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高三数学第一轮复习测试及详细解答(6)——期中考试


高三数学第一轮复习单元测试— 高三数学第一轮复习单元测试—期中试卷
一,选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.函数 y = sin 4 x + cos 2 x , x ∈ [0, A.

π
6

] 的最小值为
C.

( D.1

)

3 4
2

B.

13 16

7 8

2.已知集合 M = {x | x = 1} ,集合 N = {x | a | x |= 1} ,若 N M ,那么由 a 的值所组成的 集合的子集个数 A.1 ( B.2 C.3 D.4 ( ) )

3.设 m>0,则直线 2 (x+y)+1+m=0 与圆 x2+y2=m 的位置关系为 A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切

1 3 2 4.若函数 f ( x ) = x f '( 1) x + x + 5 ,则 f '(1) 的值为 3 B. 2 C. 6 A. 2

( D. 6

)

5.在 Rt ABC 中, AB = AC = 1 ,如果一个椭圆通过 A , B 两点,它的一个焦点为 C ,另 一个焦点 F 在 AB 上,则这个椭圆的离心率为 A. 6 3 B. 2 1 C. ( )

6 3 2

D. 3

6 2

6.设奇函数 f ( x ) 在 [ 1,1] 上是增函数,且 f (1) = 1 ,若函数 f ( x ) ≤ t 2 2at + 1 对所有 的 x ∈ [ 1,1] 都成立,当 a ∈ [ 1,1] 时,则 t 的取值范围是 A. 2 ≤ t ≤ 2 C. t ≥ 2 或 t ≤ 2 或 t = 0 ( )

1 1 ≤t ≤ 2 2 1 1 D. t ≥ 或 t ≤ 或 t = 0 2 2
B.

7.已知 A(0,7) ,B(0,-7) ,C(12,2) ,以 C 为一个焦点作过 A,B 的椭圆,椭圆的 另一个焦点 F 的轨迹方程是 ( ) A.y2-

x2 =1(y≤-1) 48 x2 C.y2- =-1 48

B.y2-

x2 =1 48 y2 D.x2- =1 48

-1-

8.设 x , y ∈ R ,且 x + y + 2 x < 0 ,则
2 2

( B. x + y + 6 x + 8 > 0
2 2

)

A. x + y + 6 x + 8 < 0
2 2

C. x + y + 4 x + 3 < 0
2 2

D. x + y + 4 x + 3 > 0
2 2

9.已知向量 OB = (2,0),向量 OC =(2,2),向量 CA =( 2 cos α , 2 sin α ),则向量 OA 与 向量 OB 的夹角的取值范围是 A.[0, ( C.[ )

π ] 4

B.[

π 5 , π] 4 12

5 π π, ] 12 2

D.[

π 5 , π] 12 12

10. 已知函数 f ( x) = 2 sin(ω x + φ )(ω > 0) 的图象与直线 y = 1 的交点中距离最近的两点间的 距离为 A.6

π
3

,那么 ω 等于 B.2 C.1 D.

(

)

1 2

11.已知数列 1 , a1 , a2 , 4 成等差数列, 1 ,b1 ,b2 ,b3 , 4 成等比数列,则 的值是 A.

a2 a1 b2
)

( B.

1 2

1 2

C.

1 1 或 2 2

D.

1 4
)

12.已知 x1 是方程 x lg x = 2006 的根, x2 是方程 x10x=2006 的根,则 x1x2 等于 ( A.2003 B.2004 C.2005 D.2006 二,填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在相应的横线上)

6 x + 5 y ≤ 60 5 x + 3 y ≤ 40 13.设 x,y 满足约束条件 ,则 z=4x+3y 的最大值为_________. x ≥ 0, y ≥ 0 x, y ∈ N
14. (2 x +

x )4 的展开式中 x3 的系数是________.

15.已知函数 f ( x ) =

x 1(1 ≤ x < 0) ,则 f ( x ) f ( x ) > 1 的解集为________. x + 1(0 < x ≤ 1)

16.与圆 x2+y2-4x=0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是____________. 三,解答题(本大题共 6 小题,满分 74 分)
-2-

17. (本小题满分 12 分)已知 ABC 中, a , b , c 是三个内角 A , B , C 的对边,关于 x 的不等式 x cos C + 4 x sin C + 6 < 0 的解集是空集.
2

(1)求角 C 的最大值; (2)若 c =

7 3 , ABC 的面积 S = 3 ,求当角 C 取最大值时 a + b 的值. 2 2

18. (本小题满分 12 分) (理)设函数 f ( x ) 与数列{ an }满足关系:① a1 > α ,其中 α 是方 程 f ( x ) = x 的实数根;② an +1 = f ( an )( n ∈ N ) .如果 f ( x ) 的导数满足 0 < f '( x ) < 1 . (1)证明 an > α ; (2)试判断 an 与 an +1 的大小,并证明你的结论.
-3

(文)在数列 {an } 中, a1 = 1 ,当 n ≥ 2 时,其前 n 项和 Sn 满足 S n = an ( S n ) .
2

1 2

(1)求 an ; (2)设,求数列 {bn } 的前项和 Tn .

19. (本小题满分 12 分) 已知 f(x)=loga 1 + x (a>0,a≠1). x 1 (1)判断 f(x)在(1,+∞)上的单调性,并加以证明; (2)当 x∈(r,a-2)时,f(x)的值域为(1,+∞) ,求 a 与 r 的值; (3)若 f(x)≥loga2x,求 x 的取值范围.

-4-

20. (本小题满分 12 分) 设 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意 a,b∈[-1,1] ,当 a+b≠0

f (a ) + f (b) >0. a+b (1)若 a>b,比较 f(a)与 f(b)的大小; 1 1 (2)解不等式 f(x- )<f(x- ) ; 2 4 (3)记 P={x|y=f(x-c)},Q={x|y=f(x-c2)},且 P∩Q= ,求 c 的取值范围.
时,都有

-5-

21. (本小题满分 12 分) (理)点 A 是椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 短轴位于 x 轴下方的顶点, a2 b2

过 A 作斜率为 1 的直线交椭圆于 P 点, B 点在 y 轴上且 BP ‖ x 轴,且 AB AP =9. (1)若 B (0,1) ,求椭圆的方程; (2)若 B (0, t ) ,求 t 的取值范围. (文)已知函数 f(x)=x(x-a)(x-b)(0<a<b) . (1)设曲线 y=f(x)在点 O(0,0)处的切线为 m,在点 B(b,0)处的切线为 n,试求 m‖n 的充 要条件; (2)若 f(x)在 x=s 及 x=t 处取得极值,其中 s<t.求证:0<s<a<t<b.
-6-

22. (本小题满分 14 分) (理)已知 x 轴上有一列点 P , P2 , P3 , , Pn , ,当 n ≥ 2 时, Pn 是把 Pn 1 Pn +1 1 段作 n 等分的分点中最靠近 Pn +1 的点,设线段 P P2 , P2 P , , Pn Pn +1 ,的长度分别为 1 3

a1 , a2 , a3 , , an ,其中 a1 = 1 .
(1)写出 a2 , a3 和 an 的表达式; (2)证明 a1 + a2 + a3 + + an < 3 ; (3)设点 M n ( n, an ) ,在这些点中是否存在两个点同时在函数

-7-

y=

k (k > 0) 的图象上,如果存在,请求出点的坐标;如果不存在, ( x 1)2

请说明理由.

x2 y2 (文)点 A 是椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 短轴位于 x 轴下方的顶点,过 A 作斜 a b
率 为 1 的 直 线 交 椭 圆 于 P 点 , B 点 在 y 轴 上 且 BP ‖ x 轴 , 且

AB AP = 9 .
(1)若 B (0,1) ,求椭圆的方程; (2)若 B (0, t ) ,求 t 的取值范围.

参考答案
1.答案 C: y = sin 4 x + cos 2 x = (

1 cos 2 x 2 1 + cos 2 x ) + = 2 2

1 2 cos 2 x + cos 2 2 x 1 + cos 2 x 3 1 3 1 1 + cos 4 x 2 + = + cos 2 x = + 4 2 4 4 4 4 2
=

7 1 π π π 7 + cos 4 x ,∵ x ∈ [0, ] ,∴当 x = ,即 4 x = 时,函数有最小值 . 8 8 6 8 2 8

评析 三角变换中,三角函数的次数往往不一致,这时可从三角函数的次数入手,总体 原则是化高为低.本题所给函数中含有四次方与平方,故应降次,利用降幂公式即可解
-8-

决问题.还应注意角的范围 x ∈ [0,

π
6

] 及三角函数的有界性.

2.答案 D:由已知 N M ,有 N = 和 N ≠ 两种情况:若 N = ,那么方程 a | x |= 1 无解,此时 a = 0 ;若 N ≠ ,则有 | x |= 组成的集合为 {0,1} ,有 2 个元素.
2 故子集个数为 2 = 4 个.

1 1 > 0 ,故 = 1 ,即 a = 1 .所以由 a 的值所 a a

评析 解答集合问题,要正确理解所给各个集合及符号的含义.本题求解的关键是正确 理解 N M ,其中 N 可以是空集. 3. 答案 C: 解析: 圆心到直线的距离为 d= -2 m +1)= 4.答案

1+ m 1+ m 1 , 圆半径为 m .∵d-r= - m = (m 2 2 2

1 ( m -1)2≥0,∴直线与圆的位置关系是相切或相离.答案:C 2

C : 由 f ( x) =

1 3 x f '( 1) x 2 + x + 5 , ∴ f '( x ) = x 2 2 f '( 1) x + 1 , ∴ 3

f '( 1) = ( 1) 2 2 f '( 1)( 1) + 1 , 解 得 f '( 1) = 2 , ∴ f '( x) = x 2 + 4 x + 1 , ∴
f '(1) = 6 .
评析 本题主要考查多项式函数导数的求法及函数在某点处的导数值, 5.答案 A:设椭圆的长半轴为 a ,短半轴为 b , AF = m ,∵ AB = AC = 1 , ∠A = 90° , ∴ BC =

2 ,则 4a = 2 + 2 ,即 2a = 1 +

2 2 2 , 1 + m = 2a = 1 + ,∴ m = , 2 2 2

2 2 6 2c 由1 + ( ,∴ e = ) = (2c ) 2 ,得 2c = = 2 2 2a

6 2 2 1+ 2

= 6 3

再求 2c 的值, FC 的 即 先利用定义求出 2a 的值, 评析 本题主要考查椭圆定义的应用, 长,需在 Rt AFC 中求解,因此设法求 AF 的长,利用第一定义,水到渠成,求出 AF 以后,利用勾股定理即可求出 2c 的长,从而获解. 6.答案 C : 由 题 意 f (1) = 1 , f ( x ) ≤ t 2 2at + 1 在 [ 1,1] 上 恒 成 立 , 即

f ( x) max = f (1) = 1 ≤ t 2 2at + 1 恒 成 立 , 即 t 2 2at ≥ 0 , 即 2at + t 2 ≥ 0 , 又
-9-

2 t ≥ 0或t ≤ 2 2t + t ≥ 0 a ∈ [1,1] ,∴ ,得 ,∴ t ≥ 2 或 t ≤ 2 或 t = 0 . 2 2t + t ≥ 0 t ≥ 2或t ≤ 0

评析 解决恒成立问题的主要手段是分离利用函数的思想,转化为函数的最值问题.如 本题先转化为 f ( x ) max ≤ t 2at + 1 ,又转化为一次函数 f ( a ) = 2at + t ≥ 0 在 [ 1,1]
2

2

上恒成立问题,利用一次函数图象的特殊性,只须两个端点值成立即可. 7.答案 A:解析:由题意|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,又|AF|+|AC| =|BF|+|BC|,∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2.故 F 点的轨迹是以 A, B 为焦点,实轴长为 2 的双曲线下支.又 c=7,a=1,b2=48,所以轨迹方程为 y2- 1(y≤-1).答案:A 8.答案 B
2 2 2 2 由已知得 ( x + 1) + y < 1 ,满足题设的点 P ( x, y ) 必在圆 ( x + 1) + y = 1 的内

x2 = 48

部.点 P ( x, y ) 必在圆 ( x + 1) 2 + y 2 = 3 的外部.故选 B . 评析 本题初看是一个不等式问题,若利用不等式的 有关概念和性质处理,则不易求解.应利用线性规划的思想 把 x 2 + y 2 + 2 x < 0 视为平面内满足条件的点,利用点在圆的 内,外部解决. 9.答案 D:由题意,得: OA = OC + CA =(2+ 2 cos α ,2+ 2 sin α )所以点 A 的轨迹是 圆 ( x 2) 2 + ( y 2) 2 = 2 , 如图, A 位于使向量 OA 与圆相切时, 当 向量 OA 与向量 OB 的夹角分别达到最大,最小值,故选 D. 评析 本题直接用向量夹角公式求解,运算量大.先确定点 A 的轨迹是圆,利用向量与 圆相切的极限位置定出夹角的范围,无须计算,解法优美.确定直线与圆锥曲线相交的 参数范围,这个方法非常有效. 10.答案 B:设函数图象与直线 y = 1 的两个交点的坐标分别为 x1 , x2 ,且 x1 < x2 ,则

x2 x1 =

π
3

,由题意 2 sin(ω x1 + φ ) = 1 , 2sin(ω x2 + φ ) = 1 ,即 sin(ω x1 + φ ) =

sin(ω x2 + φ ) =

ω ( x2 x1 ) =

2π ,得 ω = 2 . 3

1 π , 则 ω x1 + φ = 2 6



ω x2 + φ =

5π 6

1 , 2

②,② ①得

评析 本题实质是考查三角函数的周期问题,把交点问题转化为三角方程问题,利用方 程的思想求解即可.
- 10 -

11.答案 A:由 1 ,a1 ,a2 ,4 成等差数列,则 a2 a1 =

( 4) ( 1) = 1 ,又 1 ,b1 ,b2 , 3

2 b3 ,4 成等比数列, b2 =(-1) 则 (-4)=4, b2 = ±2 , 1 , 2 ,4 同号, b2 = 2 , ∴ 又 b 故



a2 a1 1 = 2 b2

评析 本题根据等差,等比数列的性质设法求 出 a2 a1 及 b2 的值,即可解决问题,但应注意隐含 条件: 1 , b2 , 4 同号,否则易选 C. 12.答案 D:由已知得 lg x =

2006 ,令 y1 = lg x , x

y2 =

2006 .作出两个函数的图象,其交点横坐标为 x

x1 .同理令 y3 = 10 x ,交 y2 的横坐标为 x2 .由对称
性知 x2 = y1 =

2006 ,故 x1x2=2006. x1

评析 本题主要考查数形结合的数学思想, 及函数图象的对称.首先把已知方程变形为容易做出函数图象的形式,利用对数函数与 指数函数的对称性解决问题. 13.答案 36 : 作出可行域,如图.由

6 x + 5 y = 60 20 60 ,得 B( , ), ,作直线 l:4x+3y=t, , 7 7 5 x + 3 y = 40
1 7

当直线经过点 B 时,z=4x+3y 取得最大值,即 4x+3y=37

由于 x,y 必须是整数,故 4x+3y 取得最大值可能是 37. 由

4 x + 3 y = 37 4 x + 3 y = 37 5 25 及 ,得点 A1 ( ,9), A2 (3, ) 2 3 6 x + 5 y = 60 5 x + 3 y = 40

由 A1 , A2 的横坐标知,线段 A1 A2 上没有整点,因此 4x+3y 取得最大值可能是 36, 同上求得 A3 (0,12), A4 (4,

20 22 ),所以整点横坐标只能是 0,1,2,3,当 x=1 时,y= , 3 3 28 20 不合题意; x=2 时,y= 当 , 不合题意. 所以整点最优解为(0,12),(4, ),使 z=4x+3y 3 3
取得最大值 36.
- 11 -

评析 在线性规划问题中,常需求整点最优解,而对于整点最优解的寻找,教材中例题 一带而过,下面介绍一种简易方法—调整优值法.当使目标函数取得最大值的点不是整 点解时,求出经过该点的直线方程 l1 :Ax+By+C=0(C 不是整数) ,调整直线方程为 l 2 : Ax+By+ C1 =0,其中 C1 为最接近 C 的整数,根据可行域的特点, C1 大于或小于 C,求 出 l 2 与可行域的交点 M,N,根据 M,N 的横坐标确定整点,求得的整点即为整点最优 解. 14.答案 24: Tr +1 = C 4 ( 2 x)
r 4r r x = C 4 2 4r x r 4 r + r 2 r = C 4 2 4 r x 4r + r 2

AB AP =9,由题意 4 ,

r 2 = 3 ,得 r = 2 .∴ x 3 的系数为 C 4 2 4 2 =24. 2

评析 高考对二项式主要有两个方面的考查:一,通项;二,赋值.本题正确写出二项 展开式的通项,然后令 x 的指数为 3,求得 r 的值,即可求出 x 3 的系数. 15.答案

1 1 {x | 1 ≤ x < 或 < x ≤ 1} :当 1 ≤ x < 0 时,0 < x ≤ 1 ,则 f ( x ) = x 1 , 2 2 1 f ( x ) = x + 1 , f ( x) f ( x ) > 1 化为 x 1 x 1 > 1 ,解得 1 ≤ x < ,同理 2 1 1 1 可得 < x ≤ 1 .故不等式的解集为 {x | 1 ≤ x < 或 < x ≤ 1} . 2 2 2
评析 本题主要考查抽象函数解不等式的问题,关键是正确求出 f ( x ) 与 f ( x ) ,然后

分段求解即可. 16.解析:若动圆在 y 轴右侧,则动圆圆心到定点(2,0)与到定直线 x=-2 的距离相等, 其轨迹是抛物线;若动圆在 y 轴左侧,则动圆圆心轨迹是 x 负半轴.答案:y2=8x(x>0) 或 y=0(x<0) 17 . 解 ( 1) ∵ 不等式 x cos C + 4 x sin C + 6 < 0 的 解 集是 空 集. ∴
2

cos C > 0 ,即 ≤ 0

cos C > 0 cos C > 0 1 ,即 1 ,故 cos C ≥ ,∴角 C 的最 2 2 16sin C 24 cos C ≤ 0 cos C ≤ 2或 cos C ≥ 2
大值为 60° . (2)当 C = 60° 时, S ABC =

1 3 3 ab sin C = ab = 3 ,∴ ab = 6 ,由余弦定理得 2 4 2
- 12 -

c 2 = a 2 + b 2 2ab cos C = (a + b) 2 2ab 2ab cos C ,∴ (a + b) 2 = c 2 + 3ab =
∴a+b =

121 , 4

11 . 2

评析 解有关三角形的问题,必须熟练掌握正,余弦定理,三角函数以及与三角形面积, 周长,内切圆,外接圆等知识,通过理解这些知识掌握各知识点间的关系并能够运用这 些知识解决一些实际问题.本题(1)中结合不等式解集情况求出 cos C ≥

1 ,进而得到 2

角 C 的最大值. (2)中熟练运用三角形面积公式及余弦定理,灵活变形,利用方程的思 想求解. 18.解 (理) 解 (1)当 n = 1 时,由题意知 a1 > α 成立, 假设当 n = k 时,ak > α 成立, f '( x ) > 0 , 由 知函数 f ( x ) 为增函数, f ( ak ) > f (α ) , ∴ 又 f ( ak ) = ak +1 , f (α ) = α ,∴ ak +1 > α ,即当 n = k + 1 时,不等式也成立.综上知对任 意正整数 n , an > α 恒成立. (2)令 g ( x ) = x f ( x) ,则 g '( x ) = 1 f '( x ) ,由 0 < f '( x ) < 1 得 g '( x ) > 0 ,故 g ( x ) 为增函数, x > α 时, g ( x ) > g (α ) = α f (α ) = 0 ,∴ g ( x ) > 0 , x > f ( x ) , 当 有 即 由(1)知 an > α ,∴ an > f ( an ) = an +1 ,故 an > an +1 . 评析 本题第(1)问利用数学归纳法证明,思路自然,在证 n = k + 1 时,利用导数与

函数单调性关系巧妙论证;第(2)问实质是比较 an 与 f ( an ) 的大小,因而构造函数

g ( x) = x f ( x) ,判断函数值的正负即可.
(文) (1)当 n ≥ 2 时, an = S n S n 1 , ∴ S n = ( S n S n 1 )( S n ) = S n
2 2

1 2

1 1 S n S n S n 1 + S n 1 ,∴ S n 1 S n = 2 S n S n 1 ,∴ 2 2

1 1 1 1 1 = 2, 即数列 { } 为等差数列,S1 = a1 = 1 , ∴ = + (n 1) × 2 = 2n 1 , S n S n 1 Sn S n S1
∴ Sn =

1 , 2n 1

- 13 -

当 n ≥ 2 时, a n = S n S n 1 =

1 1 1 = , 2n 1 2 n 3 (2n 1) (2n 3)

1, n = 1 ∴ an = ,n ≥ 2 . 1 (2n 1)(2n 3)
(2) bn = ∴ Tn =

Sn 1 1 1 1 = = ( ), 2n + 1 (2n 1)(2n + 1) 2 2n 1 2n + 1

1 1 1 1 1 1 1 1 n [(1 ) + ( ) + + ( )] = (1 )= . 2 3 3 5 2n 1 2n + 1 2 2 n + 1 2n + 1

评析 高考文科对数列的考查主要在数列的基本运算,递推数列,同时含 an 与 Sn 的关 系式的运算,数列求和这四大块.本题(1)中灵活利用 an 与 Sn 的关系合理消元,分类 求解. (2)中考查裂项相消法求和. 19.剖析:单调性只要用定义证明,可先比较真数的大小再证.函数值域可利用函数的单调性 确定端点后再比较,化为方程组求解.对数型不等式要化成同底后分 a>1 与 0<a<1 求 解,同时要注意定义域. 解: (1)任取 1<x1<x2,则 f(x2)-f(x1)=loga
x2 + 1 x +1 -loga 1 x2 1 x1 1

(x + 1 )(x1 1 ) =loga 2 (x 2 1 )(x1 + 1 ) =loga x1 x 2 + x1 x 2 1 . x1 x 2 x1 + x 2 1 又∵x2>x1>1,∴x1-x2<x2-x1. ∴0<x1x2-x2+x1-1<x1x2-x1+x2-1. x1 x 2 + x1 x 2 1 <1. x1 x 2 x1 + x 2 1 当 a>1 时,f(x2)-f(x1)<0, ∴f(x)在(1,+∞)上是减函数; 当 0<a<1 时,f(x2)-f(x1)>0, ∴f(x)在(1,+∞)上是增函数. ∴0< (2)由 ∵
x +1 >0 得 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞). x 1

x +1 2 =1+ ≠1,∴f(x)≠0. x 1 x 1
- 14 -

当 a>1 时,

∵x>1 f(x)>0,x<-1 f(x)∈(0,1) , ∴要使 f(x)的值域是(1,+∞) ,只有 x>1. 又∵f(x)在(1,+∞)上是减函数, - ∴f 1(x)在(1,+∞)上也是减函数. a +1 - ∴f(x)>1 1<x<f 1(1)= . a 1
r = 1, r = 1 ∴ a +1 ∴ a2= . a = 2 ± (负号不符合) 3 . a 1 当 0<a<1 时, ∵x>1 f(x)<0,x<1 f(x)>0, ∴要使值域是(1,+∞) ,只有 x<-1. 又∵f(x)在(-∞,-1)上是增函数, a +1 - ∴f(x)>1 -1>x>f 1(1)= . a 1

a +1 , r = ∴ a 1 无解. a 2 = 1, 综上,得 a=2+ 3 ,r=1. (3)由 f(x)≥loga2x 得
x > 1 当 a>1 时, ) x + 1 > 2 x(x 1
3 17 3 + 17 <x< 且 x>1. 4 4 3 + 17 . 4

∴1<x<

x > 1, 当 0<a<1 时, ), x + 1 < 2 x(x-1
20.解:设-1≤x1<x2≤1,则 x1-x2≠0, 解



f ( x1 ) + f ( x 2 ) >0. x1 + ( x 2 )

∵x1-x2<0,∴f(x1)+f(-x2)<0. ∴f(x1)<-f(-x2). 又 f(x)是奇函数,∴f(-x2)=-f(x2). ∴f(x1)<f(x2). ∴f(x)是增函数.
- 15 -

(1)∵a>b,∴f(a)>f(b). (2)由 f(x-

1 1 )<f(x- ) ,得 2 4

1 1 ≤ x 2 ≤ 1, 1 1 ≤ x ≤ 1, 4 1 1 x 2 < x 4 ,

∴-

1 5 ≤x≤ . 2 4

1 5 ≤x≤ }. 2 4 (3)由-1≤x-c≤1,得-1+c≤x≤1+c, ∴P={x|-1+c≤x≤1+c}. 由-1≤x-c2≤1,得-1+c2≤x≤1+c2, ∴Q={x|-1+c2≤x≤1+c2}. ∵P∩Q= , ∴1+c<-1+c2 或-1+c>1+c2, 解得 c>2 或 c<-1.
∴不等式的解集为{x|- 21.解(理) 解 (1)由题意 B (0,1) , A(0, b) , ∠PAB = 45° , ∴ AB AP =| AB || AP |cos45°=| AB |2=9,得 b = 2 . ∴ P (3,1) ,代入椭 圆方程得

9 1 x2 y 2 + = 1 ,∴ a 2 = 12 .故所求椭圆的方程为 + = 1. a2 4 12 4

另解 直线 AP 的方程为 y = x b ,由

y =1 ,得 P (b + 1,1) , y = x b

∴ AB AP =(0,1+b)(1+b,1+b)=(1+b)2=9,以下同上. (2)由 AB AP =9,得 t + b = 3(t > 0, b > 0) , ①,将 P (3, t ) 代入椭圆方程得

9 t2 9b 2 9b 2 9 + 2 = 1 ,即 a 2 = 2 2 ,∵ a 2 > b 2 ,∴ 2 2 > b 2 ,即 2 2 > 1 ②,由① 2 a b b t b t b t
得 b = 3 t ,代入③得

9 6t 3 1 > 0 ,∴ < 0 ,解得 0 < t < . 9 6t 6t 9 2

评析 (1)中利用数量积公式,把向量关系巧妙转化为长度关系,进而求出 b 的值, 得到点 P 的坐标代入椭圆方程即可,简化了运算.又利用两条直线的交点解出点 P 的坐
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标,利用向量的坐标运算求出 b 的值,有异曲同工之妙. (2)中利用向量关系得到 t , b 的方程,借助椭圆中隐含的 a > b 关系建立不等式,非常巧妙. (文)

f ' ( x) =3x2-2(a+b)x+ab(1)切线 m 的斜率 k1 = f ' (0) =ab,切线 n 的斜率

k 2 = f ' (b) =b(b-a),直线 m‖n k1 = k 2 ,∴ ab=b(b-a) 即 b=2a 是 m‖n 的充要条件.
( 2 ) 由 题 意 , s, t 是 方 程 f ( x) =3x2-2(a+b)x+ab=0 的 两 根 , 又 ∵ f (0) =ab>0,
' '

f ' (a ) =a(a-b)<0, f ' (b) =b(b-a)>0, f ' ( x) 在区间(0,a), ∴ (a,b)上各有一个实根, s<t, 又
∴ 0<s<a<t<b. 评析 本题综合性较强,要学会用导数解决或证明一些问题,尤其要注意导函数为二次 函数的研究. 22. (理) 由已知 Pn 1 Pn = ( n 1) Pn Pn +1 , n = 2 ,P P2 = P2 P , 解 (1) 令 令 1 3 所以 a2 = 1 , n = 3 ,

P2 P3 = 2 P3 P4 ,所以 a3 =

a 1 1 ,同理 n = , 2 an 1 n 1

所以 a n =

1 1 1 1 1 1 1 a n 1 = an2 = … = … 1 = . n 1 n 1 n 2 n 1 n 2 2 (n 1)! 1 1 1 1 = ≤ = n2 (n 1)! 1× 2 × 3 × × (n 1) 2 × 2 × 2 × × 2 2 1 1 1 1 1 1 + + + ≤ 1 + 1 + + 2 + + n2 1! 2! (n 1)! 2 2 2

(2)因为

a1 + a2 + a3 + + an = 1 +

1 1 ( ) n 1 1 2 = 1+ = 3 ( ) n 2 < 3; 1 2 1 2
而 n = 1 时,易知 a2 = 1 < 3 成立,所以 a1 + a2 + a3 + + an < 3 . (3)假设有两个点 A( p, a p ) , B ( q, aq ) ,都在函数 y =

k k 上,即 a p = , 2 ( x 1) ( p 1)2

aq =

k (q 1) 2
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所以

( p 1)2 (q 1) 2 ( p 1) 2 (q 1) 2 n2 =k, =k, k得 消去 = ①, 以下考查数列 bn = ( p 1)! (q 1)! ( p 1)! (q 1)! n! n2 (n 1) 2 n (n 1) 2 n2 3n + 1 = = , n ! (n 1)! (n 1)! (n 1)!
2

的增减情况,

bn bn 1 =

当 n > 2 时, n 3n + 1 > 0 ,所以对于数列 {bn } 有 b2 > b3 > b4 > > bn > ∴不可能存在 p , q 使得①式成立,因而不存在. 评析 数列的递推关系及增减情况,是近几年高考压轴题的着眼点. (文) (1)由题意 B (0,1) , A(0, b) , ∠PAB = 45° , ∴ AB AP =| AB || AP |cos45°=| AB |2=(b+1)2=9,得 b = 2 .∴ P (3,1) ,代入椭

9 1 x2 y 2 2 圆方程得 2 + = 1 ,∴ a = 12 .故所求椭圆的方程为 + = 1. a 4 12 4
另解 直线 AP 的方程为 y = x b ,由

y =1 ,得 P (b + 1,1) , y = x b

∴ AB AP =(0,1+b)(1+b,1+b)=(1+b)2=9,以下同上. ( 2 ) 由 AB AP =9 , 得 t + b = 3(t > 0, b > 0) ① , 将 P (3, t ) 代 入 椭 圆 方 程 得

9 t2 9b 2 9b 2 9 2 2 2 + 2 = 1 ,即 a = 2 2 ,∵ a > b ,∴ 2 2 > b 2 ,即 2 2 > 1 ②,由 2 a b b t b t b t
①得 b = 3 t ,代入③得

9 6t 3 1 > 0 ,∴ < 0 ,解得 0 < t < . 9 6t 6t 9 2

评析 (1)中利用数量积公式,把向量关系巧妙转化为长度关系,进而求出 b 的值, 得到点 P 的坐标代入椭圆方程即可,简化了运算.又利用两条直线的交点解出点 P 的坐 标,利用向量的坐标运算求出 b 的值,有异曲同工之妙. (2)中利用向量关系得到 t , b 的方程,借助椭圆中隐含的 a > b 关系建立不等式,非常巧妙.

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