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2003年中国国家集训队测试



在 2003 年中国国家集训队测试
第 1 次 2003.3.12 8:00~11:30 1. 设正实数x, y, z满足 + + = .求 7 ? 1 + 7 ? 1 + 7 ( ? )的最小值. 2. 设△ ABC 的三边 a 、 b 、 c 上对应的中线为 , , ,内角平分线为 , , ,且 ∩ = P, ∩ = Q, ∩ = R.记△ PQR的面积为δ ,△ABC 的面积为 F。求 使不等式 < λ 成立的最小正常数λ 。 3. 在一个圆内接正 2n 边形(n≥2)的每一个顶点上各有一只青蛙。某个时刻,它们都从 原来的位置同时跳到与之相邻的某个顶点上(这时允许一个顶点有多只青蛙) ,则称之 为一种跳法。试求 n 的所有可能值,使得对该 2n 边形,若存在一种跳法,跳完后有青 蛙的任何两个不同的顶点的连线都不通过圆心。 第 2 次 2003.3.14 8:00~11:30


4. 长分别为 a、b、c、d 的凸四边形 ABCD 外切于⊙O,求证:OA ? OC + OB ? OD = abcd。 5. 正整数 x、y 满足 x<y,令 =
3 ? 1+

,求 P 能取到的所有整数值。

6. 复系数多项式 = + 1 ?1 + ? + ?1 + 的 n 个根为1 ,2 ,…, ,且



=1

2

≤1

,求证



=1

2

≤n

第 3 次 2003.3.16 8:00~11:30
7. n 、 m 为 正 整 数 , A = 1,2, … ,n , B = 1 ,2 , … , │ ∈ ,i = 1,2, … ,m 满足: 1、 ? +1 ≠ n ? 1,i = 1,2, … ,m ? 1 3 m 2、a1 , a2 , ? , am m ≥ 3 中至少有三个不同。求Bn 和B6 的元素的个数。 8. 是否存在正实数 1 , 2 , … , 2002 ,使得对任意正整数 k , 1 ≤ k ≤ 2002 ,多项式 +2001 2001 + +2000 2000 + ? + +1 + 的每个复根 z 都满足 z ≤ z ?约定: 2002+i = ,i = 1,2, ? ,2001.

9. 设0 + 20030 为方程式 2 ? 2003 2 = 1…⑴的基本解, 求方程⑴的解 , , 使得 x, y>0,且 x 的所有素因子整除0 . 第 4 次 2003.3.18 8:00~11:30 10. △ABC 中,AB>BC>CA,AB=6,∠C-∠B=90°,圆 O 为内切圆,E 是 BC 边上的切点。 EF 是圆 O 的直径,射线 AF 交 BC 边于点 D。若 DE 等于△ABC 外接圆的半径,求边 BC, AC 的长。 11. 求所有函数, : → ,使得 + = + , ?, ∈ .

12. 设 A= 1 ,2 , … , , B= 1 ,2 , … , 为两个正整数集合,且 ∩ = 1 , 2 C= 的所有二元子集 ∪ 的所有二元子集 ,函数: A ∪ B → 0,1,2, … ,2 的一 个单射。 对任意 ,y ∈ C, 称数 ? 为 ,y 的一个标号。 证明: 当 n≥6 时, C 中至少有两个元素的标号相同。 第 5 次 2003.3.21 8:00~11:30 13. 设 S 为边长为 1 的正六边形内及边上的点组成的集合。求最小的 r,使得存在一种将 S 中的点三染色的方法,染色后任意两同色点之间的距离小于 r。 14. 在等腰直角△ABC 中,∠A=90°,AB=1,D 为 BC 的中点,E、F 为 BC 边上另外两点。M 为△ADE 的外接圆和△ABF 的外接圆的另一个交点; N 为直线 AF 与△ACE 的外接圆的另 一个交点;P 为直线 AD 与△AMN 的外接圆的另一个交点(图 4) 。求 AP 的长度。

A N

B

F

M

D E

C

P

2 15. 设数列 满足:1 = 3,2 = 7, + 5 = ?1 +1 ,n≥2.证明:若 + ?1 为素 数,则必存在某个非负整数 m,使得 = 3 。

第 6 次 2003.3.23 8:00~11:30 16. 设 = 1 + 2 2 + ? + ,其中1 , 2 , ? , , 均为实数。若对一 切实数,恒有 ≥ ?1,求证:1 + 2 + ? + ≤ n. 17. 正整数 n 不能被 2、 3 整除, 且不存在非负整数 a、 b, 使得 2 ? 3 = n.求 n 的最小值。 18. 1 设 D 为△ABC 内任一点,求证:
min ,BD ,CD

≥{

2 sin ,当∠A <90° 时 2,当∠A≥90° 时



(2)设 E 为凸四边形 ABCD 内任一点,A、B、C、D、E 五点中任意两点间的最大距离与最 小距离之比记为k,求证:k ≥ 2 sin 70° .并说明等号能否成立。 第 7 次 2003.3.25 8:00~11:30 19. 在平面上有n ≥ 3 个半径为 1 的圆,且任意三个圆中至少有两圆有交点,证明:这些圆 覆盖平面的面积小于 35. 20. 对给定的整数 1 ≠ ?1 ,求一个实数列 ≠ 0, = 1,2, … ,5 ,使得:若 1 , 2 , … , 5 , 1 , 2 , … , 5

b11 χ1 +b12 χ2 +…+b15 χ5 =χ1 满足 … … … … … … … … … … … … . . b51 χ1 +b52 χ2 +…+b55 χ5 =χ5 11 1 + 12 2 + ? + 15 5 = 21 且 ………………………………………. 51 1 + 52 2 + ? + 55 5 = 25 则1 1 + 2 2 + ? + 5 5 = 0,其中 j =
1≤k ≤i

1 + j

21. 设 S 为平面上给定的有限整点集,A 为 S 的满足任两点的连线都不平行于坐标轴的元素 个数最多的子集。B 为整数集的满足对任意 ,y ∈ ,总有x ∈ B或y ∈ B的元素个数最 少的子集,证明: ≥ . 第 8 次 2003.3.27 8:00~11:30 22. 设△ABC 内接圆于 O,过 A 作切线 PD,D 在射线 BC 上,P 在射线 DA 上。过 P 作圆 O 的割线 PU,U 在 BD 上,PU 交圆 O 于 Q、T 且交 AB、AC 于 R、S。证明:若 QR=ST,则 PQ=UT。 23. 设 S 是一个有限集合,f 是定义在 S 的子集族2 上的函数。称 f 是单调递减的,如果 X ? Y ? S, 推出 ≥ 。 证明: f 满足 ∪ + ∩ ≤ + Y ,X,Y ? S 的充要条件是对任意的 ∈ S, X = X ∪ ? X 是S\ 的子集族2\ 上的单调 递减函数. 24. 设1 ,2 , … , 是不全相等的个正数( ≥ 2),且满足


?2 = 1
=1

求证:


a 2 ? 2
=1 1≤< ≤



?




2

> 2 。

2003 年中国国家队选拔考试 第一天 3 月 31 日 8:00~12:30 1. 在锐角△ABC 中,AD 是 ∠A的内角平分线,点 D 在边 BC 上,过点 D 分别作 DE⊥AC,DF ⊥AB,垂足分别为 E、F,连结 BE、CF,它们相交于点 H,△AFH 的外接圆交 BE 于点 G, 求证:以线段 BG、GE 和 BF 组成的三角形是直角三角形。 2. 设A ? 0,1,2, … ,29 满足: 对任何整数及 A 中任意数、(、可以相同), + + 30均 不是两个相邻整数之积。试定出所有元素个数最多的 A. 3. 设A ? 1 , 2 , … , | ∈ , = 1,2, … , ,A 是有限集,对任意的 = 1, 2 , … , ∈

, = (1 , 2 , … , ) ∈ ,定义: , = 1 ? 1 , 2 ? 2 , … , ? , = , | ∈ , ∈ 。试证: () ≥ 。 第二天 4 月 1 日 8:00~12:30 4.求所有正整数集上到实数集的函数,使得: (1)对任意 ≥ 1, ( + 1) ≥ (); (2) 对任意,, , = 1,有() = 。 5. 设A = 1,2, … ,2002 , = 1001,2003,3005 对 A 的任一非空子集 B,当 B 中任意两数之 和不属于 M 时,称 B 为 M 一自由集。如果A = 1 ∪ 2 ,1 ∩ 2 = ?,且1 、2 均为 M 一 自由集,那么称有序对 1 , 2 为 A 的一个 M 一划分。试求 A 的所有 M 一划分的个数。 (李 胜宏供题) 6.设实数列 满足:0 = 0,2 =
1
3

21 ,3 是正整数,且 +1 =

1
3

4

+ 4?1 +

3

(n 2 ?2

≥ 2)。问:这类数列中最少有多少个整数项?(黄玉民供题)

2003 年中国国家队培训 第一套 1. 设 AB 是一个圆 W 的直径,?为过点 A 的 W 的切线,C、M、D 为直线?上依次排列的三 个点,且 CM=MD.直线 BC、BD 分别交 W 于点 P、Q.求证:在直线 BM 上存在一点 R, 使得 RP 和 RQ 均与 W 相切。 2. 对由 n 个 A,n 个 B 和 n 个 C 排成的行,在其下面重新定义一行(比上面一行少一个字 母) ,若其头上的两个字母不同,则在该位置写上第 3 个字母,若相同,则写上该字母。 对新得到的行重复上面的操作, 直到变为一个字母为止。 下表给出了n = 2的一个例子。 A C B C B A B A AA C C A A B B A C C B A 求所有的正整数 n,使得对任意的初始排列,经上述操作后,所得的大三角形的三个顶 点上的字母要么全相同,要么两两不同。 3. 设为质数,任给 + 1个不同的正整数。求证:从中可以找出两个数,使得其中较大的 数除以它们的最大公因数所得的商不小于 + 1。 第二套 4. 以三角形 ABC 的三边向形外分别作正方形 ABHI、BCDE 和 CAFG。设 XYZ 是线段 EF、DI 和 GH 围出的三角形。求证:? ≤ 4 ? 2 3 ? 。 5. (1)求所有的正整数对(,),使得、不相等,2 + a是一个质数的幂,且满足 2 + |2 + . (2)设、b是大于 1 的两个不同的正整数,且2 + ? 1|2 + ? 1. 求证:数2 + ? 1至少有两个不同的质因子。 6. 设 n 为给定的正整数(n≥5) ,求正整数 m 的最小值,使得任意一个有 m 条边的 n 阶简 单图 G 中存在两个恰有一个公共顶点的三角形, 第三套

7. 锐角三角形 ABC 中,AB≠AC,H、G 分别为该三角形的垂心和重心。已知
2 ?

1
?

+

1
?

=

求证:∠AGH=90°。

8. 非负实数,,满足 + + = 1. 求+ + + + +的最小值。 9. 设1 ,2 , … , 为平面上的 n 个向量,它们中每个向量的模长都不超过 1,且它们的 和为 0。证明:可以将1 ,2 , … , 重排为1 ,2 , … , ,使得向量1 ,1 + 2 , … ,1 + 2 + ? + 的模长都不超过 5。 第四套 10. 设1 2 3 4 是一个既有外接圆,又有内切圆的凸四边形,且其内切圆分别与边1 2 、 2 3 、 3 4 和4 1 切于点1 、 2 、 3 、 4 .求证: 1 2
1 2

1

1

1



2

+

2 3 2 2 3

+

3 4 2 3 4

+

4 1 2 4 1

≥8

11. 非负实数、、满足 2 + y 2 + 2 = 1.求证: 1 ≤ 1+ + 1+ + 1+ ≤ 2. 12. 求所有的正整数 > 1, 使得它的任何一个大于 1 的正约数具有 + 1的形式, 这里为 正整数,r 为大于 1 的正整数。 第五套 13. 设 ABCD 为一个圆内接四边形,且 AD 与 BC 不平行,E、F 为 CD 上的点,G、H 分别为 三角形 BCE 和 ADF 的外心。求证:AB、CD、GH 三线共点或两两平行的充要条件是 A、 B、E、F 四点共圆。 14. 设 S 是由 2个人组成的集合。求证:其中必定有两个人,他们的公共朋友的个数为偶 数。 15. 设为正整数。求证:任何一个以 + 1 ? 为实部的复数不是一个单位根。 第六套 16. 设在三角形 ABC 内存在一点 F,使得∠AFB=∠BFC=∠CFA。直线 BF 和 CF 分别交 AC、AB 于点 D 和 E。求证:AB+AC≥4DE。 17. 考虑直角坐标平面上由 100 个点组成的集合 M。求证:至多有 2025 个长方形,其顶点 都属于 M,且该长方形的边与坐标轴平行。 18. 对怎样的正整数,存在一个以-1,0,1 为元素的 × 的方阵,使得它的各行元素之 和与各列元素之和这 2个和数两两不同?证明你的结论。 第七套 19. 圆S1 和S2 交于点 P 和 Q,在S1 上取两个不同的点A1 和B1 (不同于 P,Q),直线A1 P 和B1 P 分别交S2 于另外一点A2 , B2 .直线A1 B1 和A2 B2 交于点 C。求证:当A1 和B1 变化时,三角形 A1 A2 C的外心在一个固定的圆上变化。 20. 设1 ,2 , … ,20 是 20 个两两不同的正整数,且集合 + 1 ≤ ≤ ≤ 20 中有 201 个不同的元素。求集合 ? 1 ≤ < ≤ 20 中不同元素个数的最小可能值。


21. 设1 ,2 , … , 为个正实数,且方程组x?1 ? 2 + +1 + = 0, = 1,2, ? , 。有一组不全为零的实数解x1 ,2 , … , 。这里0 = +1 = 0. 求证: 1 +2 + ? + ≥
4 +1



第八套 22. 锐角三角形 ABC 的内切圆Ω切 BC 于点 K,AD 为三角形 ABC 的高,M 为 AD 的中点,直 线 KM 交Ω于另一点 N。求证:三角形 BCN 的外接圆与Ω切于点 N。 23. 给定正整数 > 2,由 k 角形数形成的数列为1, , 3 ? 3,6 ? 8, ? ;是一个二阶等差数列, 基二阶公差为 k-2。 Fermat 数形成的数列为3 = 22 + 1, 5 = 22 + 1, 17 = 22 + 1, …。 求所有的正整数 K, 使得上述两个数列有公共项。 24. 在一条马路旁有个停车位,位司机各驾驶一辆汽车,每位司机将自己的汽车开到他 最喜欢的车位前停车,如果该车位已经停有汽车,则在该车位沿路下去最近的一个空位 上停车,如果该车位及其下面的车位上都停了汽车,则他将汽车开走,不再停车。问: 有多少个数组(1 ,2 , … , ),可以使得每个停车位都不空?这里 是第个司机喜 欢的车位,且1 ,2 , … , 不必两两不同。 第九套 25. AB 为等腰三角形 ABC 的底边, CD 是其一条高。 P 为 CD 上一点, E 为 AP 与 BC 的交点, F 是 BP 与 AC 的交点。若三角形 ABP 与四边形 PECF 的内切圆半径相等。求证:三角形 ADP 与 BCP 的内切圆半径相等。 26. 求所有的函数: → ,使得对任意实数, ,均有. + = 2 + ( ? ) 27. 如果一个正整数的所有正约数之和为其两倍,则称该数为一个完全数。求所有的正整数 ,使得 ? 1和
(+1) 2
0 1 2

都是完全数。

第 10 套 28. 圆S1 和S2 交于点 A 和 B,过 A 的一直线分别交S1 、S2 于点 C,D。M,N,K 分别为 CD, BC 和 BD 上的点,使得 MN∥BD,MK∥BC。E、F 分别为S1 中弧 BC 和S2 中弧 BD(都不 含点 A)上的点,E 到 BC 的射影为 N,F 到 BD 的射影为 K。求证:∠EMF=90°. 29. 证明:当正整数充分大时,数, + 1, + 2, … , + 9中至少有一个数,其不同 质因子的个数不小于 3. 30. 已知复系数多项式


=
=0

∈ ? .

求证:存在一个复数,满足 ≤ 1,且

≥ 0 +

1

.


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