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高中数学竞赛讲义


高中数学竞赛讲义(六) ──三角函数

一、基础知识 定义 1 角, 一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。 若旋转方向为逆时针方向, 则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。角的大小是任意 的。 定义 2 角度制,把一周角 360 等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧 所对的圆心角叫做一弧度。360 度=2π 弧度。

若圆心角的弧长为 L,则其弧度数的绝对值|α

|=

,其中 r 是圆的半径。

定义 3 三角函数,在直角坐标平面内,把角α 的顶点放在原点,始边与 x 轴的正半轴 重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P,设它的坐标为(x,y),到原点的距离为

r,则正弦函数 sinα =

,余弦函数 cosα =

,正切函数 tanα =

,余切函数 cotα =

,正割

函数 secα =

,余割函数 cscα =

定理 1 同角三角函数的基本关系式,倒数关系:tanα =

,sinα =

,cosα

=

;商数关系:tanα =

;乘积关系:tanα ×cosα =sinα ,cotα ×

sinα =cosα ;平方关系:sin2α +cos2α =1, tan2α +1=sec2α , cot2α +1=csc2α . 定理 2 诱导公式(Ⅰ)sin(α +π)=-sinα , cos(π+α )=-cosα , tan(π+α )=tanα , cot(π+ α )=cotα ;(Ⅱ)sin(-α )=-sinα , cos(-α )=cosα , tan(-α )=-tanα , cot(-α )=cotα ; (Ⅲ)sin(π-

α )=sinα , cos(π-α )=-cosα , tan=(π-α )=-tanα , cot(π-α )=-cotα ; (Ⅳ)sin

=cosα ,

cos

=sinα , tan

=cotα (奇变偶不变,符号看象限)。

定理 3 正弦函数的性质,根据图象可得 y=sinx(x∈R)的性质如下。单调区间:在区



上为增函数,在区间

上为减函数,最小正周

期为 2

. 奇偶数. 有界性:当且仅当 x=2kx+

时,y 取最大值 1,当且仅当 x=3k

-

时, y

取最小值-1。对称性:直线 x=k

+

均为其对称轴,点(k

, 0)均为其对称中心,值域为

[-1,1]。这里 k∈Z. 定理 4 余弦函数的性质,根据图象可得 y=cosx(x∈R)的性质。单调区间:在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减,在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为 2π。奇偶性:偶函数。对

称性:直线 x=kπ 均为其对称轴,点

均为其对称中心。有界性:当且仅当 x=2kπ

时,y 取最大值 1;当且仅当 x=2kπ-π 时,y 取最小值-1。值域为[-1,1]。这里 k∈Z.

定理 5 正切函数的性质:由图象知奇函数 y=tanx(x

kπ+

)在开区间(kπ-

, kπ+

)上

为增函数, 最小正周期为 π,值域为(-∞,+∞),点(kπ,0),(kπ+ 称中心。 定理 6 两角和与差的基本关系式: cos(α β )=cosα cosβ

,0)均为其对 β )=sin

sinα sinβ ,sin(α

α cosβ

cosα sinβ ; tan(α

β )=

定理 7 和差化积与积化和差公式:

sinα +sinβ =2sin

cos

,sinα -sinβ =2sin

cos

,

cosα +cosβ =2cos

cos

, cosα -cosβ =-2sin

sin

,

sinα cosβ =

[sin(α +β )+sin(α -β )],cosα sinβ =

[sin(α +β )-sin(α -β )],

cosα cosβ =

[cos(α +β )+cos(α -β )],sinα sinβ =-

[cos(α +β )-cos(α -β )].

定理 8 倍角公式:sin2α =2sinα cosα , cos2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α ,

tan2α =

定理 9 半角公式:sin

=

,cos

=

,

tan

=

=

定理 10 万能公式:

,

,

定理 11 辅助角公式:如果 a, b 是实数且 a2+b2

0,则取始边在 x 轴正半轴,终边经过

点(a, b)的一个角为β ,则 sinβ = asinα +bcosα = sin(α +β ).

,cosβ =

,对任意的角α .

定理 12 正弦定理:在任意△ABC 中有

,其中 a, b, c 分别

是角 A,B,C 的对边,R 为△ABC 外接圆半径。 定理 13 余弦定理:在任意△ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA,其中 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边。 定理 14 图象之间的关系: y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象; 经左右平移得

y=sin(x+

)的图象 (相位变换) 纵坐标不变, ; 横坐标变为原来的

, 得到 y=sin

(

)

的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得到 y=Asinx 的图象(振幅变 换);y=Asin( x+ )( >0)的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍, x+ )( , >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移

得到 y=Asinx 的图象(振幅变换);y=Asin(

个单位得到 y=Asin

x 的图象。

定义 4 函数 y=sinx

的反函数叫反正弦函数, 记作 y=arcsinx(x∈[-1, 1]),

函数 y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数,记作 y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数

y=tanx

的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0,

π])的反函数称为反余切函数,记作 y=arccotx(x∈[-∞, +∞]). 定理 15 三角方程的解集,如果 a∈(-1,1),方程 sinx=a 的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n ∈Z}。方程 cosx=a 的解集是{x|x=2kx arccosa, k∈Z}. 如果 a∈R,方程 tanx=a 的解集是

{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式:arcsina+arccosa=

;arctana+arccota=

.

定理 16 若

,则 sinx<x<tanx.

二、方法与例题 1.结合图象解题。 例 1 求方程 sinx=lg|x|的解的个数。 【解】在同一坐标系内画出函数 y=sinx 与 y=lg|x|的图象(见图),由图象可知两者有 6 个交点,故方程有 6 个解。 2.三角函数性质的应用。 例 2 设 x∈(0, π), 试比较 cos(sinx)与 sin(cosx)的大小。

【解】 若

,则 cosx≤1 且 cosx>-1,所以 cos



所以 sin(cosx) ≤0,又 0<sinx≤1, 所以 cos(sinx)>0, 所以 cos(sinx)>sin(cosx).



,则因为 sinx+cosx=

(sinxcos

+sin

cosx)=

sin(x+

)≤

<



所以 0<sinx<

-cosx<



所以 cos(sinx)>cos(

-cosx)=sin(cosx).

综上,当 x∈(0,π)时,总有 cos(sinx)<sin(cosx).

例 3 已知α ,β 为锐角,且 x·(α +β -

)>0,求证:

【证明】 若α +β >

,则 x>0,由α >

-β >0 得 cosα <cos(

-β )=sinβ ,

所以 0<

<1,又 sinα >sin(

-β )=cosβ , 所以 0<

<1,

所以

若α +β <

,则 x<0,由 0<α <

-β <

得 cosα >cos(

-β )=sinβ >0,

所以

>1。又 0<sinα <sin(

-β )=cosβ ,所以

>1,

所以

,得证。

注: 以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式, 值得注意的是角的讨论。 3.最小正周期的确定。 例 4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先,T=2π 是函数的周期(事实上,因为 cos(-x)=cosx,所以 co|x|=cosx);其

次,当且仅当 x=kπ+

时,y=0(因为|2cosx|≤2<π), sin(2cosπ), 所以 T0=2π。

所以若最小正周期为 T0, T0=mπ, m∈N+, sin(2cos0)=sin2 则 又 4.三角最值问题。 例 5 已知函数 y=sinx+

,求函数的最大值与最小值。

【解法一】 令 sinx=

,

则有 y=

因为

,所以



所以

≤1,

所以当

,即 x=2kπ-

(k∈Z)时,ymin=0,



,即 x=2kπ+

(k∈Z)时,ymax=2.

【解法二】 因为 y=sinx+ =2(因为(a+b) ≤2(a +b )), 且|sinx|≤1≤ ,所以 0≤sinx+ ≤2,
2 2 2

,

所以当

=sinx,即 x=2kπ+

(k∈Z)时, ymax=2,



=-sinx,即 x=2kπ-

(k∈Z)时, ymin=0。

例 6 设 0< <π,求 sin

的最大值。

【解】因为 0< <π,所以

,所以 sin

>0, cos

>0.

所以 sin

(1+cos )=2sin

·cos2

=



=

当且仅当 2sin2

=cos2

, 即 tan

=

,

=2arctan

时,sin

(1+cos )取得最大



。 例 7 若 A,B,C 为△ABC 三个内角,试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。

【解】 因为 sinA+sinB=2sin

cos

, ①

sinC+sin

,



又因为 ③



由①,②,③得 sinA+sinB+sinC+sin

≤4sin

,

所以 sinA+sinB+sinC≤3sin

=

,

当 A=B=C=

时,(sinA+sinB+sinC)max=

.

注:三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、 柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5.换元法的使用。

例8 求

的值域。

【解】 设 t=sinx+cosx=

因为 所以 又因为 t2=1+2sinxcosx,

所以 sinxcosx=

,所以



所以

因为 t

-1,所以

,所以 y

-1.

所以函数值域为

例 9 已知 a0=1, an=

(n∈N+),求证:an>

.

【证明】 由题设 an>0,令 an=tanan, an∈

,则

an=

因为

,an∈

,所以 an=

,所以 an=

又因为 a0=tana1=1,所以 a0=

,所以

·



又因为当 0<x<

时,tanx>x,所以

注:换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。

另外当 x∈ 证明是很容易的。

时,有 tanx>x>sinx,这是个熟知的结论,暂时不证明,学完导数后,

6.图象变换:y=sinx(x∈R)与 y=Asin( 由 y=sinx 的图象向左平移

x+

)(A,

,

>0).

个单位,然后保持横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,

然后再保持纵坐标不变, 横坐标变为原来的

, 得到 y=Asin(

x+

)的图象; 也可以由 y=sinx

的图象先保持横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,再保持纵坐标不变,横坐标变为原来



,最后向左平移

个单位,得到 y=Asin( x+ )(

x+

)的图象。 ≤π)是 R 上的偶函数,其图象关于点

例 10 例 10 已知 f(x)=sin(

>0, 0≤

对称,且在区间

上是单调函数,求 +



的值。 x+ ), 所以 cos sinx=0,

【解】由 f(x)是偶函数, 所以 f(-x)=f(x), 所以 sin( 对任意 x∈R 成立。

)=sin(-

又 0≤

≤π,解得

=



因为 f(x)图象关于

对称,所以

=0。

取 x=0,得

=0,所以 sin

所以

(k∈Z),即

=

(2k+1) (k∈Z).



>0,取 k=0 时,此时 f(x)=sin(2x+

)在[0,

]上是减函数;

取 k=1 时,

=2,此时 f(x)=sin(2x+

)在[0,

]上是减函数;

取 k=2 时,



,此时 f(x)=sin(

x+

)在[0,

]上不是单调函数,

综上,

=

或 2。

7.三角公式的应用。

例 11 已知 sin(α-β)= sin2α,cos2β 的值。

,sin(α+β)=-

,且 α-β∈

,α+β∈

,求

【解】 因为 α-β∈

,所以 cos(α-β)=-

又因为 α+β∈

,所以 cos(α+β)=

所以 sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)= cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.

,

例 12 已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且

,试



的值。

【解】 因为 A=1200-C,所以 cos

=cos(600-C),

又由于

=



所以

=0。

解得







>0,所以



例 13 求证:tan20 +4cos70 .

【解】 tan20 +4cos70 =

+4sin20

三、基础训练题 1.已知锐角 x 的终边上一点 A 的坐标为(2sin3, -2cos3),则 x 的弧度数为___________。

2.适合

-2cscx 的角的集合为___________。

3.给出下列命题:(1)若 α β,则 sinα sinβ;(2)若 sinα sinβ,则 α β;(3) 若 sinα>0,则 α 为第一或第二象限角;(4)若 α 为第一或第二象限角,则 sinα>0. 上述四 个命题中,正确的命题有__________个。

4.已知 sinx+cosx=

(x∈(0, π)),则 cotx=___________。

5.简谐振动 x1=Asin x=___________。 6.已知 3sinx-4cosx=5sin(x+
4 分别是第________象限角。

和 x2=Bsin

叠加后得到的合振动是

1)=5sin(x-

2)=5cos(x+

3)=5cos(x-

4),则

1,

2,

3,

7.满足 sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角 x 共有________个。

8.已知

,则

=___________。

9.

=___________。

10.cot15 cos25 cot35 cot85 =___________。

11.已知 α,β∈(0, π), tan

, sin(α+β)=

,求 cosβ 的值。

12.已知函数 f(x)=

在区间

上单调递减,试求实数 m 的取值范围。

四、高考水平训练题 1.已知一扇形中心角是 a,所在圆半径为 R,若其周长为定值 c(c>0),当扇形面积最大 时,a=__________. 2. 函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________.

3. 函数

的值域为__________.

4. 方程

=0 的实根个数为__________.

5. 若 sina+cosa=tana, a

,则

__________a(填大小关系).

6. (1+tan1 )(1+tan2 )…(1+tan44 )(1+tan45 )=__________.

7. 若 0<y≤x<

且 tanx=3tany,则 x-y 的最大值为__________.

8.

=__________.

9.

·cos

·cos

·cos

·cos

=__________.

10. cos271 +cos71 cos49 +cos249 =__________. 11. 解方程:sinx+2sin2x=3+sin3x. 12. 求满足 sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角 x.

13. 已知 f(x)= (kA 0, k∈Z, 且 A∈R), (1)试求 f(x)的最大值和最小值; (2)若 A>0, k=-1,求 f(x)的单调区间;(3)试求最小正整数 k,使得当 x 在任意两个整数 (包括整数本身)间变化时,函数 f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。 五、联赛一试水平训练题(一) 1.若 x, y∈R,则 z=cosx2+cosy2-cosxy 的取值范围是____________.

2.已知圆 x2+y2=k2 至少盖住函数 f(x)= 实数 k 的取值范围是____________.

的一个最大值点与一个最小值点,则

3.f( )=5+8cos +4cos2 +cos3 的最小值为____________. 4.方程 sinx+ cosx+a=0 在(0,2π)内有相异两实根 α,β,则 α+β=____________.

5.函数 f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________.

6.设 sina>0>cosa, 且 sin

>cos

,则

的取值范围是____________.

7.方程 tan5x+tan3x=0 在[0,π]中有__________个解. 8.若 x, y∈R, 则 M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________.

9.若 0< <

, m∈N+, 比较大小:(2m+1)sinm (1-sin )__________1-sin2m+1 .

10.cot70 +4cos70 =____________.

11. 在方程组

中消去 x, y,求出关于 a, b, c 的关系式。

12.已知 α,β,γ

,且 cos2α+cos2β+cos2γ=1,求 tanαtanβtanγ 的最小值。

13.关于 x, y 的方程组 等,求 sinα+sinβ+sinγ 的值。

有唯一一组解,且 sinα, sinβ, sinγ 互不相

14.求满足等式 sinxy=sinx+siny 的所有实数对(x, y), x, y

.

联赛一试水平训练题(二) 1.在平面直角坐标系中,函数 f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的 图象与函数 g(x)= 的图象所围成的封闭图形的面积是__________.

2.若 __________.

,则 y=tan

-tan

+cos

的最大值是

3. 在△ABC 中, BC=a, CA=b, AB=c, 若 9a2+9b2-19c2=0, 记 则

=__________.

4.设 f(x)=x2-πx, α=arcsin

, β=arctan

, γ=arccos

, δ=arccot

, 将 f(α), f(β),

f(γ), f(δ)从小到大排列为__________. 5.logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。将 a, b, c, d 从小到大排列为 __________. 6.在锐角△ABC 中,cosA=cosαsinβ, cosB=cosβsinγ, cosC=cosγsinα,则 tanα·tanβ·tanγ=__________.

7.已知矩形的两边长分别为 tan f(x)=sin ·x2+

和 1+cos (0< <π),且对任何 x∈R,

·x+cos ≥0,则此矩形面积的取值范围是__________.

8.在锐角△ABC 中,sinA+sinB+sinC 的取值范围是__________. 9.已知当 x∈[0, 1],不等式 x2cos -x(1-x)+(1-x)2sin >0 恒成立,则 的取值范围是 __________. 10.已知 sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,则 cos2x+ cos2y+ cos2z=__________.

11. 已知 a1, a2, …,an 是 n 个实常数, 考虑关于 x 的函数: f(x)=cos(a1+x)+

cos(a2+x) +…

+

cos(an+x)。求证:若实数 x1, x2 满足 f(x1)=f(x2)=0,则存在整数 m,使得 x2-x1=mπ.

12.在△ABC 中,已知

,求证:此三角形中有一个内角为



13.求证:对任意自然数 n, 均有|sin1|+|sin2|+…+|sin(3n-1)|+|sin3n|>

.

六、联赛二试水平训练题 1.已知 x>0, y>0, 且 x+y<π,求证:w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0①(w∈R).

2. 已知 a 为锐角,n≥2, n∈N+,求证:

≥2n-2

+1.

3. 设 x1, x2,…, xn,…, y1, y2,…, yn,…满足 x1=y1= 求证:2<xnyn<3(n≥2).

, xn+1=xn+

, yn+1=



4.已知 α,β,γ 为锐角,且 cos2α+cos2β+cos2γ=1,求证;

π<α+β+γ<π.

5.求实数 a 的取值范围,使得对任意实数 x 和任意

,恒有(x+3+2sin

cos )2+(x+asin +asin )2≥

6. 设 n, m 都是正整数,并且 n>m,求证:对一切 x

都有 2|sinnx-cosnx|≤

3|sinnx-cosnx|. 7.在△ABC 中,求 sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC 的最大值。 8.求的有的实数 a, 使 cosa, cos2a, cos4a, …, cos2na, …中的每一项均为负数。

9.已知
1,

i

,tan
n 都有

1tan

2…tan

n=2

, n∈N+, 若对任意一组满足上述条件的
n≤λ,求

2,…,

cos

1+cos

2+…+cos

λ 的最小值。


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