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高考数学专题2数学填空题的常用解法


第2讲

高考填空题的常用方法

数学填空题是一种只要求写出结果, 不要求写出解答过程的客观性试题, 是高考数 学中的三种常考题型之一,填空题的类型一般可分为:完形填空题,多选填空题,条件 与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田,创新型的填空题 将会不断出现. 因此,我们在备考时,既要关注这一新动向,又要做好应试的技能准备. 解题时,要有合理的分析和判断,要求推理,运算的每一步骤都正确无误,还要求将答 案表达得准确,完整. 合情推理,优化思路,少算多思将是快速,准确地解答填空题的 基本要求. 数学填空题,绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题, 应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断.求解填空题的基本策略 是要在"准""巧""快"上下功夫.常用的方法有直接法,特殊化法,数行结合法, , , 等价转化法等.

一,直接法
这是解填空题的基本方法,它是直接从题设条件出发,利用定义,定理,性质,公 式等知识,通过变形,推理,运算等过程,直接得到结果. 例 1 设 a = (m + 1)i 3i, b = i + (m 1) j , 其 中 i , j 为 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 , 又
(a + b) ⊥ (a b) ,则实数 m =

.

解 : a + b = (m + 2)i + (m 4) j , a b = mi (m + 2) j. ∵ (a + b) ⊥ (a b) , ∴
(a + b) (a b) = 0 ∴ m(m + 2) j 2 + [(m + 2) 2 + m(m 4)]i j (m + 2)(m 4) j 2 = 0 ,而 i,j

为互相垂直的单位向量,故可得 m(m + 2) (m + 2)(m 4) = 0, ∴ m = 2 . 例 2 已知函数 f ( x) = 是 . 解: f ( x ) =
ax + 1 在区间 (2,+∞) 上为增函数,则实数 a 的取值范围 x+2

ax + 1 1 2a 1 2a =a+ , 由复合函数的增减性可知,g ( x) = 在 (2,+∞) 上 x+2 x+2 x+2 1 为增函数,∴ 1 2a < 0 ,∴ a > . 2

其规则如下: 全部 13 场足球比赛, 每场比赛有 3 种结果: 例 3 现时盛行的足球彩票, 胜,平,负,13 长比赛全部猜中的为特等奖,仅猜中 12 场为一等奖,其它不设奖,则
1

某人获得特等奖的概率为

.

1 解:由题设,此人猜中某一场的概率为 ,且猜中每场比赛结果的事件为相互独立 3 1 事件,故某人全部猜中即获得特等奖的概率为 13 . 3

二,特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以把题中 变化的不定量用特殊值代替,即可以得到正确结果. 例 4 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a,b,c 成等差数列, cos A + cos C 则 = . 1 + cos A cos C 3 解:特殊化:令 a = 3, b = 4, c = 5 ,则△ABC 为直角三角形, cos A = , cos C = 0 ,从 5 3 而所求值为 . 5
Q 若线段 PF, 例 5 过抛物线 y = ax 2 (a > 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线交于 P, 两点, FQ 的长分别为 p,q,则 1 1 + = p q

.

分析:此抛物线开口向上,过焦点且斜率为 k 的直线与抛物线均有两个交点 P,Q, 当 k 变化时 PF,FQ 的长均变化,但从题设可以得到这样的信息:尽管 PF,FQ 不定, 但其倒数和应为定值,所以可以针对直线的某一特定位置进行求解,而不失一般性. 解 : 设 k = 0 ,因抛物线焦点坐标为 (0, x±
1 1 ), 把直线方程 y = 代入抛物线方程得 4a 4a

1 1 1 1 ,∴ | PF |=| FQ |= ,从而 + = 4a . 2a 2a p q

例6

求值 cos 2 a + cos 2 (a + 120 ) + cos 2 (a + 240 ) =

.

分析:题目中"求值"二字提供了这样信息:答案为一定值,于是不妨令 a = 0 ,得 结果为
3 . 2

三,数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题,若能数中思形,以形助数,则往往可以简捷地解
2

决问题,得出正确的结果. 例7 如果不等式 4 x x 2 > (a 1) x 的解集为 A,且 A {x | 0 < x < 2} ,那么实数 a .

的取值范围是

解:根据不等式解集的几何意义,作函数 y = 4 x x 2 和 函数 y = (a 1) x 的图象(如图) ,从图上容易得出实数 a 的取 值范围是 a ∈ [2,+∞ ) . 例8 求值 sin(

π

1 + arctan ) = 3 2

.

解: sin(

π

1 3 1 1 1 + arctan ) = cos(arctan ) + sin(arctan ) , 3 2 2 2 2 2

构造如图所示的直角三角形,则其中的角 θ 即为 arctan

1 ,从而 2

1 2 1 1 5 + 2 15 cos(arctan ) = , sin(arctan ) = . 所以可得结果为 . 2 2 10 5 5

例9 解:

已知实数 x,y 满足 ( x 3) 2 + y 2 = 3 ,则

y 的最大值是 x 1

.

y 可看作是过点 P ( x , y)与 M ( 1 , 0 )的直线的斜率,其中点 P 的圆 x 1 y ( x 3) 2 + y 2 = 3 上,如图,当直线处于图中切线位置时,斜率 最大,最大值为 x 1

tan θ = 3 .

四,等价转化法
通过"化复杂为简单,化陌生为熟悉" ,将问题等价地转化成便于解决的问题,从而 得出正确的结果.
3 的解集为(4,b) ,则 a= ,b= . 2 3 解:设 x = t ,则原不等式可转化为: at 2 t + < 0, ∴a > 0,且 2 与 b (b > 4) 是方 2 3 1 程 at 2 t + = 0 的两根,由此可得: a = , b = 36 . 2 8

例 10

不等式 x > ax +

例 11

不论 k 为何实数, 直线 y = kx + 1 与曲线 x 2 + y 2 2ax + a 2 2a 4 = 0 恒有交
3

点,则实数 a 的取值范围是

.

解:题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,或等价于点(0,1)到圆 ( x a ) 2 + y 2 = 2a + 4 ,∴ 1 ≤ a ≤ 3 . 例 12 函数 y = 4 x 1 + 2 3 x 单调递减区间为 .

1 解:易知 x ∈ [ ,3], y > 0. ∵y 与 y2 有相同的单调区间,而 y 2 = 11 + 4 4 x 2 + 13 x 3 , 4 13 ∴可得结果为 [ ,3] . 8 总之,能够多角度思考问题,灵活选择方法,是快速准确地解数学填空题的关键.
五,练习 1 已知函数 f ( x ) = 讲解 由 3 =

x + 1 ,则 f f
1

1

(3) = _______ .

x + 1 ,得
1

(3) = x = 4 ,应填 4.

请思考为什么不必求 f

(x ) 呢?
1 ,x ∈N 2

2. 集合 M = x 1 ≤ log 1 10 <
x



的真子集的个数是 ______ .

讲解

M = {x 1 ≤ lgx < 2, x ∈ N} = {x 10 ≤ x < 100, x ∈ N },显然集合 M 中有 90 个元素,其

真子集的个数是 2 90 1 ,应填 2 90 1 . 快速解答此题需要记住小结论;对于含有 n 个元素的有限集合,其真子集的个数是 2 1.
2

3. 若函数 y = x 2 + (a 2 )x + 3, x ∈ [a, b ] 的图象关于直线 x = 1 对称,则 b = _____ . 讲解 由已知抛物线的对称轴为 x = 4. 果函数 f ( x ) =

a+2 ,得 2

a = 4 ,而

a+b = 1 ,有 b = 6 ,故应填 6. 2

x2 ,那么 1+ x2

1 1 1 f (1) + f (2 ) + f + f (3) + f + f (4 ) + f = _____ . 2 3 4
讲解 容易发现 f (t ) + f = 1 ,这就是我们找出的有用的规律,于是

1 t

4

原式= f (1) + 3 =

7 7 ,应填 . 2 2

本题是 2002 年全国高考题,十分有趣的是,2003 年上海春考题中也有一道类似题: 设 f (x ) =

1 2x + 2

,利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法,可求得

f ( 5) + f ( 4) + + f (0) + + f (5) + f (6) = ______ .
已知点 P (tan α , cos α ) 在第三象限,则角 α 的终边在第 ____ 象限.

5.

讲解 由已知得

tan α < 0, sin α > 0, cos α < 0, cos α < 0,
从而角 α 的终边在第二象限,故应填二. 6. 不等式 (lg 20 )
2 cos x

≥ 1 ( x ∈ (0, π ) )的解集为 __________ .

讲解 注意到 lg 20 > 1 ,于是原不等式可变形为

2 cos x ≥ 0 cos x ≥ 0.
而 0 < x < π ,所以 0 < x ≤

π
2

,故应填 x 0 < x ≤



π

,x ∈ R . 2

7. 讲解

如果函数 y = sin 2 x + a cos 2 x 的图象关于直线 x =

π
8

对称,那么 a = _____ .

y = 1 + a 2 sin (2 + ) ,其中 tan = a .

∵x=

π
8

是已知函数的对称轴,

π π ∴ 2 + = kπ + , 2 8


= kπ +

3π ,k ∈ Z , 4
故应填 1 .

于是

3π a = tan = tan kπ + = 1. 4

在解题的过程中,我们用到如下小结论: 函数 y = A sin (ωx + ) 和 y = A cos(ωx + ) 的图象关于过最值点且垂直于 x 轴的直线分别成轴 对称图形.
5

8. 设复数 z1 = 2 sin θ + cosθ 旋转

π π < θ < 在复平面上对应向量 OZ 1 , 将 OZ 1 按顺时针方向 2 4

3π 后得到向量 OZ 2 , OZ 2 对应的复数为 z 2 = r (cos + i sin ) ,则 tan = ____ . 4

讲解 应用复数乘法的几何意义,得

3π 3π z 2 = z1 cos i sin 4 4 =
于是 故应填

2 [(2 sin θ cosθ ) + (2 sin θ + cosθ )i ] , 2

tan =

2 sin θ cos θ 2 tan θ + 1 = , 2 sin θ + cos θ 2 tan θ 1 2 tan θ + 1 . 2 tan θ 1 x + xy + y = 0 ,则代数式
2 2

9 . 设非零复数 x, y 满足 ____________. 讲解 将已知方程变形为 解这个一元二次方程,得

x x+

y

2005

y + x+ y

2005

的值是

x x + + 1 = 1, y y

2

x 1 3 = ± i = ω. y 2 2
显然有 ω 3 = 1, 1 + ω = ω 2 , 而 2005 = 3 × 668 + 1 ,于是 原式=

1 ω 2005 + 2005 (1 + ω ) (1 + ω )2005

=

( ω )

ω

2 2005

+

( ω )

1

2 2005

=

1+ ω = 1. ω 2

在上述解法中, "两边同除"的手法达到了集中变量的目的,这是减少变元的一个上策,值得重 视. 10. 10. 已知 {a n } 是公差不为零的等差数列,如果 S n 是 {a n } 的前 n 项和,那么

6

lim S
n →∞

na n
n

= _____ .
n(n + 1) ,于是有 2
故应填 2.

讲解 特别取 a n = n ,有 S n =

na n 2n 2 2 lim S n = lim n(n + 1) = lim 1 = 2. n→∞ n →∞ n →∞ 1+ n

1 (n 5 n , 是奇数) 11.列 {a n } 中, a n = S 2 n = a1 + a 2 + + a 2 n , 则 2 n ,(n是偶数) 5

lim S
n→ ∞

2n

= ________ .

讲解 分类求和,得

∵ S 2 n = (a1 + a3 + + a 2 n1 ) + (a 2 + a 4 + + a 2 n ),
∴ lim S 2 n
n →∞

2 2 1 1 = + 5 = ,故应填 . 1 1 8 8 1 2 1 2 5 5 1 5

12.以下四个命题:

2 ① 2 n 〉n + 1

(n ≥ 3); (n ≥ 1); (n ≥ 3);
(n ≥ 4).

② 2 + 4 + 6 + + 2n = n 2 + n + 2 ③凸 n 边形内角和为 f (n ) = (n 1)π ④凸 n 边形对角线的条数是 f (n ) =

n(n 2 ) 2

其中满足 "假设 n = k (k ∈ N , k ≥ k 0 ) 时命题成立, 则当 n=k+1 时命题也成立''.但不满足 "当 n = n0 ( n0 是题中给定的 n 的初始值)时命题成立"的命题序号是 讲解 ①当 n=3 时, 2 > 2 × 3 + 1 ,不等式成立;
3

.

② 当 n=1 时, 2 ≠ 12 + 1 + 2 ,但假设 n=k 时等式成立,则

2 + 4 + 6 + + 2(k + 1) = k 2 + k + 2 + 2(k + 1) = (k + 1) + (k + 1) + 2 ;
2

7



f (3) ≠ (3 1)π ,但假设 f (k ) = (k 1)π 成立,则 f (k + 1) = f (k ) + π = [(k + 1) 1]π;



f (4 ) ≠

4(4 2 ) k (k 2 ) ,假设 f (k ) = 成立,则 2 2 (k + 1)[(k + 1) 2] . f (k + 1) = f (k ) + (k 3) ≠ 2

故应填②③. 13. 13.某商场开展促销活动,设计一种对奖券,号码从 000000 到 999999. 若号码的奇位数字是不 同的奇数,偶位数字均为偶数时,为中奖号码,则中奖面(即中奖号码占全部号码的百分比) 为 .

讲解
3

中奖号码的排列方法是:
3 3

奇位数字上排不同的奇数有 P5 种方法,偶位数字上排偶数

3

的方法有 5 ,从而中奖号码共有 P5 × 5 种,于是中奖面为

P53 × 5 3 × 100% = 0.75%, 1000000
故应填 0.75%. 14. 14.

(x

2

+ 1)( x 2 ) 的展开式中 x 3 的系数是 __________.
7

x 2 + 1 ( x 2 ) = x 2 ( x 2 ) + ( x 2 ) 知,所求系数应为 ( x 2 ) 的 x 项的系数与 x 讲解 由
7 7 7 7

(

)

3

项的系数的和,即有
6 C 7 ( 2) + C 74 ( 2 ) = 1008, 6 4

故应填 1008. 15. 15. 过长方体一个顶点的三条棱长为 3,4,5, 且它的八个顶点都在同一球面上,这个球的表 面积是________. 讲解 长方体的对角线就是外接球的直径 2 R , 即有

(2 R )2 = 4 R 2
从而

= 3 2 + 4 2 + 5 2 = 50,

S 球 = 4πR 2 = 50π ,故应填 50π .

16. 若四面体各棱的长是 1 或 2,且该四面体不是正四面体,则其体积是 16. (只 需写出一个可能的值) . 讲解 本题是一道很好的开放题,解题的开窍点是:每个面的三条棱是怎样构造的,依据"三 角形中两边之和大于第三边" ,就可否定{1,1,2} ,从而得出{1,1,1}{1,2,2}{2,2,2} , , 三种形态,再由这三类面构造满足题设条件的四面体,最后计算出这三个四面体的体积分别为:

8

11 11 14 11 11 14 , , ,故应填. , , 中的一个即可. 6 12 12 6 12 12

17. 17. 如右图,E,F 分别是正方体的面 ADD1A1,面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方体的 面上的射影可能是 .(要求:把可能的图的序号都填上) D1 A1 E D
1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○

C1 B1 F C B

A

讲解 因为正方体是对称的几何体,所以四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可分为:上下, 左右,前后三个方向的射影,也就是在面 ABCD,面 ABB1A1,面 ADD1A1 上的射影. 2 四边形 BFD1E 在面 ABCD 和面 ABB1A1 上的射影相同,如图○所示; 3 四边形 BFD1E 在该正方体对角面的 ABC1D1 内,它在面 ADD1A1 上的射影显然是一条线段,如图○所 2 3 示. 故应填○○. 18 直线 y = x 1 被抛物线 y 2 = 4 x 截得线段的中点坐标是___________.

讲解 由

y = x 1, 消去 y,化简得 2 y = 4x x 2 6 x + 1 = 0,

设此方程二根为 x1,x 2 ,所截线段的中点坐标为 ( x0,y 0 ) ,则

x0 =

x1 + x 2 = 3, 2 y 0 = x 0 1 = 2.

故 应填 (3,2 ) .

x2 y2 + = 1 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m,则当 m 取最大值时,点 P 的坐标 19 椭圆 9 25
是_____________________. 讲解 记椭圆的二焦点为 F1,F2 ,有

PF1 + PF2 = 2a = 10,
9

则知

PF1 + PF2 = 25. m = PF1 PF2 ≤ 2

2

显然当 PF1 = PF2 = 5 ,即点 P 位于椭圆的短轴的顶点处时,m 取得最大值 25. 故应填 ( 3,0 ) 或 (3,0 ). 20 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的函数解析式是 y =

x2 (0 ≤ y ≤ 20) ,在杯内放 2

一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径 r 的取值范围是___________. 依抛物线的对称性可知,大圆的圆心在 y 轴上,并且圆与抛物线切于抛物线的顶点,从 讲解 而可设大圆的方程为

x 2 + (y r) = r 2 .
2



x 2 + ( y r )2 = r 2, x2 y= , 2 y 2 + 2(1 r ) y = 0
y = 0 或 y = 2(1 r ).
(*)

消去 x,得 解出

要使(*)式有且只有一个实数根 y = 0 ,只要且只需要 2(r 1) ≤ 0, 即 r ≤ 1. 再结合半径 r > 0 ,故应填 0 < r ≤ 1.

10


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