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2016高中数学 第三章 基本初等函数综合测试(B)新人教B版必修1


第三章综合测试(B)
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设集合 P={3,log2a},Q={a,b},若 P∩Q={0},则 P∪Q 等于( A.{3,0} C.{3,0,2} [答案] B [解析] ∵P∩Q={0},∴0∈P,0∈Q

, ∴log2a=0,∴a=1,∴b=0.∴P∪Q={3,0,1}. 2.若 3 =2,则 x 等于( A.lg2-lg3 lg3 C. lg2 [答案] D lg2 x [解析] ∵3 =2,∴x=log32= . lg3 3.下列各式运算错误的是( A.(-a b) ·(-ab ) =-a b C.(-a ) ·(-b ) =a b [答案] C [解析] 对于 A,(-a b) ·(-ab ) =a b ·(-a b )=-a b ,故 A 正确;对于 B,(-
2 2 2 3 4 2 3 6 7 8 3 2 2 3 6 3 2 2 2 3 7 8

)

B.{3,0,1} D.{3,0,1,2}

x

) B.lg3-lg2 lg2 D. lg3

) B.(-a b ) ÷(-ab ) =a b
3 2 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3

D.[-(a ) ·(-b ) ] =a b

18 18

a2b3)3÷(-ab2)3=-a6b9÷(-a3b6)=a6-3b9-6=a3b3,故 B 正确;对于 C,(-a3)2·(-b2)3= a6·(-b6)=-a6b6,故 C 错误,对于 D,易知正确,故选 C.
1 x 4.已知集合 A={y|y=log2x,x>2},B={y|y=( ) ,x>0},则 A∩B=( 2 A.(0,1) C.(1,+∞) [答案] D [解析] ∵x>2,∴y=log2x>log22=1, ∴A={y|y>1}. 1 x 又∵x>0,∴y=( ) <1, 2 ∴B={y|0<y<1},∴A∩B=?. 5.(2014~2015 学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)根据表格中的数据,可 B.(1,2) D.? )

以断定方程 e -x-2=0 的一个根所在区间是(

x

) 2 7.39 3 20.09

x
e A.(-1,0) C.(1,2) [答案] C
x

-1 0.37

0 1

1 2.72

B.(0,1) D.(2,3)

[解析] 令 f(x)=e -x-2, ∴f(2)=7.39-2-2>0,f(1)=2.72-1-2<0,故选 C. 6.(2014~2015 学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试 )已知 a=0.7 ,b= log20.8,c=1.1 ,则 a、b、c 的大小关系是( A.a<b<c C.a<c<b [答案] B [解析] 0.7 <0.7 =1,又 0.7 >0,∴0<0.7 <1. log20.8<log21=0,1.1 >1.1 =1,∴b<a<c. log3x x ? ? 7.已知函数 f(x)=? 1 x x ? ? 2 1 A.- 8 C.-8 [答案] D 1 1 -3 [解析] f( )=log3 =log33 =-3, 27 27 1 ,则 f[f( )]=( 27 1 B. 8 D.8
0.8 0 0.8 0 0.8 0.8 0.8 0.8

x

) B.b<a<c D.b<c<a

)

f[f( )]=f(-3)=( )-3=8,故选 D.
8.小王今年花费 5 200 元买了一台笔记本电脑.由于电子技术的飞速发展,计算机成 本不断降低,每隔一年计算机的价格降低三分之一,则三年后小王这台笔记本的价值为 ( ) 1 3 A.5 200×( ) 元 3 1 2 C.5 200×( ) 元 3 [答案] B [解析] 本题考查指数函数的应用.因为小王买笔记本电脑时的价格为 5 200 元,一年 2 3 B.5 200×( ) 元 3 2 2 D.5 200×( ) 元 3

1 27

1 2

2 2 2 2 2 2 2 3 后还值 5 200× 元, 再过一年还值 5 200× × 元, 三年后还值 5 200× × × =5 200×( ) 3 3 3 3 3 3 3 元,故选 B. 9.设奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f(1)=0,则不等式 x[f(x)-f(-x)]<0 的解集为( ) B.{x|x<-1 或 0<x<1} D.{x|-1<x<0 或 0<x<1}

A.{x|-1<x<0 或 x>1} C.{x|x<-1 或 x>1} [答案] D

[解析] ∵奇函数 f(x)在(0, +∞)上是增函数, f(-x)=-f(x), x[f(x)-f(-x)]<0, ∴xf(x)<0, 又 f(1)=0, ∴f(-1)=0, 从而函数 f(x)的大致图象如图所示, 则不等式 x·[f(x) -f(-x)]<0 的解集为{x|-1<x<0 或 0<x<1}.

10.已知函数 f1(x)=a ,f2(x)=x ,f3(x)=logax(其中 a>0,a≠1),在同一直角坐标 系中画出其中两个函数在第一象限内的图象,其中正确的是( )

x

a

[答案] B [解析] A 项, 由幂函数的图象知 a<0, 与已知 a>0 不符; B 项, 由幂函数的图象知 a>1, 与对数函数的图象相符, 正确; C 项, 由指数函数的图象知 a>1, 由对数函数的图象知 0<a<1, 矛盾;D 项,由指数函数的图象知 0<a<1,由幂函数的图象知 a>1,矛盾.故选 B. 1 x+1 11. 给定函数①y=x2 ; ②y=log1 (x+1); ③y=|x-1|; ④y=2 , 其中在区间(0,1) 2 上单调递减的函数序号是( A.①② C.③④ ) B.②③ D.①④

[答案] B [解析]

y=x2 在定义域上是增函数,y=log1 (x+1)在定义域上是减函数,y=|x
2

1

?x- x ? -1|=? ?1-x x ?


x+1

所以其在区间(-∞,1)上单调递减,y=2

在定义域上是增函数,故在区间(0,1)上

1 单调递减的函数是 y=log (x+1),y=|x-1|,故选 B. 2 12. 如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点, 那么称这个点为“好 1 点”.在下面的五个点 M(1,1)、N(1,2)、P(2,1)、Q(2,2)、G(2, )中,可以是“好点”的 2 个数为( A.0 个 C.2 个 [答案] C [解析] 设指数函数为 f(x)=a (a>0,a≠1),对数函数 g(x)=logbx(b>0,b≠1). 由指数函数的图象可知,f(x)的图象不过点 M、P,
x

) B.1 个 D.3 个

g(x)的图象不过点 N,
∴点 M、N、P 一定不是“好点”. 若点 Q 是“好点”,则 a =2,且 logb2=2, ∴a= 2,b= 2,故点 Q 是“好点”; 1 1 2 若点 G 是“好点”,则 a = ,logb2= , 2 2 ∴a= 2 ,b=4,故点 G 是“好点”. 2
2

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,将正确答案填在题中横线上) 13.(2014~2015 学年度山东济宁市兖州区高一上学期期中测试)函数 f(x)= log3(x+1)的定义域是______________. [答案] (-1,1)∪(1,4] 4-x≥0 ? ? [解析] 由题意得?x-1≠0 ? ?x+1>0 ∴-1<x<1 或 1<x≤4. 4-x + x-1



2

83×3-log32 14.计算: 1 =________. lne+log 464 [答案] -1
2 3 3 3 -6 -1

[解析] 原式= 15.已知 f(x)=

lne+log222

2 ×2 = 1+ -

2

-1



2 =-1. -2

x-3 -1 (a>0),若 f (x)的定义域是 a

?1,4?,则 f(x)的定义域是________. ?a a? ? ?
[答案] [4,7] [解析] f (x)的定义域即为 f(x)的值域, 1 x-3 4 ∴ ≤ ≤ .
-1

a

a

a

又 a>0,∴4≤x≤7. ∴f(x)的定义域为[4,7]. 16.下列说法中,正确的是____________. ①任取 a>0,均有 3 >2 , ②当 a>0,且 a≠1,有 a >a , ③y=( 3) 是增函数, ④在同一坐标系中,y=2 与 y=2 的图象关于 y 轴对称. [答案] ①④ [解析] ∵幂函数 y=x ,当 a>0 时, 在(0,+∞)上是增函数, ∵3>2,∴3 >2 ,故①正确; 当 a=0.1 时,0.1 <0.1 ,故②错; 函数 y=( 3) =(
-x 3 2 -x 3 2

a

a

x

-x

a

a

a

3 x ) 是减函数,故③错; 3

1 x x -x 在同一坐标系中,y=2 与 y=2 =( ) 的图象关于 y 轴对轴,故④正确. 2 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)(2014~2015 学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)计 算下列各式的值.

?2?-2 ?27?2 0 (1)? ? +(1- 2) +? ?3 ; ?3? ?8?

2lg2+lg3 (2) . 1 1 1+ lg0.36+ lg8 2 3 9 11 ?2?-2 ?27?2 9 0 [解析] (1)? ? +(1- 2) +? ?3 = +1+ = . 4 4 2 ?3? ?8? 2lg2+lg3 (2) 1 1 1+ lg0.36+ lg8 2 3 = lg4+lg3 lg12 = =1. 1+lg0.6+lg2 lg12
x

a-2 18.(本小题满分 12 分)设 f(x)= x,其中 a 是常数,且 a>-1.判断函数 f(x)的奇 1+2
偶性. [解析] 函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞). 1 x 2 2xa-1 a-2 f(-x)= = x . -x= 1+2 1 2 +1 1+ x 2
-x

a-

2 a-1 a-2 若 f(-x)=f(x),则 x = x, 2 +1 1+2 ∴2 a-1=a-2 ,解得 a=-1,而已知 a>-1, ∴f(-x)=f(x)不可能成立. 2 a-1 a-2 2 -a 若 f(-x)=-f(x),即 x =- x= x, 2 +1 1+2 1+2 ∴2 a-1=2 -a,解得 a=1,符合题意, 则函数 f(x)是奇函数. 综上可知,若 a>-1,且 a≠1,函数 f(x)既不是奇函数也不偶函数,若 a=1 时,函数
x x x x x x x

x

x

f(x)为奇函数.
19. (本小题满分 12 分)(2014~2015 学年度广东肇庆市高一上学期期中测试)已知函数

f(x)=log2|x|.
(1)求函数 f(x)的定义域及 f(- 2)的值; (2)判断函数 f(x)的奇偶性; (3)判断函数 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并证明. [解析] (1)由|x|>0,得 x≠0, ∴函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).

f(- 2)=log2|- 2|=log2 2= .

1 2

(2)由(1)知函数 f(x)的定义域关于原点对称.

f(-x)=log2|-x|=log2|x|=f(x),
∴函数 f(x)为偶函数. (3)函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增. 证明:设任意 x1、x2∈(0,+∞), 且 x1<x2,f(x2)-f(x1)=log2|x2|-log2|x1| =log2x2-log2x1 =log2 , ∵x1>0,x2>0,x1<x2, ∴ >1,∴log2 >0, ∴f(x2)-f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1). 故函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增. 20.(本小题满分 12 分)要使函数 y=1+2 +4 a 在 x∈(-∞,1]上恒大于零,求 a 的 取值范围. [解析] 由题意,得 1+2 +4 a>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立, 1+2 即 a>- x 在 x∈(-∞,1]上恒成立. 4 1+2 1 2x 1 x ∵- x =-( ) -( ) 4 2 2 =-?
x x x x x x

x2 x1

x2 x1

x2 x1

? 1 ? 2

x

1 2 1 + ? ?+ , 2? 4

1 x 1 又∵x∈(-∞,1],∴( ) ∈[ ,+∞). 2 2 1 x 令 t=( ) , 2 1 2 1 1 则 f(t)=-(t+ ) + ,t∈[ ,+∞). 2 4 2 1 ∵f(t)在[ ,+∞)上为减函数, 2 1 1 1 2 1 3 ∴f(t)≤f( )=-( + ) + =- , 2 2 2 4 4 3 即 f(t)∈(-∞,- ]. 4 3 ∵a>f(t),∴a>- . 4

3 故 a 的取值范围是(- ,+∞). 4 21. (本小题满分 12 分)(2014~2015 学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)已知定 -2 +n 义在 R 上的奇函数 f(x)= x+1 . 2 +m (1)求实数 m、n 的值; (2)判断 f(x)的单调性,并证明. [解析] (1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, -1+n ∴f(0)=0,∴ =0,∴n=1. 2 +m -2 +1 2 -1 由 f(-x)=-f(x),得 -x+1 = x+1 , 2 +m 2 +m -1+2 2 -1 x x+1 ∴ , x= x+1,∴2+m·2 =m+2 2+m·2 m+2 即 m=2. (2)函数 f(x)在 R 上是减函数. -2 +1 - 证明:由(1)知 f(x)= x+1 = 2 +2 1 1 =- + x . 2 2 +1 设任意 x1∈R,x2∈R,且 x1<x2, 则 Δ x=x2-x1>0, Δ y=f(x2)-f(x1)= 2 1-2 x2 +
x x2 x1 x x x x
-x

x

x

+ +2 x +

1 1 - x1 2 +1 2 +1
x2





.

∵x1<x2, ∴0<2x1<2x2,2 2+1>0,2 1+1>0,2 1-2 2<0, ∴Δ y<0,∴f(x)在 R 上是减函数. 22.(本小题满分 14 分)已知甲、乙两个工厂在今年的 1 月份的利润都是 6 万元,且甲 厂在 2 月份的利润是 14 万元,乙厂在 2 月份的利润是 8 万元.若甲、乙两个工厂的利润(万 元)与月份之间的函数关系式分别符合下列函数模型: f(x)=a1x +b1x+6,g(x)=a2·3 +b2,(a1、a2、b1、b2∈R). (1)求 f(x)、g(x)的表达式; (2)在同一直角坐标系下画出函数 f(x)和 g(x)在区间[1,5]上的草图,并根据草图比较 今年 1-5 月份甲、乙两个工厂利润的大小情况.
2

x

x

x

x

x

[解析] (1)依题意:由? 解得:a1=4,b1=-4, ∴f(x)=4x -4x+6; 由?
? ?g ?g ?
2

?f ? ?f ?

=6 =14

?a1+b1=0 ? ,有? ?4a1+2b1=8 ?



=6 =8

? ?3a2+b2=6 ,有? ?9a2+b2=8 ?

1 ,解得:a2= ,b2=5. 3

1 x x-1 ∴g(x)= ·3 +5=3 +5. 3 ∴f(x)=4x -4x+6,g(x)=3
2

x-1

+5.

(2)作函数 f(x)与 g(x)(1≤x≤5)的草图如图:

从图中,可以看出今年甲、乙两个工厂的利润: 当 x=1 或 x=5 时,有 f(x)=g(x); 当 1<x<5 时,有 f(x)>g(x).


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