tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

导数知识点总结及应用


《导数及其应用》知识点总结
一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率:函数 f (x) 在区间 [x1, x2 ] 上的平均变化率为:

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 。 x2 ? x1

2. 导数的定义:设函数 y ? f ( x) 在区间 (a , b ) 上有定义, x0 ? ( a, b) ,若 ? x 无限趋近于 0 时,比值

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 无限趋近于一个常数 A, 则称函数 f (x) 在 x ? x0 处可导, 并称该常数 A 为函数 f (x) 在 ? ?x ?x
x ? x0 处的导数,记作 f ?( x0 ) 。函数 f (x) 在 x ? x0 处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

3. 求函数导数的基本步骤:( 1 )求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ;( 2 )求平均变化率:

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ;(3)取极限,当 ? x 无限趋近与 0 时, 无限趋近与一个常数 A,则 ?x ?x
f ?( x0 ) ? A .

4. 导数的几何意义: 函数 f (x) 在 x ? x0 处的导数就是曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率。由此,可以利用导数求 曲线的切线方程,具体求法分两步: (1)求出 y ? f ( x) 在 x0 处的导数,即为曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率; (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) 。 当点 P( x0 , y0 ) 不在 y ? f ( x) 上时,求经过点 P 的 y ? f ( x) 的切线方程,可设切点坐标,由切点坐标得到 切线方程,再将 P 点的坐标代入确定切点。 特别地, 如果曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线平行与 y 轴, 这时导数不存在,根据切线定义,可得切线方程为 x ? x0 。 5. 导数的物理意义: 质点做直线运动的位移 S 是时间 t 的函数 S (t ) ,则 V ? S ?(t ) 表示瞬时速度, a ? v ?(t ) 表示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数: (1) (kx ? b)? ? k (k, b 为常数); (3) ( x)? ? 1 ; (5) ( x3 )? ? 3x2 ; (7) ( x )? ? 1 ; 2 x (2) C ? ? 0 (C 为常数); (4) ( x 2 )? ? 2 x ; (6) ( 1 )? ? ? 12 ; x x (8) ( xα )? ? αxα ?1 (α 为常数);

1

(9) (a x )? ? a x ln a(a ? 0, a ? 1) ; (11) (e x )? ? e x ; (13) (sin x)? ? cos x ; 2. 函数的和、差、积、商的导数: (1) [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) ;

(10) (log a x)? ? 1 log a e ? 1 (a ? 0, a ? 1) ; x x ln a (12) (ln x)? ? 1 ; x (14) (cos x)? ? ? sin x 。

(2) [Cf ( x)]? ? Cf ?( x) (C 为常数); f ( x) f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ]? ? ( g ( x) ? 0) 。 (3) [ f ( x) g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ; (4) [ g ( x) g 2 ( x) 3. 简单复合函数的导数:
? ? yu ? ? ux ? ,即 y x ? ? yu ? ?a。 若 y ? f (u ), u ? ax ? b ,则 yx

三、导数的应用 1. 求函数的单调性: 利用导数求函数单调性的基本方法:设函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内可导, (1)如果恒 f ?( x) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上为增函数; (2)如果恒 f ?( x) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上为减函数; (3)如果恒 f ?( x) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上为常数函数。 利用导数求函数单调性的基本步骤:①求函数 y ? f ( x) 的定义域;②求导数 f ?( x) ; ③解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集在定义域内的不间断区间为增区间;④解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集在定义域内的 不间断区间为减区间。 反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围): 设函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内可导, (1)如果函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上为增函数,则 f ?( x) ? 0 (其中使 f ?( x) ? 0 的 x 值不构成区间); (2) 如果函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上为减函数,则 f ?( x) ? 0 (其中使 f ?( x) ? 0 的 x 值不构成区间); (3) 如果函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上为常数函数,则 f ?( x) ? 0 恒成立。 2. 求函数的极值: 设函数 y ? f ( x) 在 x0 及其附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点都有 f ( x) ? f ( x0 ) (或 f ( x) ? f ( x0 ) ), 则称 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的极小值(或极大值)。 可导函数的极值,可通过研究函数的单调性求得,基本步骤是: (1)确定函数 f ( x) 的定义域; (2)求导数 f ?( x) ; (3)求方程 f ?( x) ? 0 的全部实根, x1 ? x2 ? ? ? xn , 顺次将定义域分成若干个小区间,并列表:x 变化时, f ?( x) 和 f ( x) 值的变化情况:

x
f ?( x) f ( x)

(??, x1 )

x1

( x1 , x2 )



xn

( xn , ??)

正负 单调性

0

正负 单调性

0

正负 单调性

(4)检查 f ?( x) 的符号并由表格判断极值。 3. 求函数的最大值与最小值: 如果函数 f ( x) 在定义域 I 内存在 x0 ,使得对任意的 x ? I ,总有 f ( x) ? f ( x0 ) ,则称 f ( x0 ) 为函数在定义 域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一,但在定义域内的最值是唯一的。
2

求函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的最大值和最小值的步骤: (1)求 f ( x) 在区间 (a, b) 上的极值; (2)将第一步中求得的极值与 f (a), f (b) 比较,得到 f ( x) 在区间 [a, b] 上的最大值与最小值。 4. 解决不等式的有关问题: (1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。

f ( x)( x ? A) 的值域是 [a , b ] 时,不等式 f ( x) ? 0 恒成立的充要条件是 f ( x)max ? 0 ,即 b ? 0 ;不等式
f ( x ) ? 0 恒成立的充要条件是 f ( x ) min ? 0 ,即 a ? 0 。

f ( x)( x ? A) 的值域是 ( a, b) 时,不等式 f ( x) ? 0 恒成立的充要条件是 b ? 0 ;不等式 f ( x) ? 0 恒成立的
充要条件是 a ? 0 。 ( 2 ) 证 明 不 等 式 f ( x) ? 0 可 转 化 为 证 明 f ( x)max ? 0 , 或 利 用 函 数 f ( x) 的 单 调 性 , 转 化 为 证 明
f ( x) ? f ( x0 ) ? 0 。

5. 导数在实际生活中的应用: 实际生活求解最大(小)值问题,通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最值时,一定要 注意,极值点唯一的单峰函数,极值点就是最值点,在解题时要加以说明。

3

4

5

6



推荐相关:

《导数及其应用》知识点总结

导数及其应用知识点总结 - 《导数及其应用知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率:函数 f (x) 在区间 [x1, x2 ] 上的平均变化...


导数及其应用(知识点总结)

导数及其应用(知识点总结) - 导数及其应用 知识点总结 1、函数 f ? x ? 从 x1 到 x2 的平均变化率: 2、导数定义: f ? x ? 在点 x0 处的导数记作...


高中数学导数知识点归纳总结及例题

高中数学导数知识点归纳总结及例题_数学_高中教育_教育专区。高中数学导数知识点...导数的运算 导数的运算法则 函数的单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值 ...


《导数及其应用》知识点总结

导数及其应用知识点总结 - 《导数及其应用知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率:函数 f (x) 在区间 [x1, x2 ] 上的平均变化...


高中数学导数知识点归纳总结

高中数学导数知识点归纳总结 - § 14. 导数 知识要点 导数的概念 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数 导数 导数的运算 导数的运算法则 函数的单调性 导数...


高中数学导数知识点归纳总结及例题

高中数学导数知识点归纳总结及例题 - 导数 考试内容: 导数的背影.导数的概念.多项式函数的导数.利用导数研究函数的单调性和极值.函数的 最大值和最小值.考试要求...


导数知识点总结及重要例题

导数知识点总结及重要例题 - 《导数》复习 一、基础知识理解: 1.平均变化率与导数 平均变化率 计算公式 物理意义 几何意义 例 1 函数 f ( x) 在 x ? x0...


导数知识点各种题型归纳方法总结(浦仕国)_图文

曲靖经开区一中 2017 届高三 6、7 班文科数学备考复习专题—《导数及应用》题型归纳(内部资料,仅供参考) 主编:浦仕国 2016 年 6 月 《导数知识点和各种...


高考积分,导数知识点精华总结

高考积分,导数知识点精华总结 - 定积分 一、知识点与方法: 1、定积分的概念 设函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续, 用分点 a = x0 < x1 <...


(最新)导数知识点总结

(最新)导数知识点总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区。全国直营,中国 1 对 1 个性化教育责任品牌 1.导数的几何意义: 函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处的...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com