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第3章3.2.1同步训练及详解


高中数学必修一同步训练及解析

1.当 x 越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是( ) A.y=100x B.y=log100x C.y=x100 D.y=100x 解析:选 D.由于指数型函数的增长是爆炸式增长, 则当 x 越来越大时, 函数 y=100x 的增长速度最快. 2.某厂原来月产量为 a,一月份增产 10%,二月份比一月份减产 10%,设

二月份产量为 b, 则( ) A.a>b B.a<b C.a=b D.无法判断 1 解析:选 A.∵b=a(1+10%)(1-10%)=a(1- ), 100 99 ∴b=a× ,∴b<a. 100 3.某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个…这样,一个细胞分裂 x 次后, 得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系式是________. 解析:该函数关系为 y=2x,x∈N*. 答案:y=2x(x∈N*) 4.每年的 3 月 12 日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树 活动.某市现有树木面积 10 万平方米,计划今后 5 年内扩大树木面积,有两种方案如下: 方案一:每年植树 1 万平方米; 方案二:每年树木面积比上年增加 9%. 你觉得方案________较好. 解析:方案一:5 年后树木面积是 10+1×5=15(万平方米). 方案二:5 年后树木面积是 10(1+9%)5≈15.386(万平方米). ∵15.386>15,∴方案二较好. 答案:二 [A 级 基础达标] 1.马先生于两年前购买了一部手机,现在这款手机的价格已降为 1000 元,设这种手机每年 降价 20%,那么两年前这部手机的价格为( ) A.1535.5 元 B.1440 元 C.1620 元 D.1562.5 元 解析:选 D.设这部手机两年前的价格为 a,则有 a(1-0.2)2=1000,解得 a=1562.5 元,故 选 D. 2.为了改善某地的生态环境,政府决心绿化荒山,计划第一年先植树 0.5 万亩,以后每年 比上年增加 1 万亩,结果第 x 年植树亩数 y(万亩)是时间 x(年数)的一次函数,这个函数的图 象是( )

1

解析:选 A.当 x=1 时,y=0.5,且为递增函数. 3.某动物数量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y=alog2(x+1),设第一年有 100 只,则到第七年 它们发展到( ) A.300 只 B.400 只 C.500 只 D.600 只 解析:选 A.由已知第一年有 100 只,得 a=100,将 a=100,x=7 代入 y=alog2(x+1),得 y=300. 4.某汽车油箱中存油 22 kg,油从管道中匀速流出,200 分钟流尽,油箱中剩余量 y(kg)与 流出时间 x(分钟)之间的函数关系式为__________. 22 11 11 解析:流速为 = ,x 分钟可流 x. 200 100 100 11 答案:y=22- x 100 5.从盛满 20 升纯酒精的容器里倒出 1 升,然后用水加满,再倒出 1 升混合溶液,再用水加 满,这样继续下去,则所倒次数 x 和酒精残留量 y 之间的函数关系式为________. 解析:第一次倒完后,y=19; 19 192 第二次倒完后,y=19× = 1; 20 20 19 19 193 第三次倒完后,y=19× × = 2; 20 20 20 … 19?x 19x 第 x 次倒完后,y= x-1=20×? ?20? . 20 19x 答案:y= -1 20x 6.某商家有一种商品,成本费为 a 元,如果月初售出可获利 100 元,再将本利都存入银行, 已知银行月息为 2.4%,如果月末售出可获利 120 元,但要付保管费 5 无,试就 a 的取值说 明这种商品是月初售出好,还是月末售出好? 解:已知商品的成本费为 a 元,则若月初售出,到月末共获利润为: y1=100+(a+100)×2.4%=0.024a+102.4, 若月末售出,可获利 y2=120-5=115(元), y1-y2=0.024a-12.6=0.024(a-525). 故当成本 a 大于 525 元时,月初售出好; 当成本 a 小于 525 元时,月末售出好; 当成本 a 等于 525 元时,月初、月末售出获利相同. [B 级 能力提升] 7.某人将 5 万元存入银行,年利率 6%,按复利计算利息,4 年后支取,可得利息为( ) A.5(1+0.06)4 万元 B.(5+0.06)4 万元 C.5(1+0.06)4-5 万元 D.5(1+0.06)3-5 万元
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解析:选 C.4 年后的本息和为 5(1+0.06)4,去掉本金 5 万元得利息 5(1+0.06)4-5(万元), 故选 C. 8.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%,要增长到原来的 x 倍,需经过 y 年, 则函数 y=f(x)的图象大致为( )

解析:选 D. 设该林区的森林原有蓄积量为 a ,由题意可得 ax = a(1 + 0.104)y ,故 y = log1.104x(x≥1),函数为对数函数,所以函数 y=f(x)的图象大致为 D 中图象,故选 D. 9.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度 v 米/秒和燃料的质量 M 千克、火箭(除燃 M? 料外)的质量 m 千克的函数关系式是 v=2000· ln? ?1+ m ?.当燃料质量是火箭质量的________倍 时,火箭的最大速度可达 12 千米/秒. 解析:当 v=12000 米/秒时, M? 2000· ln? ?1+ m ?=12000, M? ∴ln? ?1+ m ?=6, M ∴ =e6-1. m 答案:e6-1 10.某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器 12 台和 6 台.现销售给 A 地 10 台,B 地 8 台,已知从甲地调运 1 台至 A 地、B 地的运费分别为 400 元和 800 元,从乙地调运 1 台至 A 地、B 地的运费分别为 300 元和 500 元. (1)设从乙地调运 x 台至 A 地,求总运费 y 关于 x 的函数关系式; (2)若总运费不超过 9000 元,问共有几种调运方案; (3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费. 解:(1)依题意,得 y=400×(10-x)+800×[12-(10-x)]+300x+500×(6-x), 即 y=200(x+43)(0≤x≤6,x∈Z). (2)由 y≤9000,解得 x≤2, 又∵x∈Z,0≤x≤6,∴x=0,1,2. ∴共有三种调运方案. (3)由一次函数的单调性知,当 x=0 时,总运费 y 最低,ymin=8600(元). 即从乙地调 6 台给 B 地,甲地调 10 台给 A 地、调 2 台给 B 地的调运方案的总运费最低,最 低运费为 8600 元. 11.人们对声音有不同的感觉,这与它的强度 I(单位:W/m2)有关系.但在实际测量时,常 I - 用声音的强度水平 L1(单位:dB)表示,它满足公式:L1=10· lg (L1≥0,其中 I0=1×10 12 I0 W/m2,这是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端).根据以上材料,回答下列问题: - - (1)树叶沙沙声的强度是 1×10 12 W/m2,耳语声的强度是 1×10 10 W/m2,恬静的无线电广 - 播声的强度是 1×10 8 W/m2,试分别求出它们的强度水平; (2)在某一新建的安静小区规定:小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在 50 dB 以下, 试求声音的强度 I 的范围是多少? I1 - 解:(1)由题意可知,树叶沙沙声的强度是 I1=1×10 12W/m2,则 =1,所以 LI1=10lg1=0, I0 则树叶沙沙声的强度水平为 0 dB; I2 - 耳语声的强度是 I2=1×10 10 W/m2,则 =102, I0
3

所以 LI2=10lg102=20,即耳语声的强度水平为 20 dB; - 恬静的无线电广播声的强度是 I3=1×10 8 W/m2, I3 则 =104,所以 LI3=10lg104=40, I0 即恬静的无线电广播声的强度水平为 40 d B. I (2)由题意知,0≤L1<50,即 0≤10lg <50, I0 I - - 所以 1≤ <105,即 10 12≤I<10 7.所以小区内公共场所的声音的强度 I 的范围为大于或等于 I0 10
-12

W/m2,同时应小于 10

-7

W/m2.

4


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