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2011学年上海市嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷(文)


2012 年上海市嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试 数学试卷(文科)
(2012 年 4 月 12 日) 本大题满分 本大题共 考生应在答题卷 一、填空题(本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直接 填空题 本大题 填写结果, 否则一律得零分. 填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 f ( x) = log

1 (2 x + 1) 的定义域是
2



x + y 2 = 1 的焦距是 . 2 ? x ?1 ? 3.已知全集 U = R ,集合 A = ? x | > 0, x ∈ R ? ,则 CU A = ? x +1 ?
2.椭圆:

2



4 . 已 知 幂 函 数 y = f ( x) 存 在 反 函 数 , 若 其 反 函 数 的 图 像 经 过 点 ( , 9) , 则 幂 函 数

1 3

f ( x) =



5.若函数 f ( x ) = ? x 2 + (2m ? 1) x + m 2 ? 1 在区间 ( ?∞,1] 上是增函数,则实数 m 的取值范围 是 . 6.已知数列 {an } ( n ∈ N * ) 是公差为 2 的等差数列,则 lim

an = . n →∞ 2n ? 1 7.已知点 A( ?1, 0) 在圆 C : ( x ? 1) 2 + ( y + 1) 2 = 5 上,过点 A 作圆 C 的切线 l ,则切线 l 的方
程是 .

1
8.已知 z ∈ C ,且 z 为 z 的共轭复数,若 0

z 1

0 1 = 0 ( i 是虚数单位),则 z =
A .

z iz 0 9.已知 D 是 ?ABC 的边 BC 上的点,且 BD : DC = 1: 2 , r r uuu r uuur r r uuur AB = a, AC = b ,如图 1 所示.若用 a、 表示 AD , b uuur 则 AD = . 1 20 10. ( x ? ) 的二项展开式的常数项是 . B 3 x π 5 4 11.已知 α、β ∈ (0, ) , cos(α + β) = ,sin(α ? β) = ? , 2 13 5 A1 则 cos 2α = .
12.已知圆柱的轴截面 ABB1 A1 是正方形,点 C 是圆柱 下底面弧 AB 的中点,点 C1 是圆柱上底面弧 A1 B1 的

D

C 图1

C1 B1

A C . 图2

B

中点,如图 2 所示,则异面直线 AC1 与 BC 所成的角的正切值=

13.某高级中学举行高二英语演讲比赛,共有 9 人参加决赛(其中高二(2)班 2 人,其他班级有 7 人),比赛的出场顺序按抽签方式产生,则比赛出场顺序是“高二(2)班 2 人比赛序号不 相连”的概率是 .(结果用最简分数表示)

14.方程 2.5 ? x = 2 2 ? | x | 的不同实数根的个数是
2 2



本大题满分 本大题共 有且只有一个正确答案 有一个正确答案, 二、选择题(本大题满分 20 分) 本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 选择题 本大题 题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑, 否则一律得零分. 15.已知空间三条直线 a、b、m 及平面 α ,且 a 、b ? α .条件甲: m ⊥ a, m ⊥ b ;条件乙: ≠

m ⊥ α , “条件乙成立” “条件甲成立” 则 是 的………………………………………… (
A.充分非必要条件. C.充要条件. B.必要非充分条件. D.既非充分也非必要条件.



? x ≥ 0, ? y ≥ 0, ? 16. 若实数 x、y 满足约束条件 ? 则目标函数 z = 2 x ? 3 y 的最小值是… ( ?2 x + y ? 24 ≤ 0, ??3 x + y + 6 ≥ 0; ?
A. 6 . 17.现给出如下命题: B. 0 . C. ?72 . D. ?24 .



(1) 若某音叉发出的声波可用函数 y = 0.002 sin 800πt (t ∈ R + ) 描述, 其中 t 的单位是秒, 则该声波的频率是 400 赫兹; (2)在 ?ABC 中,若 c = a + b + ab ,则 ∠C =
2 2 2

π ; 3

(3)从一个总体中随机抽取一个样本容量为 10 的样本:11,10,12,10,9,8,9,11, 12,8,则该总体标准差的点估计值是

2 5 . 3

则其中正确命题的序号是………………………………………………………………( ) A.(1)、(2). B.(1)、(3). C.(2)、(3). D.(1)、(2)、(3). 18.已知 ?ABC 的三边分别是 a、b、c ,且 a ≤ b ≤ c ( a、b、c ∈ N * ) ,当 b = n( n ∈ N * ) 时, 记满足条件的所有三角形的个数为 an , 则数列 {an } 的通项公式 an =……………… ( A . 2n ? 1 . B. )

n(n + 1) . 2

C . 2n + 1 .

D. n .

本大题满分 本大题共 解答下列各题必须在答题 必须在答题卷 三、解答题(本大题满分 74 分) 本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定 解答题 本大题 区域内写出必要的步骤. 区域内写出必要的步骤. 写出必要的步骤 19. 本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. . ( 个小题, 如图 3 所示的几何体,是由棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 截去一个角后所得的几

何体. (1)试画出该几何体的三视图;(主视图投影面平行平面 DCC1 D1 ,主视方向如图所示。 请将三张视图按规定位置画在答题纸的相应虚线框内) (2)若截面 ?MNH 是边长为 2 的正三角形,求该几何体的体积 V . D1 N A1 D H A 主视方向 图3 20. 本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. . ( 个小题, 已知函数 f ( x ) = 2 3 sin x ? cos x + cos 2 x ? 1( x ∈ R ) . (1)求函数 y = f ( x) 的单调递增区间; (2)若 x ∈ [ ? B M C C1

5π π , ] ,求 f ( x) 的取值范围. 12 3

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. . 本题满分 本题共有 个小题, 某高科技企业研制出一种型号为 A 的精密数控车床, A 型车床为企业创造的价值逐年减 少(以投产一年的年初到下一年的年初为 A 型车床所创造价值的第一年).若第 1 年 A 型车床 创造的价值是 250 万元,且第 1 年至第 6 年,每年 A 型车床创造的价值减少 30 万元;从第 7 年开始,每年 A 型车床创造的价值是上一年价值的 50%.现用 an ( n ∈ N ) 表示 A 型车床在第
*

n 年创造的价值. (1)求数列 {an } ( n ∈ N * ) 的通项公式 an ;
(2)记 Sn 为数列 {an } 的前 n 项的和, Tn =

Sn .企业经过成本核算,若 Tn > 100 万元, n

则继续使用 A 型车床,否则更换 A 型车床.试问该企业须在第几年年初更换 A 型车 床?(已知:若正数数列 {bn } 是单调递减数列,则数列 ? 递减数列).

? b1 + b2 + L + bn ? ? 也是单调 n ? ?

22.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题 . 本题满分 个小题, 满分最多 满分最多 8 分. 已知函数 y = f ( x) 是定义域为 R 的偶函数,且对 x ∈ R ,恒有 f (1 + x ) = f (1 ? x ) .又当

x ∈ [0,1] 时, f ( x) = x . (1)当 x ∈ [ ?1, 0] 时,求 f ( x ) 的解析式;

(2)求证:函数 y = f ( x )( x ∈ R ) 是以 T = 2 为周期的周期函数; (3) 解答本小题考生只需从下列三个问题中选择一个写出结论即可(无需写解题步骤 . 解答本小题考生只需从下列三个问题中选择一个写出结论即可 无需写解题步骤 注 考生只需 个问题中选择一个写出结论即可 无需写解题步骤). 考生若选择多于一个问题解答 则按分数最低一个问题的解答正确与否给分 选择多于一个问题解答, 分数最低一个问题的解答正确与否给分. 意:考生若选择多于一个问题解答,则按分数最低一个问题的解答正确与否给分. ① 当 x ∈ [2n ? 1, 2n]( n ∈ Z ) 时,求 f ( x ) 的解析式.(4 分) ② 当 x ∈ [2n ? 1, 2n + 1] (其中 n 是给定的正整数)时,若函数 y = f ( x) 的图像与函数

y = kx 的图像有且仅有两个公共点,求实数 k 的取值范围.(6 分)
③ 当 x ∈ [0, 2n] ( n 是给定的正整数且 n ≥ 3 )时,求 f ( x ) 的解析式.(8 分)

23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 . 本题满分 个小题, 满分 6 分. 已知定点 F (2, 0) ,直线 l : x = ?2 ,点 P 为坐标平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线, 垂足为点 Q ,且 FQ ⊥ ( PF + PQ ) . (1)求动点 P 所在曲线 C 的方程; (2)直线 l1 过点 F 与曲线 C 交于 A、B 两个不同点,求证:

uuu r

uuu uuu r r

1 1 1 + = ; | AF | | BF | 2

(3)记 OA 与 OB 的夹角为 θ (O 为坐标原点, A、B 为(2)中的两点),求 cos θ 的最小值.

uuu r

uuu r

2011 学年嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷 文科) 学年嘉定、 数学试卷(文 参考答案和评分标准(2012 年 4 月 12 日) 参考答案和评分标准
说明: 说明: 1、本解答仅列出试题的一种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解答中的评

分精神进行评分。 2、评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评 阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的 内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数 之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分。 一.填空题 1. (- 1 , +   ) ; 2 4. f ( x) = x
1 2

2. 2 ;

3. [- 1,1] 6. 1 ;



( x > 0) ;

3 5. [ , +  ) ; 2
8. z = 0或z = - i ; 11.

uuu r
9. AD = 12. 2 ;

7. 2 x - y + 2 = 0 ;
8 12 10. C20 (C20 )

2r 1r a+ b ; 3 3



63 ; 65

13.

7 ; 9

14. 4 16.C 17.B 18.B

二、选择题: 15.A 选择题: 三、解答题

19、(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 本题满分 本题共有 个小题, 解(1)
主视图 左视图

俯视图

(每画对一个图形得 2 分)

6分

(2)设原正方体中由顶点 B1 出发的三条棱的棱长分别为 B1M = x, B1 N = y, B1 H = z . 结合题意,可知,

? x2 + y 2 = 4 ? 2 2 ? y + z = 4 ,解得 x = y = z = 2 .因此,所求几何体的体积 ? x2 + z 2 = 4 ?

1 1 2 V = V正方体 ? VB1 ? MNH = 23 ? ? ? ( 2)3 = 8 ? . 3 2 3
分 20.(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. . 本题满分 个小题, 解(1)∵ f ( x ) = 2 3 sin x ?cos x ∴ f ( x ) = 2sin(2 x + 分 解 2k p -

6

cos 2 x - 1 ,
2

p )- 1. 6 p p #x k p + , k  Z . 3 6 p ], k  Z . 6

p , k  Z ,得 k p 2 p , kp + ∴函数 y = f ( x) 的单调增区间是 [ k p 3

p ? 2x 2

p ? 2k p 6

6

分 (2)∵ x ? [

5p p , ], 12 3 2p p 5p ? 2x   . ∴3 6 6
考察函数 y = sin x ,易知,- 1 ? sin(2 x





p )  1 . 6





p ) - 1  1 . 6 ∴函数 f ( x ) 的取值范围是 [- 3,1] .
∴ - 3 ? 2sin(2 x 分 21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. . 本题满分 本题共有 个小题, 解(1)依据题意,知 a1 , a2 , L , a6 构成首项为 a1 = 250 ,公差 d = - 30 的等差数列. 故 an = 280 - 30n( n 危N , n 分
*

12

6) (万元). 1 1 a6 = 50 ,公比 q = 的等比数列. 2 2

3

a7 , a8 , L , an (n 澄7, n
因此, an = 50 壮 ) ( 分

N * ) 构成首项为 a7 = (n

1 2

n- 7

7, n  N * ) (万元).

6

ì 280 - 30n(1 #n 6), ? ? 于是,an = ? (n  N * ) (万元). í 1 n- 7 ? 50 壮 ) (n 7); ( ? ? 2 ?
分 (2)由(1)知, { n }是单调递减数列,于是,数列 { n }也是单调递减数列. a T



(a1 + a6 )   6 S = 1050 (万元), T6 = 6 = 175 > 100 (万元), 2 6 ∴ Tn > 100(1 #n 6) .
∵ S6 =

∴当 n ? 7 时, Tn =

Sn 1 = (a1 + a2 + L + a6 + a7 + L + an ) n n 1 50(1- ( )n- 6 ) 1 2 = (1050 + ) 1 n 12 1150 = n
9分

100 2 n- 6

(



元).

当 n = 11 时, 11 > 104 (万元); n = 12 时, 12 < 96 (万元). T 当 T 分 ∴当 n 澄12, n ∴ 床. 该 企

13

N * 时,恒有 Tn < 96 .
业 需 要 在 第 11 年 14 分 年 初 更 换 A 型 车

22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题 . 本题满分 本题共有 个小题, 最多 8 分. 解(1)∵ y = f ( x) 是 R 上的偶函数,且 x ? [0,1] 时, f ( x ) = x , 又当 x ? [ 1, 0] 时, - x   [0,1] ,有 f (- x) = - x . ∴

f ( x) = - x(- 1 #x 0) . 5分 (2)证明∵对于 x ? R ,恒有 f (1 + x ) = f (1- x) , ∴ f (2 + x) = f (1 + (1 + x)) = f (1 ? (1 + x)) , 即 f (2 + x) = f (- x) . 7分 又∵ y = f ( x) 是偶函数, ∴ f (2 + x) = f ( x ) , 即 y = f ( x) 是 周 期 函 数 , 且 T = 2 就 是 它 的 一 个 周
期. 10 分 (3) 依据选择解答的问题评分 ①

f ( x) = 2n - x( x ? [2n 1, 2n]) . 0< k   1 . 2n + 1

14 分 ② 16 分



ì x( x ? [0,1)), ? ? ? ? [1, ? 2 - x( x   2)), ? ? x - 2( x   3)), [2, ? f ( x) = ? í ?M ? ? ? x - (2n - 2)( x ? [2n 2.2n - 1)), ? ? ? ? 2n - x( x ? [2n 1, 2n]). ? ?

18 分 23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 . 本题满分 本题共有 个小题, 满分 6 分. 证 明 (1) 设 动 点

P ( x, y ) .
依 据 题 意 ,

uuu r uuu r uuu r Q(- 2, y ), FQ = (- 4, y ), PF = (2 - x, - y ), PQ = (- 2 - x, 0) . 3分 uuu r uuu uuu r r 又 FQ ^ ( PF + PQ ) , uuu uuu uuu r r r 于 是 , FQ ?( PF PQ) = 0 , 2 y = 8 x( x  0) . 6分 2 因此,所求动点 P 的轨迹方程为 C : y = 8 x ( x  0) . 证明(2)∵直线 l1 过 F 点且与曲线 C 交于不同的 A、B 两点, ∴ l1 的 斜 率 不 为 零 , 故 l1 : x = my + 2 . 7分 ì y 2 = 8 x, ? ? 得 y 2 - 8my - 16 = 0 联 立 方 程 组 í ? x = my + 2; ? ?
8分

1分 可







.

ì x1 + x2 = 8m 2 + 4, ì y1 + y2 = 8m ? ? ? , 进 一 步 得 ? 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 则 í í ? y1 y2 = - 16 ? x1 x2 = 4. ? ? ? ?
10 分 又∵曲线 C : y 2 = 8 x ( x  0) 的准线为: x = - 2 , ∴左边=

1 1 1 1 + = + | FA | | FB | x1 + 2 x2 + 2 4 + x1 + x2 = x1 x2 + 2( x1 + x2 ) + 4
= 1 2
= 右

边. ∴

12 分

1 1 1 + = .证毕! | FA | | FB | 2 uur uuu r

(3)由(2)可知, OA = ( x1 , y1 ), OB = ( x2 , y2 ) .

uur uur u OA × OB ∴ cos q = uur uur = u | OA | ×| OB |
=

x1 x2 + y1 y2
2 x12 + y12 ? x2 - 12 2 y2

2 x12 + 8 x1 ? x2 8 x2 - 6 = ? 100 + 64m 2

3 ( 当 且 仅 当 m= 0 时 , 等 号 成 5


立).

16 分

(cos q)min


3 =- . 5

18

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