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江苏省泰州市姜堰区2014-2015学年高二上学期期中考试考试数学(理)试卷


2014-2015 学年江苏省泰州市姜堰区高二 (上) 期中数学试卷 (理 科)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.在直角坐标系中,直线 2x﹣y﹣1=0 的斜率是 2.圆 x +y +2x﹣2y﹣7=0 的半径是
2 2





3.椭圆

/>+

=1 的焦点坐标是



4.抛物线 x =4y 的准线方程为

2



5.双曲线

的两条渐近线方程为



6.若圆 x +y =4 与圆 x +y ﹣2mx+m ﹣1=0 相外切,则实数 m=

2

2

2

2

2

. .

7.已知点 P 为直线 x+y﹣4=0 上一动点,则 P 到坐标原点的距离的最小值是

8.若方程

表示椭圆,则 k 的取值范围是



9.已知两圆 x +y =10 和(x﹣1) +(y﹣3) =10 相交于 A,B 两点,则直线 AB 的方程 是 . 10.已知点 P 在抛物线 y =4x 上运动,F 为抛物线的焦点,点 M 的坐标为(3,2) ,当 PM+PF 取最小值时点 P 的坐标为 . 11.已知点 P 是圆 C:x +y ﹣4ax﹣2by﹣5=0(a>0,b>0)上任意一点,若点 P 关于直线 x+2y﹣1=0 的对称点仍在圆 C 上,则 + 的最小值是 .
2 2 2

2

2

2

2

12.已知 O 为坐标原点,点 A(2,0) ,动点 P 与两点 O、A 的距离之比为 1: 迹方程是 .

,则 P 点轨

13.设集合 M={(x,y)|y=x+b},N={(x,y)|y=3﹣ b 的取值范围是 .

},当 M∩N≠? 时,则实数

14.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别 F1、F2,过点 F1 的直线交椭圆 C

于 A,B 两点,若

=3

,且 cos∠AF2B= ,则椭圆 C 的离心率是



二、解答题(本题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知点 P 为直线 l1:2x﹣3y﹣1=0 和直线 l2:x+y+2=0 的交点,M(1,2) ,N(﹣1,﹣ 5) . (Ⅰ)求过点 P 且与直线 l3:3x+y﹣1=0 平行的直线方程; (Ⅱ)求过点 P 且与直线 MN 垂直的直线方程. 16.已知三点 P(5,2) 、F1(﹣6,0) 、F2(6,0) . (Ⅰ)求以 F1、F2 为焦点且过点 P 的椭圆标准方程; (Ⅱ)设点 P、F1、F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P′、F1′、F2′,求以 F1′、F2′为焦 点且过点 P′的双曲线的标准方程. 17.某城市交通规划中,拟在以点 O 为圆心,半径为 50m 的高架圆形车道外侧 P 处开一个出 口,以与圆形道相切的方式,引申一条直道连接到距圆形道圆心 O 正北 250 m 的道路上 C 处(如图) ,以 O 为原点,OC 为 y 轴建立如图所示的直角坐标系,求直道 PC 所在的直线方 程,并计算出口 P 的坐标.

18.过点 P(﹣4,4)作直线 l 与圆 O:x +y =4 相交于 A、B 两点. (Ⅰ)若直线 l 变动时,求 AB 中点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 l 的斜率为﹣ ,求弦 AB 的长; (Ⅲ)若一直线与圆 O 相 切于点 Q 且与 x 轴的正半轴,y 轴的正半轴围成一个三角形,当 该三角形面积最小时,求点 Q 的坐标.

2

2

19.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(1,2)其焦点 F 在 x 轴 上. (Ⅰ)求抛物线 C 的标准方程; (Ⅱ)求过点 F 和 OA 的中点的直线的方程; (Ⅲ)设点 P(﹣1,m) ,过点 F 的直线交抛物线 C 于 B、D 两点,记 PB,PF,PD 的斜率分 别为 k1,k2,k3,求证:k1+k3=2k2.

20.在平面直角坐标系 xOy 中,已知定点 A(﹣4,0) ,B(4,0) ,动点 P 与 A、B 连线的斜 率之积为﹣ . (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设点 P 的轨迹与 y 轴负半轴交于点 C,半径为 r 的圆 M 的圆心 M 在线段 AC 的垂直平 分线上,且在 y 轴右侧,圆 M 被 y 轴截得弦长为 r. (1)求圆 M 的方程; (2)当 r 变化时,是否存在定直线 l 与动圆 M 均相切?如果存在,求出定直线 l 的方程; 如果不存在,说明理由.

2014-2015 学年江苏省泰州市姜堰区高二 (上) 期中数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.在直角坐标系中,直线 2x﹣y﹣1=0 的斜率是 2 . 考点: 直线的斜率. 专题: 直线与圆. 分析: 化直线方程为斜截式,由斜截式的特点可得. 解答: 解:直线 2x﹣y﹣1=0 可化为 y=2x﹣1, 由直线的斜截式可知直线斜率为:2 故答案为:2 点评: 本题考查直线的斜率,化直线方程为斜截式是解决问题的关键,属基础题. 2.圆 x +y +2x﹣2y﹣7=0 的半径是 3 . 考点: 圆的一般方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 把圆的方程化为标准形式,求得半径. 解答: 解:圆 x +y +2x﹣2y﹣7=0 可化为圆(x+1) +(y﹣1) =9, 2 2 ∴圆 x +y +2x﹣2y﹣7=0 的半径是 3, 故答案为:3 点评: 本题主要考查圆的标准方程,属于基础题.
2 2 2 2 2 2

3.椭圆

+

=1 的焦点坐标是 (1,0)和(﹣1,0) .

考点: 椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用椭圆的简单性质直接求解. 解答: 解:∵椭圆 ∴a =5,b =4, ∴c= =1,
2 2

+

=1,

∴椭圆焦点为(1,0)和(﹣1,0) . 故答案为: (1,0)和(﹣1,0) .

点评: 本题考查椭圆的焦点坐标的求法,是基础题,解题时要熟练掌握椭圆的简单性质的 合理运用. 4.抛物线 x =4y 的准线方程为 y=﹣1 . 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 由抛物线 x =2py(p>0)的准线方程为 y=﹣ 即可求得抛物线 x =4y 的准线方程. 解答: 解:∵抛物线方程为 x =4y, ∴其准线方程为:y=﹣1. 故答案为:y=﹣1. 点评: 本题考查抛物线的简单性质,掌握其几何性质是关键,属于基础题.
2 2 2 2

5.双曲线

的两条渐近线方程为



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲 线的渐近线方程. 解答: 解:∵双曲线 的 a=4,b=3,焦点在 x 轴上

而双曲线

的渐近线方程为 y=± x

∴双曲线 故答案为:

的渐近线方程为

点评: 本题考查了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程, 解题时要注意先定位,再定量的解题思想 6.若圆 x +y =4 与圆 x +y ﹣2mx+m ﹣1=0 相外切,则实数 m= ±3 . 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: 先求出圆的圆心和半径,根据两圆相外切,可得圆心距等于半径之和,求得 m 的值. 解答: 解: 圆 x +y =4 的圆心为 (0, 0) 、 半径为 2; 圆 x +y ﹣2mx+m ﹣1=0, 即 (x﹣m)+y =1, 表示圆心为(m,0) 、半径等于 1 的圆. 根据两圆相外切,可得圆心距等于半径之和,即|m|=2+1=3,求得 m=±3,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

故答案为:±3. 点评: 本题主要考查圆的标准方程,两个圆相外切的性质,属于基础题. 7.已知点 P 为直线 x+y﹣4=0 上一动点,则 P 到坐标原点的距离的最小值是 考点: 专题: 分析: 解答: .

点到直线的距离公式. 直线与圆. 本题可以利用点到直线的距离公式求出原点为到直线的距离,得到本题结论. 解:∵原点 O(0,0)到直线 x+y﹣4=0 的距离为: ,

∴直线 x+y﹣4=0 上一动点 P 到坐标原点的距离的最小值为: . 故答案为: : . 点评: 本题考查了点到直线的距离公式,本题难度不大,属于基础题.

8. (5 分) (2010 秋? 东台市期末) 若方程 5)∪(5,9) .

表示椭圆, 则 k 的取值范围是 (1,

考点: 椭圆的定义. 专题: 计算题. 分析: 根据方程表示椭圆得到两个代数式的分母都大于 0,且要两个分母不相等,解不等 式组,得到 k 的取值范围. 解答: 解:∵方程 表示椭圆,

∴9﹣k>0,k﹣1>0,9﹣k≠k﹣1 ∴k∈(1,5)∪(5,9) 故答案为: (1,5)∪(5,9) . 点评: 本题考查椭圆的定义,解题的关键是不要忽略调两个分母不相等的情况,即椭圆不 是圆,把构成圆的情况去掉. 9. 已知两圆 x +y =10 和 (x﹣1)+ (y﹣3)=10 相交于 A, B 两点, 则直线 AB 的方程是 x+3y ﹣5=0 . 考点: 相交弦所在直线的方程. 专题: 直线与圆. 分析: 把两个圆的方程相减,即可求得公共弦所在的直线方程. 解答: 解:把两圆 x +y =10 和(x﹣1) +(y﹣3) =10 的方程相减可得 x+3y﹣5=0, 此直线的方程既能满足第一个圆的方程、 又能满足第二个圆的方程, 故必是两个圆的公共弦 所在的直线方程, 故答案为:x+3y﹣5=0.
2 2 2 2 2 2 2 2

点评: 本题主要考查求两个圆的公共弦所在的直线方程的方法,属于基础题. 10.已知点 P 在抛物线 y =4x 上运动,F 为抛物线的焦点,点 M 的坐标为(3,2) ,当 PM+PF 取最小值时点 P 的坐标为 (1,2) . 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设点 P 在准线上的射影为 D,由抛物线的定义把问题转化为求 PM+PD 的最小值,同 时可推断出当 D,P,M 三点共线时 PM+PD 最小,答案可得. 解答: 解:设点 P 在准线上的射影为 D,由抛物线的定义可知 PF=PD, ∴要求 PM+PF 的最小值,即求 PM+PD 的最小值, 只有当 D,P,M 三点共线时 PM+PD 最小, 且最小值为 3﹣(﹣1)=4 令 y=2,可得 x=1, ∴当 PM+PF 取最小值时点 P 的坐标为(1,2) . 故答案为: (1,2) . 点评: 本题考查了抛物线的定义与标准方程、平面几何中求距离和的最小值等知识,正确 运用抛物线的定义是关键. 11.已知点 P 是圆 C:x +y ﹣4ax﹣2by﹣5=0(a>0,b>0)上任意一点,若点 P 关于直线 x+2y﹣1=0 的对称点仍在圆 C 上,则 + 的最小值是 18 .
2 2 2

考点: 圆的一般方程. 专题: 计算题;不等式的解法及应用;直线与圆. 分析: 由题意,x +y ﹣4ax﹣2by﹣5=0 表示的是以(2a,b)为圆心的圆,则直线 x+2y﹣ 1=0 过圆心,从而可得 a+b= (a>0,b>0) ,利用不等式即可. 解答: 解:x +y ﹣4ax﹣2by﹣5=0 表示的是以(2a,b)为圆心的圆, 2 2 故由曲线 x +y ﹣4ax﹣2by﹣5=0 上的任意一点关于直线 x+2y﹣1=0 的对称点仍在圆 C 上可 得, 直线 x+2y﹣1=0 过点(2a,b) ,则 2a+2b﹣1=0, 即 a+b= (a>0,b>0) , 则 + =2(a+b) ( + )=2(5+ + )≥2(5+4)=18. (当且仅当 = 时,等号成立)
2 2 2 2

故答案为:18. 点评: 本题考查了恒成立问题及圆的结构特征,同时考查了基本不等式的应用,属于中档 题. 12.已知 O 为坐标原点,点 A(2,0) ,动点 P 与两点 O、A 的距离之比为 1: 2 2 迹方程是 (x+1) +y =3 . 考点: 轨迹方程. ,则 P 点轨

专题: 计算题;直线与圆. 分析: 设 P(x,y) ,由已知条件利用两点间距离公式得(x﹣2) +y =3(x +y ) ,由此能求 出 P 点的轨迹方程. 解答: 解:设 P(x,y) , ∵动点 P 到两点 O、A 的距离之比为 1: , ∴|PA|= |PO|, ∴(x﹣2) +y =3(x +y ) , 2 2 化简得(x+1) +y =3, 2 2 故答案为: (x+1) +y =3. 点评: 本题考查点的轨迹方程的求法,考查学生的计算能力,比较基础. 13.设集合 M={(x,y)|y=x+b},N={(x,y)|y=3﹣ b 的取值范围是 [1﹣2 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由已知得直线 y=x+b 与圆(x﹣2) +(y﹣3) =4 有交点,由此能求出实数 b 的取值 范围. 解答: 解:∵集合 M={(x,y)|y=x+b},N={(x,y)|y=3﹣ M∩N≠? , ∴直线 y=x+b 与半圆(x﹣2) +(y﹣3) =4(1≤x≤3)有交点, 2 2 半圆(x﹣2) +(y﹣3) =4(1≤x≤3)表示: 圆心在(2,3) ,半径为 2 的圆的下半部分, y=x+b 表示斜率为 1 的平行线, 其中 b 是直线在 y 轴上的截距, 当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于半径, 即圆心(2,3)到直线 y=x+b 的距离 d= 解得 b=1﹣2 或 b=1+2 (舍) , 由图知 b 的取值范围是[1﹣2 ,3]. ∴实数 b 的取值范围是[1﹣2 ,3]. 故答案为:[1﹣2 ,3]. =2,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

},当 M∩N≠? 时,则实数

,3]



},

点评: 本题考查实数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意数形结合思 想的合理运用.

14.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别 F1、F2,过点 F1 的直线交椭圆 C

于 A,B 两点,若

=3

,且 cos∠AF2B= ,则椭圆 C 的离心率是



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设|F1B|=k(k>0) ,则|AF1|=3k,|AB|=4k,由 cos∠AF2B= ,利用余弦定理,可得 a=3k,从而△AF1F2 是等腰直角三角形,即可求椭圆 E 的离心率. 解答: 解:设|F1B|=k(k>0) ,则|AF1|=3k,|AB|=4k, ∴|AF2|=2a﹣3k,|BF2|=2a﹣k ∵cos∠AF2B= , ∴(4k) =(2a﹣3k) +(2a﹣k) ﹣ (2a﹣3k) (2a﹣k) , 化简可得 a=3k, ∴|AF2|=|AF1|=3k,|BF2|=5k 2 2 2 ∴|BF2| =|AF2| +|AB| , ∴AF1⊥AF2, ∴△AF1F2 是等腰直角三角形, ∴c= ∴e= = a, .
2 2 2

故答案为:



点评: 本题考查椭圆的定义,考查椭圆的性质,考查余弦定理的运用,考查学生的计算能 力,属于中档题. 二、解答题(本题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知点 P 为直线 l1:2x﹣3y﹣1=0 和直线 l2:x+y+2=0 的交点,M(1,2) ,N(﹣1,﹣ 5) . (Ⅰ)求过点 P 且与直线 l3:3x+y﹣1=0 平行的直线方程; (Ⅱ)求过点 P 且与直线 MN 垂直的直线方程. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)利用两直线平行研究直线的斜率,再根据条件过点 P,得到直线的方程; (Ⅱ)利用两直线垂直研究直线的斜率,再根据条件过点 P,得到直线的方程,得到本题结 论. 解答: 解:由题意得: (Ⅰ) ∴P(﹣1,﹣1) . ∵所求直线与直线 l3:3x+y﹣1=0 平行, ∴k=﹣3, ∴所求直线方程为:3x+y+4=0. (Ⅱ)直线 MN 所在直线的斜率为: , ,解得: ,

∵所求直线与两点 M(1,2) ,N(﹣1,﹣5)所在直线垂直, ∴k= ,

则所求直线方程为:2x+7y+9=0. 点评: 本题考查了两直线平行和两直线垂直,本题难度不大,属于基础题. 16.已知三点 P(5,2) 、F1(﹣6,0) 、F2(6,0) . (Ⅰ)求以 F1、F2 为焦点且过点 P 的椭圆标准方程; (Ⅱ)设点 P、F1、F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P′、F1′、F2′,求以 F1′、F2′为焦 点且过点 P′的双曲线的标准方程. 考点: 圆锥曲线的综合;椭圆的应用. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)根据题意设出所求的椭圆的标准方程,然后代入半焦距,求出 a,b.最后写 出椭圆标准方程. (Ⅱ)根据三个已知点的坐标,求出关于直线 y=x 的对称点分别为点,设出所求双曲线标准 方程,代入求解即可. 解答: 解: (1)由题意可设所求椭圆的标准方程为

(a>b>0) , 其半焦距 c=6



,b =a ﹣c =9.

2

2

2

所以所求椭圆的标准方程为 (2)点 P(5,2) 、F1(﹣6,0) 、F2(6,0) 关于直线 y=x 的对称点分别为点 P′(2,5) 、F1′(0,﹣6) 、F2′(0,6) . 设所求双曲线的标准方程为 由题意知,半焦距 c1=6, , b1 =c1 ﹣a1 =36﹣20=16. 所以所求双曲线的标准方程为 .
2 2 2

点评: 本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本 运算能力.属于中档题. 17.某城市交通规划中,拟在以点 O 为圆心,半径为 50m 的高架圆形车道外侧 P 处开一个出 口,以与圆形道相切的方式,引申一条直道连接到距圆形道圆心 O 正北 250 m 的道路上 C 处(如图) ,以 O 为原点,OC 为 y 轴建立如图所示的直角坐标系,求直道 PC 所在的直线方 程,并计算出口 P 的坐标.

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆.

分析: 由题意可得圆形道的方程为 x +y =50 ,点 C 的坐标为(0,250 ) .根据 CP 与圆 O 相切求得 CP 的斜率 k 的值,再根据两条直线垂直的性质求得 OP 的斜率,可得 OP 的方程, 再根据 CP、OP 的方程,求得 P 点坐标. 解答: 解:由题意可得圆形道的方程为 x +y =50 ,引伸道与北向道路的交接点 C 的坐标为 (0,250 ) . 设 CP 的方程为 y=kx+250 ,由图可知 k<0. 又 CP 与圆 O 相切,∴ O 到 CP 距离 ∴CP 的方程为 y=﹣7x+250 ①. = . 则 OP 的方程是:y= x ②. =50,解得 k=﹣7,
2 2 2

2

2

2

又 OP⊥CP,∴KOP? KCP=﹣1,∴KOP=﹣

由①②解得 P 点坐标为(35 ,5 ) , ∴引伸道所在的直线方程为 7x+y﹣250 =0,出口 P 的坐标是(35 ,5 ) . 点评: 本题主要考查两条直线垂直的性质,直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式, 属于基础题. 18.过点 P(﹣4,4)作直线 l 与圆 O:x +y =4 相交于 A、B 两点. (Ⅰ)若直线 l 变动时,求 AB 中点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 l 的斜率为﹣ ,求弦 AB 的长; (Ⅲ)若一直线与圆 O 相 切于点 Q 且与 x 轴的正半轴,y 轴的正半轴围成一个三角形,当 该三角形面积最小时,求点 Q 的坐标.
2 2

考点: 轨迹方程. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (Ⅰ)点 M 所在曲线是以 OP 为直径的圆,可得 AB 中点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)求出直线 l 的方程是:y﹣4=﹣ (x+4) ,可得点 O 到直线 l 的距离,即可求弦 AB 的 长; (Ⅲ) 求出两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积, 利用基本不等式可得该三角形面 积最小时,点 Q 的坐标. 解答: 解: (Ⅰ)因为点 M 是 AB 的中点,所以 OM⊥AB, 则点 M 所在曲线是以 OP 为直径的圆,其方程为 x(x+4)+y(y﹣4)=0,

即(x+2) +(y﹣2) =8;

2

2

…(4 分)

(Ⅱ)因为直线 l 的斜率为﹣ ,所以直线 l 的方程是:y﹣4=﹣ (x+4) , 即 x+2y﹣4=0,…(6 分) 设点 O 到直线 l 的距离为 d,则 d= 所以 AB=2 = ; , …(10 分)

(Ⅲ)设切点 Q 的坐标为(x0,y0) (x0>0,y0>0) .则切线斜率为﹣



所以切线方程为 y﹣y0=﹣ 又 x0 +y0 =4,则 x0x+y0y=4
2 2

(x﹣x0) . …(12 分) = .…(14 分)

此时,两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积 S=
2 2

由 x0 +y0 =4≥2x0y0,知当且仅当 x0=y0= 时,x0y0 有最大值. 即 S 有最小值.因此点 Q 的坐标为( , ) . …(16 分) 点评: 本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考察基本不等式的运用,属于中档 题. 19.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(1,2)其焦点 F 在 x 轴 上. (Ⅰ)求抛物线 C 的标准方程; (Ⅱ)求过点 F 和 OA 的中点的直线的方程; (Ⅲ)设点 P(﹣1,m) ,过点 F 的直线交抛物线 C 于 B、D 两点,记 PB,PF,PD 的斜率分 别为 k1,k2,k3,求证:k1+k3=2k2.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由题意可设抛物线的方程为:y =2px, (p>0) ,由已知得 4=2p,由此能求出 抛物线 C 的标准方程.
2

(Ⅱ)由(1)知:F(1,0) ,OA 的中点 M 的坐标为(

) ,由此能求出直线 FM 的方程.

(Ⅲ)当直线的斜率不存在时,F(1,0) ,B(1,2) ,D(1,﹣2) ,k1+k3=2k2;当直线的斜 率存在时,设直线的方程为 y=k(x﹣1) ,设 B(x1,y1) ,D(x2,y2) ,由已知条件推导出

=2k﹣(2k+m)﹣

,由此能证明 k1+k3=2k2.
2

解答: (Ⅰ)解:由题意可设抛物线的方程为:y =2px, (p>0) , 因为抛物线经过点 A(1,2) ,所以 4=2p,解得:p=2, 则抛物线 C 的标准方程是:y =4x.…(3 分) (Ⅱ)解:由(1)知:F(1,0) ,OA 的中点 M 的坐标为( 则 kFM= =﹣2, ) ,
2

所以直线 FM 的方程是:2x+y﹣2=0.…(6 分) (Ⅲ)证明:当直 线的斜率不存在时,则 F(1,0) ,B(1,2) ,D(1,﹣2) , 所以 , , ,

则 k1+k3=2k2,…(8 分) 当直线的斜率存在时,设为 k,则直线的方程为 y=k(x﹣1) , 设 B(x1,y1) ,D(x2,y2) , 则 同理可得: 所以 , = ,

=2k﹣(2k+m)﹣

,…(12 分)

由方程组

,消去 y,并整理得:k x ﹣2(k +2)x+k =0,

2 2

2

2

所以 x1x2=1,…(14 分) 则 k1+k3=2k﹣(2k+m)×1=﹣m, 又 ,所以 k1+k3=2k2,

综上所述:k1+k3=2k2.…(16 分)

点评: 本题考查抛物线 C 的标准方程的求法,考查直线的方程的求法,考查 k1+k3=2k2 的证 明,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用. 20.在平面直角坐标系 xOy 中,已知定点 A(﹣4,0) ,B(4,0) ,动点 P 与 A、B 连线的斜 率之积为﹣ . (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设点 P 的轨迹与 y 轴负半轴交于点 C,半径为 r 的圆 M 的圆心 M 在线段 AC 的垂直平 分线上,且在 y 轴右侧,圆 M 被 y 轴截得弦长为 r. (1)求圆 M 的方程; (2)当 r 变化时,是否存在定直线 l 与动圆 M 均相切?如果存在,求出定直线 l 的方程; 如果不存在,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)设 P 点的坐标为(x,y) ,由已知得 ,由此能求出点 P 的轨

迹方程. (Ⅱ) (1)由题意知:C(0,﹣2) ,A(﹣4,0) ,线段 AC 的垂直平分线方程为 y=2x+3,由 此能求出圆 M 的方程. (2)假设存在定直线 l 与动圆 M 均相切,当定直线 l 的斜率不存在时,不合题意,当定直 线 l 的斜率存在时,设直线 l:y=kx+b,则 求出存在两条直线 y=3 和 4x+3y﹣9=0 与动圆 M 均相切. 解答: 解: (Ⅰ)设 P 点的坐标为(x,y) , 则 kPA= kPB= ,x≠﹣4, ,x≠4, , 对任意 r>0 恒成立,由此能

因为动点 P 与 A、B 连线的斜率之积为﹣ ,所以

化简得:



所以点 P 的轨迹方程为

(x≠±4)…(6 分)

(Ⅱ) (1)由题意知:C(0,﹣2) ,A(﹣4,0) , 所以线段 AC 的垂直平分线方程为 y=2x+3,…(8 分) 设 M(a,2a+3) (a>0) , 则⊙M 的方程为(x﹣a) +(y﹣2a﹣3) =r , 因为圆心 M 到 y 轴的距离 d=a,由 ,得:a= ,…(10 分)
2 2 2

所以圆 M 的方程为 (2)假设存在定直线 l 与动圆 M 均相切, 当定直线 l 的斜率不存在时,不合题意,…(12 分) 当定直线 l 的斜率存在时,设直线 l:y=kx+b, 则 对任意 r>0 恒成立, ,得:
2 2

.…(11 分)

由|k× ﹣r﹣3+b|=r (
2 2

) r +(k﹣2) (b﹣3)r+(b﹣3) =(1+k )r ,…(14 分)

2

所以

,解得:





所以存在两条直线 y=3 和 4x+3y﹣9=0 与动圆 M 均相切.…(16 分) 点评: 本题考查点 P 的轨迹方程的求法,考查圆的方程的求法,考查当 r 变化时,是否存 在定直线 l 与动圆 M 均相切的判断与求法, 解题时要认真审题, 注意函数与方程思想的合理 运用.


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