x x2+?-x1? ∴f(x2)>f(x1),∴f(x)是增函数.

? ? 1 ? 1? f?x+2?<f(1-x)??-1≤1-x≤1,?0≤x<4, ? ? ?x+1<1-x, ? 2
1 -1≤x+2≤1, 1? ? 1? ? 即不等式 f?x+2?<f(1-x)的解集为?0,4?. ? ? ? ? (2)由于 f(x)为增函数,∴f(x)的最大值为 f(1)=1, ∴f(x)≤t2-2at+1 对 a∈[-1,1]、x∈[-1,1]恒成立?t2-2at+1≥1 对任意 a ∈[-1,1]恒成立?t2-2at≥0 对任意 a∈[-1,1]恒成立. 把 y=t2-2at 看作 a 的函数, 由 a∈[-1,1]知其图象是一条线段, ∴t2-2at≥0 对任意 a∈[-1,1]恒成立
2 2 ?t -2×?-1?×t≥0 ?t +2t≥0 ?t≤-2或t≥0 ?? 2 ?? 2 ?? ?t≤-2,或 t=0, ?t -2×1×t≥0 ?t -2t≥0 ?t≤0或t≥2

或 t≥2.

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