tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关文档
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

【导与练】2015届高考数学一轮复习 第6篇 第4节 基本不等式课件 文 新人教版


第 4 节 基本不等式

基础梳理

考点突破

基础梳理
知识整合
a?b 1.基本不等式: ab ≤ 2

抓主干

固双基

(1)基本不等式成立的条件 a>0,b>0. (2)等号成立的条件当且仅当 a=b 时取等号.



a?b (3)其中 称为正数 a、b 的算术平均数, ab 称 2

为正数 a、b 的几何平均数.

2.利用基本不等式求最值
(1)两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即
M2 若 a、b 为正实数,且 a+b=M,M 为定值,则 ab≤ , 4

等号当且仅当 a=b 时成立.(简记:和定积最大)

(2)两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若 a、b 为 正实数,且 ab=P,P 为定值,则 a+b≥ 2 P ,等号当且仅当 a=b 时成立.(简记:积定和最小)

3.几个常用的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).

?a?b? (2)ab≤ ? ? (a,b∈R). ? 2 ?

2

2 2 a ? b a ? b ? ? (3) ? ? ≤ 2 (a,b∈R). ? 2 ?

2

b a (4) + ≥2(a·b>0). a b
a?b a 2 ? b2 (5) ≤ ab ≤ ≤ (a>0,b>0). 1 1 2 2 ? a b

2

质疑探究:上述五个不等式等号成立的条件分别是什么? 提示:都是当且仅当 a=b.

双基自测
1.设 a>b>0,下列不等式不正确的是( (A)ab< (C)
a ?b 2
2 2

C

)

?a?b? (B)ab< ? ? ? 2 ?

2

2ab 2ab > ab (D) ab > a?b a?b

解析:由 a2+b2≥2ab,a+b≥2 ab 及 a>b>0 知, 选项 A、B 正确.
2ab 2ab < = ab ,选项 D 正确.故选 C. a ? b 2 ab

a ?b ?a?b? >ab,ab< ? , ? 2 ? 2 ?
2 2

2

2.(2013 武汉市高三调研)若 logmn=-1,则 m+3n 的最 小值为( C ) (A)2 ?mn=1, ?m+3n≥2 3mn =2 3 , 当且仅当 m=3n 等号成立. 故选 C. (B)2 2 (C)2 3 (D)4 解析:≧logmn=-1,m>0 且 m≠1,n>0,

3.在下列函数中,最小值是 2 的函数是( (A)y=x+ (C)y=
1 x

D )

(B)y=cos x+
x

1 ? ?0 ? x ? cos x ?

π? ? 2?

x2 ? 3

4 (D)y=e + x -2 2 e x ?2

解析:选项 A 中,x>0 时,y≥2,x<0 时,y≤-2; 选项 B 中,cos x≠1,故最小值不等于 2; 选项 C 中,

x2 ? 3 x2 ? 2

=

x2 ? 2 ? 1 x2 ? 2

= x ?2 +
2

1 x ?2
2

,

3 2 当 x=0 时,ymin= ,只有选项 D 符合题意.故选 D. 2

4.已知 x,y∈R+,且满足

x y + =1,则 xy 的最大值为 3 4
2

.

?x y? ?3?4? x y 解析:由 x,y∈R+,则 xy=12× × ≤12 ? 2 ? ? ? 4 3 ? ? ? ?

?1? =12× ? ? ? 2?

2

=3.(当且仅当 答案:3

x y = 时取等号) 3 4

考点突破
【例 1】 设 a>0,b>0,a+b=1,
25 1? ? 1? ? 求证 ? a ? ? + ? b ? ? ≥ . 2 a? ? b? ?
2 2

剖典例 知规律

考点一 利用基本不等式证明不等式

证明:因为 a>0,b>0,a+b=1, 所以 1=a+b≥2 ab , ab ≤ 所以 ab≤
1 1 ,即 ≥4. ab 4 1 , 2

a?b a 2 ? b2 a 2 ? b2 ?a?b? 因为 ≤ ,所以 ≥? . ? 2 2 2 ? 2 ?

2

1? ? 1? ? 所以 ? a ? ? + ? b ? ? a? ? b? ?

2

2

1 1? ? a ? ? b ? ? ? a b ≥2 ? ? 2 ? ? ? ?
2

2

1 ? ? 1 1? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? 25 a b ? ? ab ? ? = = ≥ . 2 2 2

2

25 1 1? ? 1? ? 所以 ? a ? ? + ? b ? ? ≥ (当且仅当 a=b= 时取等号). 2 2 a? ? b? ?

2

2

反思归纳

a?b a 2 ? b2 (1)本题用了常见结论 ≤ , 2 2

记住这一结论可帮助我们找到解题思路. (2)利用基本不等式证明不等式时,要充分利用基本不 等式及其变形,同时注意基本不等式成立的条件.对待 证明的不等式作适当变形,变出基本不等式的形式,然 后利用基本不等式进行证明.

1 1 即时突破 1 设 a、b 均为正实数,求证: 2 + 2 +ab≥2 2 . a b

证明:由于 a、b 均为正实数,
1 1 1 1 2 所以 2 + 2 ≥2 , ? 2 = 2 ab a b a b
1 1 当且仅当 2 = 2 ,即 a=b 时等号成立, a b

2 2 又因为 +ab≥2 ? ab =2 2 , ab ab

2 当且仅当 =ab 时等号成立, ab

1 1 2 所以 2 + 2 +ab≥ +ab≥2 2 , ab a b

1 ?1 ? 2, 2 ? ?a b 当且仅当 ? 即 a=b= 4 2 时取等号. ? 2 ? ab ? ? ab

考点二 利用基本不等式求最值
16 【例 2】(1)(2013 南京模拟)若 x<0,则函数 f(x)=1-xx

的最小值为

. .

(2)设 0<x<2,则函数 y= x ? 4 ? 2 x ? 的最大值为

思维导引:(1)直接利用基本不等式求最值注意保证 “一正, 二定,三相等”;(2)配凑成基本不等式的形式求解.

解析:(1)≧x<0,?-x>0,?f(x)=1-x16 x

16 >0. x

16 =1+(-x)+( ) ?x

≥1+2 =9.

??x? ? ? ??

16 ? ? ? x?

当且仅当-x=-

16 ,即 x=-4 时取等号, x

?f(x)的最小值为 9.

(2)≧0<x<2, ?2-x>0, ?y= x ? 4 ? 2 x ? = 2 · x ? 2 ? x ? ≤ 2 · 当且仅当 x=2-x,即 x=1 时取等号, ?当 x=1 时,函数 y= x ? 4 ? 2 x ? 的最大值为 2 . 答案:(1)9 (2) 2
x?2? x = 2, 2

反思归纳
(1)利用基本不等式求最值需关注以下三个方面① 各数(式)均为正;②和或积为定值;③等号能否成 立.这三个条件缺一不可,为便于记忆简述为“一 正、二定、三相等”. (2)合理拆分项或配凑因式或 “1” 代换是常用技巧, 目的是构造出基本不等式的框架形式. (3)当多次使用基本不等式时,要保证等号能同时 取得.

即时突破 2 (1)(2013 年高考福建卷)若 2 +2 =1,则 x+y
x y

的取值范围是( ) (A)[0,2] (B)[-2,0] (C)[-2,+∞) (D)(-∞,-2]
1 m ?1? (2)已知 x,y∈(0,+∞),2 = ? ? ,若 + (m>0)的最 x y ? 2?
x-3

y

小值为 3,则 m 等于( (A)2 (B)2 2

) (C)3 (D)4

解析:(1)因为 1=2 +2 ≥2 2 x ? 2 y =2 2 x ? y ,
x y

所以 2

x? y

1 ≤ , 2

1 所以 2 ≤ , 4
x+y

所以 x+y≤-2. 故选 D.

x-3 ? 1 ? (2)由 2 = ? ? 得 x+y=3, ? 2?

y

1 m 1 1 m + = (x+y)( + ) x y 3 x y

= ≥

1 y mx (1+m+ + ) x 3 y 1 y mx (1+m+2 m ),(当且仅当 = 时取等号) x 3 y

1 ? (1+m+2 m )=3, 3

解得 m=4.故选 D.

考点三 基本不等式的应用
【例 3】 (2013 烟台市莱州一中高三第二次质检)如图所示,将 一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的 矩形花坛 AMPN,要求 B 点在 AM 上,D 点在 AN 上,且对角线 MN 过点 C,已知 AB=3 米,AD=2 米. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 DN 的长应在什么 范围内? (2)当 DN 的长度为多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出 最小值.

思维导引:(1)设出 DN=x,由△NDC∽△NAM,求出 AM,进 而表示出面积关系式,由 S 矩形 AMPN>32 求出 DN 的范围. (2)利用基本不等式求最小值. 解:(1)设 DN 的长为 x(x>0)米,则|AN|=(x+2)米. ≧
DN AN DC AM

=

,

?|AM|=

3? x ? 2? x

,

?S 矩形 AMPN=|AN|·|AM|=

3? x ? 2 ? x

2

.

由 S 矩形 AMPN>32 得

3? x ? 2 ? x

2

>32.
2

又 x>0 得 3x -20x+12>0,
2 解得 0<x< 或 x>6, 3 2 即 DN 长的取值范围是(0, )∪(6,+≦).(单 3

位:米)

(2)矩形花坛的面积为 y=

3? x ? 2 ? x

2

3x2 ? 12 x ? 12 = x

12 =3x+ +12(x>0) x

12 ≥2 3x ? +12=24 x
12 当且仅当 3x= 即 x=2 时,矩形花坛的面积最小为 24 平方米. x

反思归纳

在利用基本不等式解决实际

问题时,一定要注意所涉及变量的取值范围, 即定义域.若使基本不等式等号成立的变量值 不在定义域内时,则要研究函数的单调性,利 用单调性求最值.

即时突破 3 (2013 年高考陕西卷)在如图
所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最 大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x 为 (m). 解析:如图,过 A 作 AH⊥BC 于 H,交 DE 于 F,
DE x AD AF AF 由已知得 = , = = , BC 40 AB AH 40 DE AD 由 = ,得 AF=x,FH=40-x. BC AB

? 40 ? 则 S=x(40-x)≤ ? ? , ? 2 ?
当且仅当 40-x=x, 即 x=20 时取等号. 所以所求边长 x 为 20(m). 答案:20

2

备选例题
? x ? 1, ? 【例 1】 (2013 武汉市高三调研)已知不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 表示的 ?kx ? y ? 0 ?

平面区域为Ω ,其中 k≥0,则当Ω 的面积取得最小值时的 k 的值 为 . 解析: 依题意作图,

直线 x+y+2=0 与 y=kx 的交点 D(直线 y=kx 与 x=1 的交点 C(1,k),

2 2k ,), k ?1 k ?1

≧k≥0,直线 x=1 与 x+y+2=0 的交点 A(1,-3), ?S△ACD= = =
1 1 2 |AC|·h= (k+3)(1+ ) k ?1 2 2

1 2 (k+1+2)(1+ ) k ?1 2 1 4 (4+k+1+ ) k ?1 2

1 ≥ (4+4) 2

=4.

4 当且仅当 k+1= 时取等号,即 k=1 或 k=-3(舍去). k ?1

?满足条件的 k=1. 答案:1

【例 2】 某单位建造一间地面面积为 12 m2 的背面靠墙的矩形 小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度 x 不得超过 a m. 房屋正面的造价为 400 元/m ,房屋侧面的造价为 150 元/m ,屋 顶和地面的造价费用合计为 5800 元,如果墙高为 3 m,且不计 房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低? 思维导引:用长度 x 表示出造价,利用基本不等式求最值即可. 还应注意定义域 0<x≤a,函数取最小值时的 x 是否在定义域内, 若不在定义域内,不能用基本不等式求最值,可以考虑单调性.
2 2

12 ? ? 解:由题意可得,造价 y=3 ? 2 x ?150 ? ? 400 ? +5800 x ? ? 16 ? ? =900 ? x ? ? +5800(0<x≤a), x? ?
16 ? 16 ? 则 y=900 ? x ? ? +5800≥900×2 x ? +5800 x? x ?

=13000,

当且仅当 x=

16 , x

即 x=4 时取等号. 若 a≥4,则当 x=4 时,y 有最小值 13000; 若 a<4,任取 x1,x2∈(0,a)且 x1<x2. ? ? 16 ? 16 ? y1-y2=900 ? x1 ? ? +5800-900 ? x2 ? ? -5800 x1 ? x2 ? ? ?
? ? 1 1 ?? =900 ?? x1 ? x2 ? ? 16 ? ? ? ? ? ? x1 x2 ? ? ? ?

=

900 ? x1 ? x2 ?? x1x2 ? 16? x1x2

.

≧x1<x2<a, ?x1-x2<0,x1x2<a2<16, 即 x1x2-16<0.?y1-y2>0,
16 ? ? ?y=900 ? x ? ? +5800 在(0,a]上是减函数. x? ? 16 ? ? ?当 x=a 时,y 有最小值 900 ? a ? ? +5800. a? ?

综上,若 a≥4, 当 x=4 时,有最小值 13000;
16 ? ? 若 a<4,当 x=a 时,有最小值 900 ? a ? ? +5800. a? ?

反思归纳

本题的难点在于利用基本不等式时,在

a<4 时等号不成立.对这类定义域有限制的函数求解最 值,在使用基本不等式时要根据等号成立和不成立进 行分类解决.

易错研讨 忽视基本不等式成立的条件致误
1 4 【典例】 已知 x、y∈(0,+∞),且 + =1,求 x+y x y

的最小值. 分析:利用“1”的代换,转化为积的定值求解.

?1 4? y 4x 正解:x+y=(x+y) ? ? ? =1+ + +4= x y ?x y?
y 4x + +5≥2 x y

y 4x +5=9, ? x y

?1 4 ? x ? y ? 1, ? 当且仅当 ? ? y ? 4x , ? y ?x

即 x=3,y=6 时,等号成立, 故 x+y 的最小值为 9.

易错提醒

1 4 在求解过程中有些同学利用 1= + x y

2 4 ≥2× = ,得出 xy ≥4,而又 x+y≥2 xy xy xy
≥8,这种解法的错误之处是连续两次使用了基本不 等式,但是这两个基本不等式中的等号不能同时成
1 4 立,前者是当且仅当“ = ”而后者是“x=y”取等 x y

号,故导致了错误.


推荐相关:

【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 :第6篇 第1节 不等关系与不等式]

【导与练】2015届高三数学(人教,)一轮专练 :第6篇 第1节 不等关系与不等式]_高中教育_教育专区。【导与练】2015届高三数学(人教,)一轮专练 :第6篇...


【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第6篇 不等式的解法与恒成立问题学案 理

【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第6篇 不等式的解法与恒成立问题学案 理_数学_高中教育_教育专区。第七课时 不等式的解法与恒成立问题 课前预习案...


【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第5篇 第4节 数列求和及综合应用课时训练 理

【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第5篇 第4节 数列求和及综合应用课时训练 理_数学_高中教育_教育专区。【导与练】(新课标)2016 届高三数学一轮...


【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第7篇 第4节 直线、平面平行关系的判定与性质课时训练 理

【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第7篇 第4节 直线、平面平行关系的判定与性质课时训练 理_数学_高中教育_教育专区。【导与练】(新课标)2016 届...


【导与练】2016高考政治一轮复习 第4课 文化的继承性与文化发展课时训练(含解析)新人教版必修3

【导与练】2016高考政治一轮复习 第4课 文化的继承性与文化发展课时训练(含解析)新人教版必修3_政史地_高中教育_教育专区。第 4 课 文化的继承性与文化发展 ...


【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第3篇 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课时训练 理

【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第3篇 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课时训练 理_数学_高中教育_教育专区。【导与练】(新课标)2016 ...


【导与练】2016高考政治一轮复习 第10课 文化建设的中心环节课时训练(含解析)新人教版必修3

【导与练】2016高考政治一轮复习 第10课 文化建设的中心环节课时训练(含解析)新人教版必修3_政史地_高中教育_教育专区。第 10 课 文化建设的中心环节 (限时 ...


【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第4篇 第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用课时训练 理

【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第4篇 第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用课时训练 理_数学_高中教育_教育专区。【导与练】(新课标)2016 ...


【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第11篇 证明学案 理

【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第11篇 证明学案 理_数学_高中...b ? 0 ,则下列不等式中成立的是( A. 1 1 1 1 b b ?1 ?b? C. b...


【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 :第9篇 第1节 随机抽样]

【导与练】2015届高三数学(人教,)一轮专练 :第9篇 第1节 随机抽样]_高中...(B)2,4,6,8,10 D ) (C)1,2,3,4,5 (D)7,17,27,37,47 解析:...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com