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2015届高考数学二轮复习专题检测:三角函数、三角恒等变形、解三角形(含解析)


2015 届高考数学二轮复习专题检测:三角函数、三角恒等变形、解三 角形
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) π 3 π 3π 1.(2015· 辽宁五校联考

)已知 cos(2+α)=5,且 α∈(2, 2 ),则 tanα=( 4 A.3 3 C.-4 [答案] B π 3 3 4 [解析] 因为 cos(2+α)=5,所以 sinα=-5,显然 α 在第三象限,所以 cosα=-5,故 tanα= 3 4. 5π 5π 2.(2015· 襄阳四中、荆州中学、龙泉中学联考)已知角 x 的终边上一点的坐标为(sin 6 ,cos 6 ), 则角 x 的最小正值为( 5π A. 6 11π C. 6 [答案] B 5π 1 5π 3 [解析] ∵sin 6 =2,cos 6 =- 2 , 1 3 ∴角 x 的终边经过点(2,- 2 ),tanx=- 3, 5π ∴x=2kπ+ 3 ,k∈Z. 5π ∴角 x 的最小正值为 3 . 6sinα+cosα α 3.(文)已知 tan2 =2,则 的值为( 3sinα-2cosα 7 A.6 6 C.-7 [答案] A B.7 D.-7 ) 5π B. 3 2π D. 3 ) 3 D.±4 3 B.4 )

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4 [解析] 由已知得 tanα= =- α 3, 1-tan22 故 6sinα+cosα 6tanα+1 7 = = . 3sinα-2cosα 3tanα-2 6 ) 3 B.-5 1 D.-3

α 2tan2

(理)已知函数 f(x)=sinx-cosx 且 f′(x)=2f(x), f′(x)是 f(x)的导函数,则 sin2x=( 1 A.3 3 C.5

[答案] C [解析] 由 f(x)=sinx-cosx 且 f′(x)=2f(x)得 cosx+sinx=2sinx-2cosx,所以 tanx=3, 2sinxcosx 2tanx 6 3 sin2x= = =10=5,故选 C. sin2x+cos2x 1+tan2x π 4.下列函数中,其中最小正周期为 π,且图像关于直线 x=3对称的是( π A.y=sin(2x-3) π C.y=sin(2x+6) [答案] B π [解析] ∵T=π,∴ω=2,排除 D,把 x=3代入 A、B、C 只有 B 中 y 取得最值,故选 B. π π 5.(文)(2015· 黄山模拟)为了得到函数 y=sin(2x-3)的图像,只需把函数 y=sin(2x+6)的图像 ( ) π A.向左平移4个长度单位 π B.向右平移4个长度单位 π C.向左平移2个长度单位 π D.向右平移2个长度单位 [答案] B π π [解析] y=sin(2x+6)=sin[2(x+12)], π π y=sin(2x-3)=sin[2(x-6)], π π π π ∴只需将 y=sin(2x+6)向右平移12+6=4个长度单位. π B.y=sin(2x-6) x π D.y=sin(2+6) )

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π (理)(2015· 黄山模拟)将函数 y=sin2x 的图像向右平移4个单位,再向上平移 1 个单位,所得函 数图像对应的解析式为( π A.y=sin(2x-4)+1 C.y=2sin2x [答案] C )

B.y=2cos2x

D.y=-cos2x

π π π [解析] 函数 y=sin2x 的图像向右平移4个单位得到 y=sin2(x-4)=sin(2x-2)=-cos2x,再向 上平移 1 个单位,所得函数图像对应的解析式为 y=-cos2x+1=-(1-2sin2x)+1=2sin2x,选 C. 3 1 6.cos10°-sin170°=( A.4 B.2 C.-2 D.-4 [答案] D 3 1 3 1 [解析] cos10°-sin170°=cos10°-sin10° = 3sin10°-cos10° 2sin?10°-30°? sin10°cos10° = sin10°cos10° )

2sin?-20°? -2sin20° = sin10°cos10° = 1 =-4,选 D. sin20° 2 7.(2014· 合肥调研)在△ABC 中,若 sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则△ABC 的形状一定 是( ) A.等边三角形 B.不含 60°的等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 [答案] D [解析] sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cosAsinB, sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB, 所以 sinAcosB+cosAsinB=1,即 sin(A+B)=1, π 所以 A+B=2,故三角形为直角三角形. 8. (2015· 河南八校联考)将函数 y= 3cosx+sinx(x∈R)的图像向左平移 m(m>0)个长度单位后, 所得到的图像关于原点对称,则 m 的最小值是( ) π A.12 π C.3 π B. 6 2π D. 3

[答案] D π π [解析] y= 3cosx+sinx=2sin(x+3), 向左平移 m 个单位得到 y=2sin(x+m+3), 此函数为奇

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π 2π 函数,∴m+3=kπ,k∈Z,∵m>0,∴m 的最小值为 3 . 9.(2015· 济南一模)△ABC 中,∠A=30°,AB= 3,BC=1,则△ABC 的面积等于( 3 A. 2 3 B. 4 3 3 D. 2 或 4 AB2+AC2-BC2 , 代入各值整理可得 AC2-3AC+2=0, 解得 AC=1 2AB· AC )

3 C. 2 或 3 [答案] D

[解析] 由余弦定理 cosA=

1 3 3 或 AC=2 三角形面积 S=2AB· AC· sinA 所以面积为 2 或 4 . 10.(2015· 洛阳统考)设函数 f(x)=|cosx|+|sinx|,下列四个结论正确的是( ①f(x)是奇函数; 3π ②f(x)的图像关于直线 x= 4 对称; ③当 x∈*0,2π+时,f(x)∈[1, 2]; π ④当 x∈[0,2]时,f(x)单调递增. A.①③ C.③④ [答案] D B.②④ D.②③ )

3π [解析] 对于①,注意到 f(-x)=f(x),因此函数 f(x)是偶函数,①不正确;对于②,注意到 f( 2 3π 3π 3π -x)=|cos( 2 -x)|+|sin( 2 -x)|=|sinx|+|cosx|=f(x), 因此函数 f(x)的图像关于直线 x= 4 对 π π π 称,②正确;对于③④,注意到 f(x+2)=|cos(x+2)|+|sin(x+2)|=|sinx|+|cosx|=f(x),因 π π 此函数 f(x)是以2为周期的函数,当 x∈[0,2]时,f(x)=|sinx|+|cosx|=sinx+cosx= 2sin(x+ π π π π 4)的值域是[1, 2],故当 x∈*0,2π+时,f(x)∈[1, 2],又 f(4)= 2>1=f(2),因此 f(x)在[0,2] 上不是增函数,故③正确,④不正确.综上所述,其中正确的结论是②③,选 D. 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填在题中横线上) 11.已知 α 为第二象限角,则 cosα 1+tan2α+sinα [答案] 0 [解析] 原式=cosα sin2α+cos2α +sinα cos2α sin2α+cos2α 1 1 =cosα|cosα|+sinα|sinα|, sin2α 1 1+tan2α=________.

因为 α 是第二象限,所以 sinα>0,cosα<0, 1 1 所以 cosx|cosα|+sinα|sinα|=-1+1=0, 即原式等于 0.
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12.(2014· 新课标Ⅱ)函数 f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为________. [答案] 1 [解析] 本题考查两角和正弦公式、二倍角公式,三角函数的最值的求法. ∵f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ) =sin(x+φ)·cosφ+cos(x+φ)·sinφ-2sinφcos(x+φ) =sin(x+φ)·cosφ-cos(x+φ)·sinφ =sinx≤1. ∴最大值为 1. π π π 13.(2015· 九江模拟) 已知函数 f(x)=sin(2x+6),其中 x∈[-6,α+.当 α=3时,f(x)的值域是 1 ________;若 f(x)的值域是[-2,1],则 α 的取值范围是________. 1 π π [答案] [-2,1] [6,2] π π π 2π π π 5π 1 π [解析] 若-6≤x≤3,则-3≤2x≤ 3 ,-6≤2x+6≤ 6 ,此时-2≤sin(2x+6)≤1, 1 即 f(x)的值域是[-2,1]. π π 若-6≤x≤α,则-3≤2x≤2α, π π π -6≤2x+6≤2α+6. π π π 7π π 1 1 因为当 2x+6=-6或 2x+6= 6 时,sin(2x+6)=-2,所以要使 f(x)的值域是[-2,1], π π 7π π 则有2≤2α+6≤ 6 ,即3≤2α≤π, π π π π 所以6≤α≤2,即 α 的取值范围是[6,2]. 14.△ABC 中,A 满足条件 3sinA+cosA=1,AB=2cm,BC=2 3cm,则 A=________,△ ABC 的面积等于________cm2. [答案] 2π 3 3

[解析] 由 3sinA+cosA=1 得 π π 5π 2sin(A+6)=1,∴A+6= 6 , 2 BC AB 即 A=3π,由sinA=sinC得 3 2× 2 ABsinA 1 sinC= BC = = , 2 3 2 π π 所以 C=6,则 B=6. 1 S△ABC=2AB×BCsinB= 3(cm2).

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π 15.把函数 y=sin2x 的图像沿 x 轴向左平移6个单位,纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) 后得到函数 y=f(x)图像,对于函数 y=f(x)有以下四个判断: π ①该函数的解析式为 y=2sin(2x+6); π ②该函数图像关于点(3,0)对称; π ③该函数在[0,6]上是增函数; π ④函数 y=f(x)+a 在[0,2]上的最小值为 3,则 a=2 3. 其中,正确判断的序号是________. [答案] ②④ π π [解析] 将函数向左平移6得到 y=sin2(x+6) π π π =sin(2x+3),然后纵坐标伸长到原来的 2 倍得到 y=2sin(2x+3),即 y=f(x)=2sin(2x+3),所 π π π π 以①不正确. y=f(3)=2sin(2×3+3)=2sinπ=0, 所以函数图像关于点(3, 0)对称, 所以②正确. 由 π π π 5π π 5π -2+2kπ≤2x+3≤2+2kπ, k∈Z, 得-12+kπ≤x≤12+kπ, k∈Z, 即函数的单调增区间为[-12+ π 5π π π kπ,12+kπ+,k∈Z,当 k=0 时,增区间为[-12,12],所以③不正确. y=f(x)+a=2sin(2x+3) π π π 4π π 4π 4π +a,当 0≤x≤2时,3≤2x+3≤ 3 ,所以当 2x+6= 3 时,函数值最小为 y=2sin 3 +a=- 3+a = 3,所以 a=2 3,所以④正确.所以正确的命题为②④. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)(文)已知关于 x 的方程 2x2-( 3+1)x+m=0 的两根为 sinθ 和 cosθ, 且 θ∈(0,2π),求: sin2θ cosθ (1) + 的值; sinθ-cosθ 1-tanθ (2)m 的值; (3)方程的两根及此时 θ 的值. sin2θ cosθ sin2θ cos2θ [解析] (1)原式= + = + sinθ sinθ-cosθ cosθ-sinθ sinθ-cosθ 1-cosθ = sin2θ-cos2θ =sinθ+cosθ. sinθ-cosθ 3+1 2 ,

由条件知 sinθ+cosθ= 故

3+1 sin2θ cosθ + = 2 . sinθ-cosθ 1-tan θ

(2)由 sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+2sinθcosθ

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=(sinθ+cosθ)2,得 1+m=( 3+1 ? ?sinθ+cosθ= 2 , (3)由? 3 ? ?sinθ·cosθ= 4 π π 又 θ∈(0,2π),故 θ=6或 θ=3.

3+1 3 2 )2,即 m= 2 . 3 ? ?sinθ= 2 , 得? 1 ?cosθ=2 ?

? ?sinθ=2, 或? 3 ?cosθ= 2 . ?
1

(理)已知函数 f(x)=-cos2x-sinx+1. (1)求函数 f(x)的最小值; 5 (2)若 f(α)=16,求 cos2α 的值. [解析] (1)因为 f(x)=-cos2x-sinx+1 1 1 =sin2x-sinx=(sinx-2)2-4, 1 又 sinx∈[-1,1],所以当 sinx=2时, 1 函数 f(x)的最小值为-4. 1 1 5 (2)由(1)得(sinα-2)2-4=16, 1 9 所以(sinα-2)2=16. 5 1 于是 sinθ=4(舍)或 sinα=-4. 1 7 故 cos2α=1-2sin2α=1-2(-4)2=8. 17.(本小题满分 12 分)(文)已知函数 f(x)=3sin2x+2sinxcosx+cos2x-2. π (1)求 f(4)的值; (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. [解析] (1)依题意 f(x)=2sin2x+sin2x-1 π =sin2x-cos2x= 2sin(2x-4). π π π 则 f(4)= 2sin(2×4-4)=1. 2π (2)f(x)的最小正周期 T= 2 =π. π π π 当 2kπ-2≤2x-4≤2kπ+2时, π 3π 即 kπ-8≤x≤kπ+ 8 时,f(x)为增函数.

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π 3π 则函数 f(x)的单调增区间为*kπ-3,kπ+ 8 ],k∈Z. (理)已知向量 a=(2sinx, 3cosx),b=(sinx,2sinx),函数 f(x)=a· B. (1)求 f(x)的单调递增区间; π (2)若不等式 f(x)≥m 对 x∈[0,2]都成立,求实数 m 的最大值. [解析] (1)f(x)=2sin2x+2 3sinxcosx =1-cos2x+2 3sinxcosx π = 3sin2x-cos2x+1=2sin(2x-6)+1 π π π 由 2kπ-2≤2x-6≤2kπ+2(k∈Z). π π 得 kπ-6≤x≤kπ+3(k∈Z), π π ∴f(x)的单调增区间是*kπ-6,kπ+3](k∈Z) π π π 5π (2)∵0≤x≤2,∴-6≤2x-6≤ 6 . 1 π ∴-2≤sin(2x-6)≤1, π ∴f(x)=2sin(2x-6)+1∈[0,3], ∴m≤0,m 的最大值为 0. 18.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asinA=(2b+ c)sinB+(2c+b)sinC. (1)求 A 的大小; (2)若 sinB+sinC=1,试判断△ABC 的形状. [解析] (1)由已知,根据正弦定理,得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 即 a2=b2+c2+bC. 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA, 1 故 cosA=-2,A=120°. (2)由 a2=b2+c2+bc,得 sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC. 1 又 sinB+sinC=1,故 sinB=sinC=2. 因为 0°<B<90°,0°<C<90°,故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形. π 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<2)的图像与 y 轴的交点为 (0,1),它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,-2).

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(1)求函数 f(x)的解析式及 x0 的值; 1 (2)若锐角 θ 满足 cosθ=3,求 f(4θ)的值. T [解析] (1)∵由题意可得 A=2,2=2π,即 T=4π, 2π 1 ∴ ω =4π,∴ω=2. 1 ∴f(x)=2sin(2x+φ). 由图像经过点(0,1)得, π π f(0)=2sinφ=1,又|φ|<2,∴φ=6. 1 π 故 f(x)=2sin(2x+6). 1 π 又 f(x0)=2sin(2x0+6)=2, 1 π π ∴2x0+6=2kπ+2(k∈Z), 2π ∴x0=4kπ+ 3 (k∈Z), 根据图像可得 x0 是最小的正数, 2π ∴x0= 3 . π (2)由(1)知,f(4θ)=2sin(2θ+6) = 3sin2θ+cos2θ. π 1 2 2 ∵θ∈(0,2),cosθ=3,∴sinθ= 3 , 7 4 2 ∴cos2θ=2cos2θ-1=-9,sin2θ=2sinθcosθ= 9 , 4 2 7 4 6 7 4 6-7 ∴f(4θ)= 3× 9 -9= 9 -9= 9 . 20.(本小题满分 13 分)(文)(2014· 重庆高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c,且 a+b+c=8. 5 (1)若 a=2,b=2,求 cosC 的值; B A 9 (2)若 sinAcos22+sinBcos22 =2sinC,且△ABC 的面积 S=2sinC,求 a 和 b 的值.

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5 [解析] (1)∵a+b+c=8,a=2,b=2, 5 7 ∴c=8-2-2=2. a2+b2-c2 由余弦定理,得 cosC= = 2ab 25 49 4+ 4 - 4 1 5 =-5. 2×2×2

B A (2)由 sinAcos22+sinBcos22 =2sinC,可得 1+cosB 1+cosA sinA· 2 +sinB· 2 =2sinC, 化简得:sinA+sinB+sin(A+B)=4sinC, 即 sinA+sinB=3sinC,由正弦定理可得 a+b=3C. 又 a+b+c=8,∴a+b=6 ① 1 9 又面积 S=2absinC=2sinC,∴ab=9 解①②得 a=3,b=3. (理)(2014· 浙江高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,C.已知 a≠b,c= 3, cos2A-cos2B= 3sinAcosA- 3sinBcosB. (1)求角 C 的大小; 4 (2)若 sinA=5,求△ABC 的面积. [解析] (1)由已知 cos2A-cos2B= 3sinAcosA- 3sinBcosB 得. 1 1 3 3 (1 + cos2A) - (1 + cos2B) = sin2A - 2 2 2 2 sin2B, 1 3 1 3 ∴2cos2A- 2 sin2A=2cos2B- 2 sin2B, π π 即 sin(-6+2A)=sin(-6+2B), π π π π ∴-6+2A=-6+2B 或-6+2A-6+2B=π, 2π 即 A=B 或 A+B= 3 , 2π π ∵a≠b,∴A+B= 3 ,∴∠C=3. 3 1 (2)由(1)知 sinC= 2 ,cosC=2, 3 3 +4 ∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= 10 a c 由正弦定理得:sinA=sinC, ②

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4 又∵c= 3,sinA=5. 8 ∴a=5. 18+8 3 1 ∴S△ABC=2acsinB= 25 . 3 1 3 π 21. (本小题满分 14 分)(文)已知函数 g(x)= 4 -2sinxcosx- 2 sin2x, 将其图像向左移4个单位, 1 π 并向上移2个单位,得到函数 f(x)=acos2(x+φ)+b(a>0,b∈R,|φ|≤2)的图像. (1)求实数 a,b,φ 的值; π (2)设函数 φ(x)=g(x)- 3f(x),x∈[0,2],求函数 φ(x)的单调递增区间和最值. 1 π [解析] (1)依题意化简得 g(x)=2sin(3-2x), 1 π π 1 平移 g(x)得 f(x)=2sin(3-2(x+4))+2 1 π 1 1 2π 1 =2sin(-2x-6)+2=2cos(2x+ 3 )+2 π =cos2(x+3) π ∴a=1,b=0,φ=3. 1 2π 3 2π 3 π 3 (2)φ(x)=g(x)- 3f(x)=2sin(2x+ 3 )- 2 cos(2x+ 3 )- 2 =sin(2x+3)- 2 , π π π 由-2+2kπ≤2x+3≤2+2kπ(k∈Z)得 π π π -12+kπ≤x≤12+kπ,(k∈Z),因为 x∈[0,2], π 所以当 k=0 时,在[0,12]上单调增, π ∴ φ(x)的单调增区间为[0,12], 3 值域为[- 3,1- 2 ], 3 故 φ(x)的最小值为- 3,最大值为 1- 2 . π 3 (理)已知函数 f(x)=2cosxsin(x+3)- 2 . (1)求函数 f(x)的最小正周期 T; (2)若△ABC 的三边 a,b,c 满足 b2=ac,且边 b 所对角为 B,试求 cosB 的取值范围,并确定 此时 f(B)的最大值. π 3 [解析] (1)f(x)=2cosx· sin(x+3)- 2

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π π 3 =2cosx(sinxcos3+cosxsin3)- 2 1 3 3 =2cosx(2sinx+ 2 cosx)- 2 3 =sinxcosx+ 3cos2x- 2 1+cos2x 1 3 =2sin2x+ 3· 2 -2 1 3 π =2sin2x+ 2 cos2x=sin(2x+3). 2π 2π ∴T=|ω|= 2 =π. a2+c2-b2 (2)由余弦定理 cosB= 及 b2=ac 得, 2ac cosB= a2+c2-ac 2ac

a2+c2 1 2ac 1 1 = 2ac -2≥2ac-2=2, 1 ∴2≤cosB<1, π π 而 0<B<π,∴0<B≤3.函数 f(B)=sin(2B+3), π π ∵3<2B+3≤π, π π π ∴当 2B+3=2,即 B=12时,f(B)max=1.

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