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2016年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷(文科)(六)(解析版)


2016 年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷(文科) (六)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A{x|x2﹣2x≥0},B{x|0≤1gx<2},则(?RA)∩B 是( ) A.{x|2≤x<10} B.{x|x≥2} C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<10}

2.设复数 z=( )2,其中 a 为正实数,若|z|=2,则 的虚部为( )

A.﹣4 B.4 C.﹣1 D.1 3.已知{an}为等比数列,a1+a10=10,a5?a6=25,则 a2+a9=( A.10 B.5 C.﹣5 D.﹣10



4.已知命题 p:? x∈R,x﹣2>lgx,命题 q:? x∈R,ex>1,则( ) A.命题 p∨q 是假命题 B.命题 p∧q 是真命题 C.命题 p∧(¬q)是真命题 D.命题 p∨(¬q)是假命题 5.已知 =(1,2) , =(0,1) , =(k,﹣2) ,若( + )∥ ,则 k=( A.﹣8 B.2 C.﹣ D.﹣ )



6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

A.8 B.24 C.18+2 D.12+4 7.我校为了了解高三学生在大庆市第一次模拟考试中对数学的掌握情况,从高三年级中随 机抽查了 100 名学生的数学成绩, 并制成了频率直方图, 从图中可以知道这 100 名学生的平 均分数和中位数分别为( )

A.103.2 113.2 B.108.2 108 C.103.2 108 D.108.2 113.2 4x 2 8.已知函数 f(x)=1008xln(e +1)﹣2016x +1,f(a)=2,则 f(﹣a)的值为( ) A.1 B.0 C.﹣1 D.﹣2 9.函数 f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,f(1)+f(2)+f(3)+…+f
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A.0

B.3

C.6

D.﹣

10.变量 x、y 满足条件

,则

+



最小值为( ) A.2 +2 B. 11.如图,已知双曲线

+

C.

+1 D.3

=1(a>0,b>0)上有一点 A,它关于原点的对称点为 B,

点 F 为双曲线的右焦点,且满足 AF⊥BF,设∠ABF=α,且 α∈[ 率 e 的取值范围为( )



],则双曲线离心

A.[

,2+

] B.[



] C.[



] D.[



+1]

12.已知函数

,若存在 x1<x2,使得 f(x1)=f(x2) ,则 x1?f

(x2)的取值范围为( A. B.

) C. D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.执行如图所示的程序框图,若输入 x=8,则输出 y 的值为______.

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14.在△ABC 中,bcosC+ccosB=acosC+ccosA=2,且 acosC+ asinC=b+c,则△ABC 的面积 为______. 15.直线 ax+2by=1 与圆 x2+y2=1 相交于 A,B 两点(其中 a,b 是实数) ,且△AOB 是直角 三角形(O 是坐标原点) ,则点 P(a,b)与点 Q(0,0)之间距离的最大值为______. 16.已知 f(x)=﹣(x﹣1)2+m,g(x)=xex,若? x1,x2∈R,使得 f(x1)≥g(x2)成 立,则实数 m 的取值范围是______. 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.已知数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an﹣1+3an﹣2(n≥3) . (1)求证:数列{an+an﹣1}为等比数列 (2)求数列{n?an}的前 2n 项和 T2n. 18.十八届五中全会公报指出:努力促进人口均衡发展,坚持计划生育的基本国策,完善人 口发展战略,全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策,提高生殖健康、妇幼保健、托幼等 公共服务水平,为了解适龄公务员对放开生育二胎政策的态度,某部门随机调查了 200 位 30 到 40 岁的公务员,得到情况如表: 男公务员 女公务员 80 40 生二胎 40 40 不生二胎 (1)是否有 99%以上的把握认为“生二胎与性别有关”,并说明理由; (2)采用分层抽样的方式从男公务员中调查 6 人,并对其中的 3 人进行回访,则这三人都 要生二胎的概率是多少? 附: k2= 0.050 0.010 0.001

P(k2≥k0) K0 3.841 6.635 10.828 19.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 AA1C1C⊥侧面 ABB1A1,AC=AA1= AA1C1=60°.AB⊥AA1,H 为棱 CC1 的中点,D 为 BB1 的中点.
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AB,∠

(Ⅰ)求证:A1D⊥平面 AB1H; (Ⅱ)AB= ,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积.

20. 如图, 曲线 Γ 由两个椭圆 T1:

和椭圆 T2:

组成,当 a,b,c 成等比数列时,称曲线 Γ 为“猫眼曲线”. (1)若猫眼曲线 Γ 过点 ,且 a,b,c 的公比为 ,求猫眼曲线 Γ 的方程;

(2)对于题(1)中的求猫眼曲线 Γ,任作斜率为 k(k≠0)且不过原点的直线与该曲线相 交,交椭圆 T1 所得弦的中点为 M,交椭圆 T2 所得弦的中点为 N,求证: 为与 k 无关的

定值; (3)若斜率为 的直线 l 为椭圆 T2 的切线,且交椭圆 T1 于点 A,B,N 为椭圆 T1 上的任 意一点(点 N 与点 A,B 不重合) ,求△ABN 面积的最大值.

21.已知函数 f(x)=

在点(1,f(1) )处的切线与 x 轴平行.

(1)求实数 a 的值及 f(x)的极值; (2)若对任意 x1,x2∈[e2,+∞) ,有| 围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的 切线交 AD 于 E.若 AB=6,ED=2. (1)求证:CE⊥AD; (2)求 BC 的长.
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|>

,求实数 k 的取值范

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的 极坐标方程为 θ= ,曲线 C 的参数方程为 .

(1)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; (2)过点 M 平行于直线 l1 的直线与曲线 C 交于 A、B 两点,若|MA|?|MB|= ,求点 M 轨迹的直角坐标方程. [选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|x+2|+|x﹣2|,x∈R,不等式 f(x)≤6 的解集为 M. (1)求 M; (2)当 a,b∈M 时,求证: .

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2016 年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷 (文科) (六)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A{x|x2﹣2x≥0},B{x|0≤1gx<2},则(?RA)∩B 是( ) A.{x|2≤x<10} B.{x|x≥2} C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<10} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】利用补集的定义求出集合 A 的补集,利用交集的定义求出(?RA)∩B. 【解答】解:由 x2﹣2x≥0,即 x(x﹣2)≥0,解得 x≤0 或 x≥2, ∴A={x|x≤0 或 x≥2}, ∴?RA={x|0<x<2}, 由 lg1=0≤1gx<2=lg100, ∴1≤x<100, ∴B={x|1≤x<100}, ∴(?RA)∩B={x|1≤x<2}, 故选:C. )2,其中 a 为正实数,若|z|=2,则 的虚部为( C.﹣1 D.1

2.设复数 z=( A.﹣4 B.4



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出. 【解答】解:复数 z=( ∵|z|=2, ∴ ∴z= 则 = =2,化为:a2=3,a>0,解得 a= . )2= = =a﹣ i,

﹣i, +i 的虚部为 1. 故选:D. 3.已知{an}为等比数列,a1+a10=10,a5?a6=25,则 a2+a9=( A.10 B.5 C.﹣5 D.﹣10 【考点】等比数列的通项公式. 【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出. 【解答】解:∵{an}为等比数列,a1+a10=10,a5?a6=25=a1a10, 解得 a1=a10=5.
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∴等比数列的公比 q=1. 则 a2+a9=5+5=10. 故选:A. 4.已知命题 p:? x∈R,x﹣2>lgx,命题 q:? x∈R,ex>1,则( A.命题 p∨q 是假命题 B.命题 p∧q 是真命题 C.命题 p∧(¬q)是真命题 D.命题 p∨(¬q)是假命题 )

【考点】复合命题的真假. 【分析】利用函数的性质先判定命题 p,q 的真假,再利用复合命题真假的判定方法即可得 出. 【解答】解:对于命题 p:例如当 x=10 时,8>1 成立,故命题 p 是真命题; 对于命题 q:? x∈R,ex>1,当 x=0 时命题不成立,故命题 q 是假命题; ∴命题 p∧¬q 是真命题. 故选:C. 5.已知 =(1,2) , =(0,1) , =(k,﹣2) ,若( + A.﹣8 B.2 C.﹣ D.﹣ )∥ ,则 k=( )

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示. 【分析】根据平面向量的坐标运算与向量的共线定理,列出关于 k 的方程,解方程即可. 【解答】解:∵ =(1,2) , =(0,1) , =(k,﹣2) , ∴ + =(1,4) , 又( + )∥ , ∴1×(﹣2)﹣4k=0, 解得 k=﹣ . 故选:C. 6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

A.8

B.24

C.18+2

D.12+4

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】根据三视图判断几何体是正方体削去一个三棱锥,截面三角形为等边三角形,根据 正方体的边长计算截面三角形的边长,求出截面的面积,再求几何体的其他各面的面积,然 后相加. 【解答】解:由三视图知几何体是边长为 2 的正方体削去一个三棱锥,
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截面三角形为等边三角形,边长为 2 ∴截面的面积为 =2

, , =18+2 (cm2) .

∴几何体的表面积 S=3×2×2+3× ×2×2+2 故选:C.

7.我校为了了解高三学生在大庆市第一次模拟考试中对数学的掌握情况,从高三年级中随 机抽查了 100 名学生的数学成绩, 并制成了频率直方图, 从图中可以知道这 100 名学生的平 均分数和中位数分别为( )

A.103.2 113.2 B.108.2 108

C.103.2 108

D.108.2 113.2

【考点】众数、中位数、平均数. 【分析】根据频率分布直方图中,平均数是各小组底边中点坐标与对应频率乘积的和,中位 数的两边频率相等,由此求出结果. 【解答】解:根据频率分布直方图,得 这 100 名学生的平均分数为 85×0.006×10+95×0.02×10+105×0.03×10+115×0.025×10+125×0.018×10+135×0.001 ×10=108.2; 又 0.006×10+0.02×10=0.26<0.5, 0.26+0.03×10=0.56>0.5, 所以中位数在 100,110 内,可设为 x, 则(x﹣100)×0.03+0.26=0.5,解得 x=108. 故选:B. 8.已知函数 f(x)=1008xln(e4x+1)﹣2016x2+1,f(a)=2,则 f(﹣a)的值为( A.1 B.0 C.﹣1 D.﹣2 )

【考点】函数的值. 【分析】构造函数 g(x)=1008xln(e4x+1)﹣2016x2,可判 g(x)为奇函数,易得答案. 【解答】解:构造函数 g(x)=1008xln(e4x+1)﹣2016x2, 则 g(﹣x)+g(x)=﹣1008xln(e﹣4x+1)﹣2016x2+1008xln(e4x+1)﹣2016x2=1008xlne4x ﹣4032x2=0, 故 g(﹣x)=g(x) , 又 f(a)=g(a)+1=2,∴g(a)=1, ∴f(﹣a)=g(﹣a)+1=﹣g(a)+1=0 故选:B.

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9.函数 f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,f(1)+f(2)+f(3)+…+f

A.0

B.3

C.6

D.﹣

【考点】正弦函数的图象. 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ω,可得函数的解析式,再利用利用 正弦函数的周期性求得要求式子的值. 【解答】解:由函数 f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的部分图象,可得 A=2, 0=4,∴ω= , = =4﹣

∴函数的周期 T=8,∵f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f+f(2)+f(3)+…+f(8)]=0, 故选:A.

10.变量 x、y 满足条件

,则

+



最小值为( ) A.2 +2 B.

C. + +1 D.3 【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用两点间的距离公式进行求解即可. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图, 设 E(1,2) ,F(﹣2,﹣1) , 则 离之和, 由图象知 |EF|= 故选:D. + = =3 , 的最小值为 + 的几何意义是区域内的点到 E,F 两点间的距

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11.如图,已知双曲线

=1(a>0,b>0)上有一点 A,它关于原点的对称点为 B,

点 F 为双曲线的右焦点,且满足 AF⊥BF,设∠ABF=α,且 α∈[ 率 e 的取值范围为( )



],则双曲线离心

A.[

,2+ ] B.[ , 【考点】双曲线的简单性质.

] C.[



] D.[



+1]

【分析】利用 S△ ABF=2S△ AOF,先求出 e2=

,再根据 α∈[



],即可求出

双曲线离心率的取值范围. 【解答】解:设左焦点为 F',令|AF|=r1,|AF'|=r2,则|BF|=|F'A|=r2, ∴r2﹣r1=2a, ∵点 A 关于原点 O 的对称点为 B,AF⊥BF, ∴|OA|=|OB|=|OF|=c, ∴r22+r12═4c2, ∴r1r2=2(c2﹣a2) ∵S△ ABF=2S△ AOF, ∴ r1r2═2? c2sin2α, ∴r1r2═2c2sin2α ∴c2sin2α=c2﹣a2 ∴e2= ∵α∈[ , , ],

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∴sin2α∈[ , ∴e2= ∴e∈[ , 故选:B.

], ∈[2, ( +1]. +1)2]

12.已知函数

,若存在 x1<x2,使得 f(x1)=f(x2) ,则 x1?f

(x2)的取值范围为( A. B.

) C. D.

【考点】函数的零点;函数的值域;不等关系与不等式. 【分析】 根据函数的解析式画出函数的图象,根据题意数形结合求得 x1?f (x2)的取值范围. 【解答】解:①当 0≤x< 时, ≤f(x)=x+ <1.故当 x= 时,f(x)= . ②当 ≤x≤1 时, ≤f(x)=3x2≤3,故当 x= 时,f(x)=1.

若存在 x1<x2,使得 f(x1)=f(x2)=k,则 ≤x1< ≤x2<1, 如图所示: 显然当 k=f(x1)=f(x2)= 时,x1?f(x2)取得最小值, 此时,x1= ,x2= ,x1?f(x2)的最小值为 = .

显然,当 k=f(x1)=f(x2)趋于 1 时,x1?f(x2)趋于最大, 此时,x1 趋于 ,x2 趋于 故 x1?f(x2)的取值范围为 故选 C. ,x1?f(x2)趋于 , = .

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二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.执行如图所示的程序框图,若输入 x=8,则输出 y 的值为 .

【考点】程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环计算并输出变量 y 的值,模拟程序的运行,不难得到输出结果. 【解答】解:模拟程序的运行,可得 x=8,y=3 不满足条件|y﹣x|<3,执行循环体,x=3,y= 满足条件|y﹣x|<3,退出循环,输出 y 的值为 . 故答案为: .

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14.在△ABC 中,bcosC+ccosB=acosC+ccosA=2,且 acosC+ asinC=b+c,则△ABC 的面积 为 . 【考点】正弦定理;三角函数中的恒等变换应用. 【分析】由余弦定理结合已知可得 a=b=2,利用三角函数恒等变换的应用,正弦定理化简等 式 acosC+ asinC=b+c, 可得 sin(A﹣ )= ,结合范围 A∈(0, ) ,可求 A=B=C= ,利用三角形面积公

式即可计算得解. 【解答】解:∵bcosC+ccosB=acosC+ccosA=2, ∴在△ABC 中,由余弦定理可得:b +c =a

+c

=2,

∴整理解得:a=b=2,A,B 为锐角, ∵acosC+ asinC=b+c, ∴利用正弦定理可得:sinAcosC+ sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C) +sinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC, ∴ sinAsinC=cosAsinC+sinC, ∴ sinA=cosA+1(sinC≠0) ,可得:2sin(A﹣ ) ,A﹣ ∈(﹣ , ) , , )=1,可得 sin(A﹣ )= ,

∵A∈(0, ∴A﹣ =

,可得:A=B=

,可得:C=π﹣A﹣B= = .

∴△ABC 的面积 S= absinC= 故答案为: .

15.直线 ax+2by=1 与圆 x2+y2=1 相交于 A,B 两点(其中 a,b 是实数) ,且△AOB 是直角 三角形(O 是坐标原点) ,则点 P(a,b)与点 Q(0,0)之间距离的最大值为 . 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】根据直线和圆的位置关系以及两点间的距离公式即可得到结论. 【解答】解:∵△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点) , ∴圆心到直线 ax+2by=1 的距离 d= ,

即 d= 整理得 a2+4b2=2,



则点 P(a,b)与点 Q(0,0)之间距离 d=

= ,



∴当 b=0 时,点 P(a,b)与点 Q(0,0)之间距离取得最大值为
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故答案为: 16.已知 f(x)=﹣(x﹣1)2+m,g(x)=xex,若? x1,x2∈R,使得 f(x1)≥g(x2)成 立,则实数 m 的取值范围是 [﹣ ,+∞) .

【考点】函数最值的应用. 【分析】? x1,x2∈R,使得 f(x1)≥g(x2)成立,等价于 f(x)max≥g(x)min,分别求 出最值,即可得出结论. 【解答】解:? x1,x2∈R,使得 f(x1)≥g(x2)成立,等价于 f(x)max≥g(x)min, ∵g(x)=xex, ∴g′(x)=(1+x)ex, x<﹣1 时,g′(x)<0,x>﹣1 时,g′(x)>0, ∴x=﹣1 时,g(x)min=﹣ , ∵f(x)=﹣(x﹣1)2+m, ∴f(x)max=m, ∴m≥﹣ , ∴实数 m 的取值范围是[﹣ ,+∞) . 故答案为:[﹣ ,+∞) .

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.已知数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an﹣1+3an﹣2(n≥3) . (1)求证:数列{an+an﹣1}为等比数列 (2)求数列{n?an}的前 2n 项和 T2n. 【考点】数列的求和;等比关系的确定. 【分析】 (1)由 an=2an﹣1+3an﹣2(n≥3) ,变形为 an+an﹣1=3(an﹣1+an﹣2) ,即可证明. (2)由(1)可得:an+an﹣1=7×3n﹣2,同理可得:an﹣3an﹣1=(﹣1)n﹣1×13,联立解得 an= [3n﹣1×7+(﹣1)n﹣1×13].利用分组求和、“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出. 【解答】 (1)证明:∵an=2an﹣1+3an﹣2(n≥3) ,∴an+an﹣1=3(an﹣1+an﹣2) , ∵a1+a2=7,∴数列{an+an﹣1}为等比数列,首项为 7,公比为 3. (2)解:由(1)可得:an+an﹣1=7×3n﹣2, 同理可得:an﹣3an﹣1=(﹣1)n﹣1×13. 联立解得 an= [3n﹣1×7+(﹣1)n﹣1×13]. [1+2×3+…+ (2n﹣1) ×32n﹣2+2n×32n﹣1]+ [1+2

a2n﹣1+2na2n= ∴T2n=a1+2a2+…+ (2n﹣1)

×(﹣1)1+…+(2n﹣1)×(﹣1)2n﹣2+2n×(﹣1)2n﹣1], 利用“错位相减法”可得:T2n= ﹣ .

第 14 页(共 23 页)

18.十八届五中全会公报指出:努力促进人口均衡发展,坚持计划生育的基本国策,完善人 口发展战略,全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策,提高生殖健康、妇幼保健、托幼等 公共服务水平,为了解适龄公务员对放开生育二胎政策的态度,某部门随机调查了 200 位 30 到 40 岁的公务员,得到情况如表: 男公务员 女公务员 80 40 生二胎 40 40 不生二胎 (1)是否有 99%以上的把握认为“生二胎与性别有关”,并说明理由; (2)采用分层抽样的方式从男公务员中调查 6 人,并对其中的 3 人进行回访,则这三人都 要生二胎的概率是多少? 附: k2= P(k2≥k0) K0 0.050 0.010 0.001

3.841

6.635

10.828

【考点】独立性检验的应用;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】 (1)根据题意列出 2×2 列联表,根据 2×2 列联表,代入求临界值的公式,求出观 测值,利用观测值同临界值表进行比较,K2≈5.556<6.635,故没有 99%以上的把握认为“生 二胎与性别有关”. (2)由题意可得,要生二胎的人数为 4 人,分别设为 a1,a2,a3,a4,不要二胎的共有 2 人,分别设为 b1,b2,列出抽取 3 人所有的可能,及三人都要生二胎事件,根据概率公式即 可求得结果. 【解答】解: (1) 男公务员 女公务员 合计 80 40 120 生二胎 40 40 80 不生二胎 120 80 200 合计 由于 K2= = = ≈5.556<6.635,

故没有 99%以上的把握认为“生二胎与性别有关”. (2)由题意可得,要生二胎的人数为 4 人,分别设为 a1,a2,a3,a4,不要二胎的共有 2 人,分别设为 b1,b2, 从中抽取三人,共有: (a1,a2,a3) , (a1,a2,a4) , (a1,a2,b1) , (a1,a2,b2) , (a1,a3,a4) , (a1,a3,b1) , (a1,a3,b2) , (a1,a4,b1) , (a1,a4,b1) , (a1,b1,b2) , (a2,a3,a4) , (a2,a3,b1) , (a2,a3,b2) , (a2,a4,b2) , (a2,a4,b2) , (a2,b1,b2) , (a3,a4,b1) , (a3,a4,b2) , (a3,b1,b2) , (a4,b1,b2) , 共 20 种情况, 其中复合题意的事件为: (a1,a2,a3) , (a1,a2,a4) , (a1,a3,a4) , (a2,a3,a4) , 概率为 P= = .
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19.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 AA1C1C⊥侧面 ABB1A1,AC=AA1= AA1C1=60°.AB⊥AA1,H 为棱 CC1 的中点,D 为 BB1 的中点. (Ⅰ)求证:A1D⊥平面 AB1H; (Ⅱ)AB= ,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积.

AB,∠

【考点】直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】 (1)由△ACC1 是等边三角形可得 AH⊥CC1,所以 AH⊥AA1,利用面面垂直的性 质得 AH⊥平面 ABB1A1, 故 AH⊥A1D, 在矩形 ABB1A1 中, 由 AA1= AB 可证 A1D⊥AB1, 从而 A1D⊥平面 AB1H. (2)连结 BH,则可证明 AA1⊥平面 ABH,由分割补形可知棱柱的体积等于 SABH?AA1. 【解答】证明: (1)连结 AC1,∵AC=AA1,∠ACC1=∠AA1C1=60°,∴△ACC1 是等边三 角形,∴AH⊥CC1, ∵CC1∥AA1,∴AH⊥AA1, AH? 平面 AA1C1C, 又∵侧面 AA1C1C⊥侧面 ABB1A1, 侧面 AA1C1C∩侧面 ABB1A1=AA1, ∴AH⊥平面 ABB1A1,∵A1D? 平面 ABB1A1, ∴AH⊥A1D. ∵四边形 ABB1A1 是平行四边形,AB⊥AA1,∴四边形 ABB1A1 是矩形, ∵AA1= AB,∴B1D= AB,∴ , ,

又∵∠DB1A1=∠B1A1A=90°,∴△DB1A1∽△B1A1A,∴∠DA1B1=∠A1AB1=∠AB1D, ∴∠AB1D+∠A1DB1=∠DA1B1+∠A1DB1=90°,∴A1D⊥AB1, 又∵AH? 平面 AB1H,AB1? 平面 AB1H,AH∩AB1=A, ∴A1D⊥平面 AB1H. (2)连结 BH,∵AH⊥AA1,AB⊥AA1,AH? 平面 ABH,AB? 平面 ABH,AB∩AH=A, ∴AA1⊥平面 ABH, ∵AH⊥平面 AB1BA1,AB? 平面 ABB1A1, ∴AH⊥AB. ∵AB= ,∴AC=AA1=2,∴AH= . ∴V =S△ ABH?AA1= = .

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20. 如图, 曲线 Γ 由两个椭圆 T1:

和椭圆 T2:

组成,当 a,b,c 成等比数列时,称曲线 Γ 为“猫眼曲线”. (1)若猫眼曲线 Γ 过点 ,且 a,b,c 的公比为 ,求猫眼曲线 Γ 的方程;

(2)对于题(1)中的求猫眼曲线 Γ,任作斜率为 k(k≠0)且不过原点的直线与该曲线相 交,交椭圆 T1 所得弦的中点为 M,交椭圆 T2 所得弦的中点为 N,求证: 为与 k 无关的

定值; (3)若斜率为 的直线 l 为椭圆 T2 的切线,且交椭圆 T1 于点 A,B,N 为椭圆 T1 上的任 意一点(点 N 与点 A,B 不重合) ,求△ABN 面积的最大值.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)由题意知 , = = ,从而求猫眼曲线 Γ 的方程;

(2)设交点 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,从而可得 化简可得 ,k?kON=﹣2;从而解得; ,联立方程化简 ,从而可得 可得

,联立方程

(3)设直线 l 的方程为

,同理

,从而利用两平行线间距离表示三角形的高,再求

;从而求最大面积.

【解答】解: (1)由题意知, ∴a=2,c=1, ∴ ,∴



= =





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(2)证明:设斜率为 k 的直线交椭圆 T1 于点 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,线段 CD 中点 M (x0,y0) , ∴ ,







∵k 存在且 k≠0, ∴x1≠x2,且 x0≠0, ∴ ,





同理,k?kON=﹣2; ∴ ; ,

(3)设直线 l 的方程为

联立方程得



化简得, 由△=0 化简得 m2=b2+2c2, ,



联立方程得



化简得 由△=0 得 m2=b2+2a2, ,



两平行线间距离:



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∴△ABN 的面积最大值为



21.已知函数 f(x)=

在点(1,f(1) )处的切线与 x 轴平行.

(1)求实数 a 的值及 f(x)的极值; (2)若对任意 x1,x2∈[e2,+∞) ,有| |> ,求实数 k 的取值范

围. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)求函数 f(x)的导数,根据导数的几何意义求出 a 的值,再利用 f′(x)=0, 求出函数 f(x)的极值;

(2)由|

|>

变形得

,构造函数

,利用导数求出 g(x)在定区间上的取值范围即可. 【解答】解: (1)∵函数 f(x)= ,

∴ 令 f'(1)=0, ∴ =0,



解得 a=1; 令 f′(x)=0,则 lnx=0, 解得 x=1, 即 f(x)有极大值为 f(1)=1;

(2)由|

|>

,可得





,则 g(x)=x﹣xlnx,其中 x∈(0,e﹣2],

g'(x)=﹣lnx,又 x∈(0,e﹣2],则 g'(x)=﹣lnx≥2,

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因此实数 k 的取值范围是(﹣∞,2]. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的 切线交 AD 于 E.若 AB=6,ED=2. (1)求证:CE⊥AD; (2)求 BC 的长.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)由条件可得 OC∥AD,利用平行线的性、圆的切线性质证得 CE⊥AD. (2)根据三角形相似的性质题意可得△ABC~△CDE,故有 BC 的值. 【解答】解: (1)由题意可得,O,C 分别为 AB,BD 的中点,所以 OC∥AD, 又 CE 为圆 O 的切线,CE⊥OC,所以 CE⊥AD. (2)依题意易知△ABC~△CDE,所以 从而 . ,又 BC=CD,所以 BC2=AB?DE=12, ,结合 BC=CD,求得

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的 极坐标方程为 θ= ,曲线 C 的参数方程为 .

(1)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; (2)过点 M 平行于直线 l1 的直线与曲线 C 交于 A、B 两点,若|MA|?|MB|= ,求点 M 轨迹的直角坐标方程. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)利用极坐标与直角坐标方程的互化,直接写出直线 l 的普通方程,消去参数可 C 得曲线 的直角坐标方程; (2)设点 M(x0,y0)以及平行于直线 l1 的直线参数方程,直线 l1 与曲线 C 联立方程组, 通过|MA|?|MB|= ,即可求点 M 轨迹的直角坐标方程.通过两个交点推出轨迹方程的范 围,
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【解答】解: (1)直线 l 的极坐标方程为 θ= 曲线 C 的参数方程为 可得曲线 …

,所以直线斜率为 1,直线 l:y=x;

.消去参数 θ,

(2)设点 M(x0,y0)及过点 M 的直线为

由直线 l1 与曲线 C 相交可得:

,即: x2+2y2=6 表示一椭圆… 取 y=x+m 代入 得:3x2+4mx+2m2﹣2=0



由△≥0 得 故点 M 的轨迹是椭圆 x2+2y2=6 夹在平行直线

之间的两段弧…

[选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|x+2|+|x﹣2|,x∈R,不等式 f(x)≤6 的解集为 M. (1)求 M; (2)当 a,b∈M 时,求证: . 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)|x+2|+|x﹣2|≤6 等价于 集合 M. (2)当 a,b∈M,即﹣3≤b≤3 时,要证 2 .由此能证明 . 【解答】解: (1)|x+2|+|x﹣2|≤6 等价于 或 或 或 ,由此能求出

,即证 3(a+b)2≤(ab+3)





解得﹣3≤x≤3, ∴M=[﹣3,3]. 证明: (2)当 a,b∈M,即﹣3≤b≤3 时, 要证 ,即证 3(a+b)2≤(ab+3)2. ∵3(a+b)2﹣(ab+3)2 =3(a2+2ab+b2)﹣(a2b2+6ab+9) =3a2+3b2﹣a2b2﹣9 =(a2﹣3) (3﹣b2)≤0,
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2016 年 9 月 20 日

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