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2009-2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题


2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题
第一试(80 分钟) 一、填空题(本题满分 56 分,每小题 8 分)
1. 已 知 数 列

?an ?

的 前

n 项 和 Sn ? n2 ? 3n ? 4

?n ? N ?
*

, 则

/>
a1 ? a3 ? a5 ? ?? a21 ? ________.
2.若集合 A ? x

?

x ? 3 ? ax ? 1, x ? R 为空集,则实数 a 的取值范围是________.

?

3. 设 x 、 y 为实数,2 x ? y ? 1 ,则二元函数 u ? x2 ? 4x ? y 2 ? 2 y 的最小值是________ 4.设 F1 、 F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,以 F1F2 为直径的圆交双曲线左支 a 2 b2

于 A 、 B 两点,且 ?AF1B ? 120? . 双曲线的离心率的值介于整数 k 与 k ? 1 之间,则

k ? ________.
5.已知长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的体积为 216 ,则四面体 AB1CD1 与四面体 A1BC1D 的 重叠部分的体积等于________. 6. 设

[ x]











x















[log3 1] ? [log3 2] ? [log3 3] ? ?? [log3 258] ? ________.
7.设方程 x2n?1 ? a2n x2n ? a2n?1x2n?1 ? ?? ?a1x ? a0 ? 0 的根都是正数, a1 ? ? ? 2n ?1? , 且 则 a0 的最大值是________. 8. 2009 ? 1911 的方格棋盘的一条对角线穿过________个棋盘格.

二、 解答题(本题满分 14 分)
求函数

f ? x? ? sin4 x ? tan x ? cos4 x ? cot x 的值域.

三、解答题(本题满分 15 分)
如图,抛物线 y 2 ? 2 x 及点 P ?1,1? ,过点 P 的不重合的直线 l1 、 l2 与此抛物线分别 交于点 A ,

B , C , D .证明: A , B , C , D 四点共圆的充要条件
是直线 l1 与 l2 的倾斜角互补.

y C A P O D B x

四、解答题(本题满分 15 分)
设 a , b 是 正 数 , 且 a ?1 , b ?1 , 求 证 :

a ? 1 b ? 1 25 ? ? ? a ? 1?? b ? 1? . a 4 ? 1 b 4 ? 1 64
5 5

第二试(150 分钟) 一、 (本题满分 50 分)
如图,在△ ABC 中, DE ∥ BC ,△ ADE 的内切圆与 DE 切于点 M ,△ ABC 的 BC 边上的旁切圆切 BC 于点 N ,点 P 是 BE 与 CD 的交点,求证 M 、 N 、 P 三点共 线.
A

D B

M P N

E

C

二、 (本题满分 50 分)
设 k , n 为给定的整数, n ? k ? 2 . 对任意 n 元的数集 P ,作 P 的所有 k 元子集的 元素和,记这些和组成的集合为 Q ,集合 Q 中元素个数是 CQ ,求 CQ 的最大值.

三、 (本题满分 50 分)
设M

? 2n1 ? 2n2 ? ? ? 2ns , n1 , n2 ,?, ns 是互不相同的正整数,求证:
.
n1 2

M ?2

?2

n2 2

??? 2

ns 2

? 1?

?

2

?

M

四、 (本题满分 50 分)
求满足下列条件的所有正整数 x , y : (1) x 与 y ? 1 互素; (2) x2 ? x ? 1 ? y3 .

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准 第一试
一、填空题(本题满分 56 分,每小题 8 分) 1. 268 2. ( ??, ? ) ? ( , ?? ) 3. ? 二、 解答题(本题满分 14 分)

1 3

1 6

9 4. 2 5. 36 6. 932 7. 1 8. 3871 5

sin x cos x sin 6 x ? cos6 x 解 因为 f ? x ? ? sin 4 x ? ? cos4 x ? ? ? cos x sin x sin x cos x

3 2 ? sin 2 2 x 2 . sin 2 x
………………8 分

3 2 ? t2 2 ? 2 ? 3 t . 易知函数 g ? t ? ? 2 ? 3 t 令 t ? sin 2 x ,则 t ???1,0 ? ? ?0,1? , f ? x ? ? t 2 t t 2 1 1 在区间 ? ?1,0? 与 ? 0,1? 上都是减函数, 所以 g ? t ? 的值域为 ( ??, ? ] ? [ , ??) , f ? x ? 的 故 2 2
值域 为 ( ??, ? ] ? [ , ??) . 三、解答题(本题满分 15 分) 解 设 l1 、 l2 的倾斜角分别为 ? 、 ? ,由题设知

1 2

1 2

………………14 分

? 、 ? ? ? 0, ? ? . 易知直线 l1 的参数方程为
? x ? 1 ? t cos ? , ? ? y ? 1 ? t sin ?
代入抛物线方程可化得

t 2 sin2 ? ? 2 ?sin ? ? cos? ? t ?1 ? 0 .
t1t2 ? ?1 . 由参数 t 的几何意义,得 sin 2 ?
…………………5 分

设 上 述 方 程 的 两 根 为 t1 、 t 2 , 则

AP ? BP ?
同理

1 . sin 2 ?

C P? D P ?

1 . 2 sin?

…………………7 分

2 2 若 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆,则 AP ? BP ? CP ? DP ,即 sin ? ? sin ? .

因为 ? 、 ? ? ? 0, ? ? ,所以 sin ? ? sin ? .

又由 l1 、 l2 不重合,则 ? ? ? . 所以 ? ? ? ? ? .

…………………11 分

反过来,若 ? ? ? ? ? ,则因 ? 、 ? ? ? 0, ? ? ,故 sin ? ? sin ? ,且 ? ? 0 , ? ? 0 . 所以
1 1 ? ,即 AP ? BP ? CP ? DP . sin 2 ? sin 2 ?

故 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆. 四、解答题(本题满分 15 分) 解

…………………15 分

a5 ? 1 a 4 ? a3 ? a 2 ? a ? 1 ? 因为 4 , 且 a ?1 a3 ? a 2 ? a ? 1
8 ? a 4 ? a 3 ? a 2 ? a ? 1? ? 5 ? a 3 ? a 2 ? a ? 1? ? a ? 1?

? 3a4 ? 2a3 ? 2a 2 ? 2a ? 3 ? ? a 4 ? 2a 2 ? 1? ? 2 ? a 4 ? a 3 ? a 2 ? 1?
? ? a 2 ? 1? ? 2 ? a ? 1? ? a 2 ? a ? 1? ? 0
2 2

( a ? 1) ,

a 4 ? a3 ? a 2 ? a ? 1 5 a5 ? 1 5 ? ? a ? 1? . ? ? a ? 1? ,即 4 所以 a ?1 8 a3 ? a 2 ? a ? 1 8
同理可证 于是,

…………………10 分

b5 ? 1 5 ? (b ? 1) . b4 ? 1 8
…………………15 分

a5 ? 1 b5 ? 1 25 ? ? (a ? 1) ? b ? 1? . a4 ? 1 b4 ? 1 64

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准 加
一、 (本题满分 50 分) 证 设 BE 与 MN 交于点 P ' . 因为 DE ∥ BC ,所以 故只需证明



BP BC BP ' BN ? ? , . PE DE P ' E EM
………………10 分
B D M P N

A

BC BN BN EM ? ? ,或 . DE EM BC DE

E

如图, 设 O1 、 O2 分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆心,

C

F 、 G 、 H 、 I 为切点,则 1 EM ? ? AE ? DE ? AD ? , AH ? AB ? BH ? AB ? BN , 2 1 AH ? AI ? ? AB ? BC ? AC ? , 2

BN ? AH ? AB ?

1 ? AC ? BC ? AB ? . 2
………………30 分

又 ?ADE ∽ ?ABC , 故可设

A

AB BC AC ? ? ?k, AD DE AE


F O 1 M D B H O2 P N

G E

1 ( AC ? BC ? AB) BN 2 ? BC BC
(k ? AE ? k ? DE ? k ? AD ) 2k ? DE ( AE ? DE ? AD) EM ? ? 2 DE DE ?
故结论成立. 二、 (本题满分 50 分)
k 解 CQ 的最大值为 Cn .

C I

………………50 分

…………………10 分
k

k 因 P 共有 Cn 个 k 元子集,故显然有 CQ ? Cn .

…………………20 分

k 下面我们指出,对集合 P ? {2, 22 , ?, 2n },相应的 CQ 等于 Cn ,即 P 的任意两个不

同的 k
k 元子集的元素之和不相等. 从而 CQ 的最大值为 Cn .

事实上,若上述的集合 P 有两个不同的 k 元子集

A ? {2r1 , 2r2 ,?, 2rk } ,
使得 A 与 B 的元素之和相等,则

B ? {2s1 , 2s2 ,?, 2sk } ,

2r1 ? 2r2 ? ? ? 2rk ? 2s1 ? 2s2 ? ? ? 2sk ? M (设).



因①可视为正整数 M 的二进制表示,由于 ri 互不相同, si 互不相同,故由正整数的二进制 表示的唯一性,我们由①推出,集合 {r , r2 ,?, rk } 必须与 {s1 , s2 ,?, sk } 相同,从而子集 1

A ? B ,矛盾.
这就证明了我们的断言. 三、 (本题满分 50 分) 证 对 s 归纳. (1) 当 s ? 1 时,结论显然成立. …………………50 分

…………………10 分

(2) 假设 s ? k 时结论成立,当 s ? k ? 1 时,不妨设 n1 ? n2 ? ? ? nk ? nk ?1 .

由归纳假设可知, 2 2 ? ? ? 2
n1

n2

nk ?1 2

? (1 ? 2) M ? 2n1 ,则
n2 nk nk ?1 2

2 2 ? 2 2 ??? 2 2 ? 2
n1

? (1 ? 2) M ? 2n1 ? 2 2 .

n1

所以只要证明: (1 ? 2) M ? 2n1 ? 2 2 ? (1 ? 2) M ,
(1 ? 2)2 2
n1

此即

M ? M ? 2n1

? 1.

…………………30 分

因为正整数 n1 ? n2 ? ? ? nk ? nk ?1 ,所以
2n1 ? 2n2 ?1 ? 2n2 ? 2n2 ?1 ? ? ? 2 ? 1 ? 2n2 ? 2n3 ? ? ? 2nk ?1 .

.


M ? 2n1 ? 2n2 ? ? ? 2nk ? 2nk ?1 ? 2 ? 2n1 , M ? 2n1 ? 2n2 ? ? ? 2nk ?1 ? 2n1 .

所以
(1 ? 2)2 2
n1

M ? M ? 2n1

?

(1 ? 2)2 2

n1

2 ? 2n1 ? 2n1

?1,

即 s ? k ? 1 时,命题成立. 因此,由数学归纳法可知,命题对所有正整数 s 成立.…………………50 分 四、 (本题满分 50 分) 解 显然 x ? 1 , y ? 1 满足要求.…………………10 分

对于 x ? 1 , y ? 1 , 方程可化为

? y ? 1? ? y 2 ? y ? 1? ? x ? x ? 1? .

2 显然 x ? y . 因为 ? x, y ?1? ? 1, x 一定是 y ? y ? 1 的一个因子. 设 y 2 ? y ? 1 ? kx 故

( k 为正整数) ,从而 x ?1 ? k ? y ?1? . 由 x ? y 可知 k ? 2 .…………………20 分 消去 x ,得 y ? y ? 1 ? k
2 2

? y ?1? ? k ,



?y

2

? 1? ? ? y ? 1? ? k 2 ? y ? 1? ? k ? 3 .

由此推得 y ?1 ? k ? 3? . …………………40 分 若 k ? 3 ,则 y ? 1 ? k ? 3 ,即 k ? y ? 2 ,从而

k 2 ? y ?1? ? k ? y2 ? y ?1 ? k 2 ? ? k ? 2? ?1 ,
故必有 y ? 1 ? 0 ,矛盾.所以 k ? 3 ,从而 k ? 2 , 3 . 验证知 y ? 7 , x ? 19 . 综上, ? x, y ? ? ?1,1? , ?19,7 ? . …………………50 分

2010 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛
一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1.已知数列{an}、{bn}满足 an=2 式是 简解:由 an=2
2n+3 5 2n+3 5

1 ,bn= log2(a1a2a3…an),n∈N*,则数列{bn}的通项公 n

n+4 .答案:bn= ,n∈N* 5 ,得 a1a2a3…an=2
2(1+2+…+n)+3n 5

n(n+4)

=2

5

,n∈N*.

1 n(n+4) n+4 所以 bn= × = ,n∈N*. n 5 5 2.已知两点 M(0,2)、N(-3,6)到直线 l 的距离分别为 1 和 4,则满足条件的直线 l 的条数 是 .答案:3 简解:易得 MN=5,以点 M 为圆心,半径 1 为的圆与以点 N 为圆心,半径为 4 的圆外切, 故满足条件的直线 l 有 3 条. 3.设函数 f(x)=ax2+x.已知 f(3)<f(4),且当 n≥8,n∈N*时,f(n)>f(n+1)恒成立,则实 数 a 的取值范围是 1 1 .答案:(- ,- ) 7 17

简解:(方法一) 因为当 n≥8 时,f(n)>f(n+1)恒成立,所以 a<0,此时 f(n)>f(n+1)恒 1 成立等价于 f(8)>f(9),即 64a+8>81a+9,解得 a<- . 17 1 1 1 因为 f(3)<f(4),所以 9a+3<16a+4,解得 a>- .即 a∈(- ,- ). 7 7 17 (方法二)考察二次函数 f(x)=ax2+x 的对称轴和开口方向. 1 17 1 因为当 n≥8 时,f(n)>f(n+1)恒成立,所以 a<0,且- < ,解得 a<- . 2a 2 17 1 7 1 1 1 因为 f(3)<f(4),所以- > ,解得 a>- .即 a∈(- ,- ). 2a 2 7 7 17 4.已知 ABCD-A1B1C1D1 是边长为 3 的正方体, 点 P、Q、R 分别是棱 AB、AD、AA1 上的 点,AP=AQ=AR=1,则四面体 C1PQR 的 体积为 4 .答案: 3 B C1 D1 A1 B1

简解:因为 C1C⊥面 ABCD,所以 C1C⊥BD. R 又因为 AC⊥BD, C 所以 BD⊥面 ACC1,所以 AC1⊥BD. P 又 PQ∥BD,所以 AC1⊥PQ. A D Q 同理 AC1⊥QR.所以 AC1⊥面 PQR. (第 4 题) 因为 AP=AQ=AR=1,所以 PQ=QR=RP= 2. 1 1 1 因为 AC1=3 3,且 VA-PQR = · ·12·1= ,所以 3 2 6 1 3 4 VC1-PQR = · ·( 2)2·3 3-VA-PQR = . 3 4 3 5.数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an ?1 ?

1 ? an , n?N*.记 Tn=a1a2…an,则 T2010 等于 1 ? an



答案:-6

1 1 简解:易得:a1=2,a2=-3,a3=- ,a4= ,a1a2 a3a4=1. 2 3

又 a5=2=a1,由归纳法易知 an+4=an,n∈N*. 所以 T2010=T2008×a2009×a2010=a1a2=-6. 6.骰子是一个立方体, 6 个面上分别刻有 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 点. 现有质地均匀的 骰子 10 只. 一次掷 4 只、 3 只骰子,分别得出各只骰子正面朝上的点数之和为 6 的 概率的比为 .答案:1:6.

提示:掷 3 只骰子,掷出 6 点的情况为 1,1,4;1,2,3;2,2,2. 共 3+3!+1=10 种, 10 3 概率为 6 . 掷 4 只骰子,掷出 6 点的情况为 1,1,1,3;1,1,2,2. 共 4+ C4 =10 种,概率 为
10 64 .
2

1:6 . 7 7.在△ABC 中,已知 BC=5,AC=4,cos(A-B)= , 8 则 cosC= 11 .答案: 16 B A

所以概率的比为

10 10 63 : 64 =

简解:因 BC ? AC ,故 ?A ? ?B . 如图,作 AD, 使∠BAD=∠B,则∠DAC=∠A-∠B. 设 AD=BD=x,则 DC=5-x.在△ADC 中, 11 由余弦定理得 x=3.再由余弦定理得 cosC= . 16

D (第 7 题)

C

8.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=2x 的焦点为 F. 设 M 是抛物线上的动点,则 MO 的最大值为 MF 2 3 .答案: 3

2 2 4x2+8x 4x-1 MO 2 x +y 简解:设点 M(x,y),则( )= = 2 =1+ 2 . MF 1 2 4x +4x+1 4x +4x+1 (x+ ) 2

令 4x-1=t, MO 当 t≤0 时,显然 ≤1. MF MO 2 当 t>0 时,则( ) =1+ MF 1 4 ≤1+ = ,且当 t=3,即 x=1 时,等号成立. 9 3 3 t+6+ t 4

MO 2 3 所以 的最大值为 ,此时点 M 的坐标为(1,± 2). MF 3 二、解答题(本题满分 16 分) 如图,点 P 是半圆 C:x2+y2=1(y≥0)上位于 x 轴上方的任意一点,A、B 是直径的两 个端点,以 AB 为一边作正方形 ABCD,PC 交 AB 于 E,PD y 交 AB 于 F,求证:BE,EF,FA 成等比数列. P B O E F A x

证明:设 P(cosα,sinα),C(-1,-2),D(1,-2), E(x1,0),F(x2,0). sinα+2 2 因为点 P、E、C 三点共线,所以 = , cosα+1 x1+1 2(cosα+1) 所以 x1= -1. sinα+2 ………………5 分

sinα+2 2 由点 P、F、D 三点共线,所以 = , cosα-1 x2-1 2(cosα-1) 所以 x2= +1. sinα+2 ………………10 分

2(cosα+1) 2(cosα-1) 2sinα 所以 BE=x1+1= ,EF=x2-x1= ,FA= . sinα+2 sinα+2 sinα+2 2(cosα+1) 2(cosα-1) 4sin2α 所以 BE·FA= × = =EF2. sinα+2 sinα+2 (sinα+2)2 即 BE,EF,FA 成等比数列. 三、解答题(本题满分 20 分) 设实数 a , m 满足 a ? 1 , 0 ? m ? 2 3 ,函数 f ? x ? ? ………………16 分

amx ? mx 2 a ? a ?1 ? a ? m 2
2



x ?? 0, a ? . 若存在 a , m , x ,使 f ? x ? ?

3 ,求所有的实数 x 的值. 2

x ma2 ma2 解答:因为 x ? (0, a) 时, amx ? mx2 ? ?m(a ? )2 ? , ? 2 4 4

当且仅当 x ? 所以

a 时等号成立, 2
a2 m 3 amx ? mx am 4 ? ? ? 2 2 2 2 2 a ? a(1 ? a) m a ? a(1 ? a) m 4(1 ? (1 ? a) 2 m 2 )
2

……………5 分

?

am m 3 , ? ? 4 4 2

……………15 分

当且仅当 x ?

a 及 a ? 1 与 m ? 2 3 时等号成立. 2

故 x ?1 . ……………20 分 四、解答题(本题满分 20 分) 数列{an}中,已知 a1∈(1,2),an+1=an3-3an2+3an,n∈N*,求证: 1 (a1-a2)( a3-1)+(a2-a3)( a4-1)+…+(an-an+1)( an+2-1)< . 4 证明:(方法一) 由 an+1=an3-3an2+3an,得 an+1-1=(an-1)3. 令 bn=an-1,则 0<b1<1,bn+1=bn3<bn,0<bn<1. 所以 (ak-ak+1)( ak+2-1)=(bk-bk+1)×bk+2 ………………5 分

1 =(bk-bk+1)×bk+13< (bk-bk+1)×(bk3+bk2bk+1+bkbk+12+bk+13) 4

1 < (bk4-bk+14). 4 所以 (a1-a2)(a3-1)+(a2-a3)(a4-1)+…+(an-an+1)(an+2-1) 1 1 1 < (b14-b24)+ (b24-b34)+…+ (bn4-bn+14) 4 4 4 1 1 1 = (b14-bn+14)< b14< . 4 4 4

………………15 分

………………20 分

(方法二) 由 an+1=an3-3an2+3an,得 an+1-1=(an-1)3. 令 bn=an-1,则 0<b1<1,bn+1=bn3,0<bn<1. ………………5 分 所以 (a1-a2)( a3-1)+(a2-a3)( a4-1)+…+(an-an+1)( an+2- 1) =(b1-b2) b3+(b2-b3) b4+…+(bn-bn+1) bn+2 =(b1-b2) b23+(b2-b3) b33+…+(bn-bn+1) bn+
3 1

?

? x dx ? 4
3 0

1

1



………………20 分

2010 年全国高中数学联赛江苏赛区 复赛参考答案与评分标准
加 试

一、 (本题满分 40 分) 圆心为 I 的 ?ABC 的内切圆分别切边 AC、AB 于点 E、F. 设 M 为线段 EF 上一点, 证明: ?MAB 与 ?MAC 面积相等的充分必要条件是 MI ? BC . A A

Q M F I E F

P M E

I

B (第 1 题)

C

B

D

C

证明:过点 M 作 MP ? AC 、 MQ ? AB ,垂足分别为 P、Q. 圆 I 切边 BC 于点 D, 则 ID ? BC , IF ? AB , IE ? AC . 显然 AF=AE, 所以 ?AFM ? ?AEM , 从而推知 Rt?QFM ? Rt?PEM , 得

MQ MF ? . MP ME 1 MQ ? AB S?MAB 2 MQ AB MF AB 又 , 所以 ? ? ? ? ? S?MAC 1 MP ? AC MP AC ME AC 2 AB ME ?MAB 与 ?MAC 面积相等的充要条件是 ? . ① AC MF AB ME ? 由①可知,问题转化为证明: 的充分必要条件是 MI ? BC . ………10 分 AC MF AB ME ? 首先证明:若 MI ? BC ,则 . AC MF 由 MI ? BC 可知点 M 在直线 ID 上. 因为 B、D、I、F 四点共圆,所以 ?MIF ? ?DBF ? ?B , ?MIE ? ?ECD ? ?C .
又 IE=IF,则由正弦定理得

MF FI IE ME ? ? ? , sin ?MIF sin ?IMF sin(? ? ?IMF ) sin ?MIE


ME sin C AB sin C AB ME ? ? ? ,而 . 所以 . MF sin B AC sin B AC MF AB ME ? ,则 MI ? BC . AC MF
'

……………30 分

其次证明:若

设直线 ID 与 EF 交于点 M ,则由上述证明可知

AB M ' E ? ,于是有 AC M ' F
……………40 分

AB M ' E ' ? ,从而 M ? M . 故命题成立. AC M ' F
二、 (本题满分 40 分)

将凸 n 边形 A A2 ? An 的边与对角线染上红、蓝两色之一,使得没有三边均为蓝色的三 1 角形. 对 k=1, 2,…,n,记 bk 是由顶点 Ak 引出的蓝色边的条数,求证:

b1 ? b2 ? ? ? bn ?

n2 . 2

证明:不妨设 b ? max{b1 , b2 ,?, bn },并且由点 A 向 A1 , A2 ,?, Ab 引出 b 条蓝色边,则

A1 , A2 ,?, Ab 之间无蓝色边, A1 , A2 ,?, Ab 以外的 n ? b 个点,每点至多引出 b 条蓝
色边,因此蓝色边总数 ? (n ? b)b ? ?
2 ? ( n ? b) ? b ? n ? . ? 2 4 ? ? 2

…………20 分

故 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2 ? 三、 (本题满分 50 分)

n2 n2 ? . 命题得证. 4 2

……………40 分

2 设正整数的无穷数列 ?an ? ( n?N )满足 a4 ? 4 , an ? an?1 an?1 ? 1 ( n ? 2 ) ,
*

求 ?an ? 的通项公式. 解:由已知得

an a ? n?1 . an?1 an an?1 ? 1 ,则 an ? an?1 , an
…………10 分

若有某个 n ,使

从而 an?1 ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ,这显然不可能,因为 {an } (n? N* ) 是正整数的 无穷数列. 故数列 {an } 中的项是严格递增的. 从而由 a4 ? 4 可知, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? 3 . 于是由 ?an ? 的递推公式及数学归纳法知 an ? n (n ? N* ) . …………20 分 …………30 分 …………40 分

显然数列 {n} (n? N* ) 满足要求,故所求的正整数无穷数列为 {n} (n ? 1) . …………50 分 四、 (本题满分 50 分) 设 p 是一个素数,p ? 3 (mod 4) . 设 x ,y 是整数, 满足 p | x ? xy ?
2

存在整数 u , v ,使得 x ? xy ?
2

p ?1 2 p ?1 2 y ? p(u 2 ? uv ? v ). 4 4
2 2

p ?1 2 y . 求证: 4

证明:由条件可知 p | (2x ? y) ? py ,则 p | (2 x ? y) .
2

因 p 是素数,故有 p | 2 x ? y . 设 2x ? y ? pk , 则 x ? xy ?
2

…………20 分

p ?1 2 1 y ? ( py 2 ? (2 x ? y ) 2 ) 4 4 1 ? ((2 x ? pk ) 2 p ? p 2 k 2 ) 4 p ? ((2 x ? pk ) 2 ? pk 2 ) …………30 分 4 p ? ((2 x ? pk ? k ? k ) 2 ? pk 2 ) 4 p k ( p ? 1) ? ((2u ? v) 2 ? pv 2 ) (这里 u ? x ? ,v ? k ) 4 2

p (4u 2 ? 4uv ? ( p ? 1)v 2 ) 4 p ?1 2 ? p(u 2 ? uv ? v ). 4 ?
命题得证. …………50 分


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