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2015-2016学年高一(上)期末数学试卷(解析版)


2015-2016 学年浙江省台州市高一(上)期末数学试卷
一、选择题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求的. 1.已知集合 A={1,2,3},集合 B={2,3,4},则 A∩B 等于( ) A.{2,3} B.{1,2} C.{3,4} D.{1,2,3,4} 2.函数 f(x)=2tan(2x+

A. B. C.π D.2π ) )的最小正周期为( )

3.已知向量 =(3,1) , =(2,4) ,则向量 =( A. (5,5) B. (6,4) C. (﹣1,3) D. (1,﹣3)

4.为了得到函数 y=sin(x+ )的图象,只需把 y=sinx 图象上所有的点( A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 +α)=( D. =( ) 个单位 )



5.已知 cosα= ,则 sin( A. 6. B.﹣ C.﹣ ﹣

A.lg B.1 C.﹣1 D.lg 7.已知向量 =(3,4) , =(1,﹣2) ,若 ⊥( +t ) ,则实数 t 的值为( A.﹣5 B.1 C.﹣1 D.5 8.已知 tan(π﹣α)=﹣2,则 A.﹣3 B.﹣ C. D.3 =( ) )

9.已知 0<a<1,f(x)=ax,g(x)=logax,h(x)= ,当 x>1 时,则有( ) A.f(x)<g(x)<h(x) B.g(x)<f(x)<h(x) C.g(x)<h(x)<f(x) D.h (x)<g(x)<f(x) 10.已知函数 f(x)= ,则 f(﹣ )+f( )=( )

A.3 B.5 C.

D. )

11.函数 f(x)=ln( ﹣x)的图象大致为(

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A.

B.

C.

D.

12.已知向量 , 满足| |=2,| + |=2,| ﹣ |=2 A. B. C. D.

,则向量 与 的夹角为(



13.已知函数 f(x)=|log0.5x|,若正实数 m,n(m<n)满足 f(m)=f(n) ,且 f(x)在区 2 间[m ,n]上的最大值为 4,则 n﹣m=( ) A. B. C. D.

14.已知函数 f(x)=a?( )x+bx2+cx(α∈R,b≠0,c∈R) ,若{x|f(x)=0}={x|f(f(x) ) =0}≠?,则实数 c 的取值范围为( ) A. (0,4) B.[0,4]C. (0,4]D.[0,4) 二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 3 分.、共 18 分. 15.已知幂函数 f(x)的图象经过点(3, ) ,则 f(x)= .

16.已知函数 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=x3+1,则 f(﹣2)= . 17.已知点 O 为△ ABC 内一点,满足 + + = ,则△ AOB 与△ ABC 的面积之比 是 . 18.函数 f(x)=log3(x﹣1)+log3(3﹣x)的单调递增区间为 19. 已知 θ∈ ( , y 同时满足 ) , 若存在实数 x, = , . +

=

,则 tanθ 的值为



20.已知函数 f(x)=sin

+e﹣|x﹣1|,有下列四个结论:

①图象关于直线 x=1 对称; ②f(x)的最大值是 2; ③f(x)的最大值是﹣1, ; ④f(x)在区间[﹣2015,2015]上有 2015 个零点. 其中正确的结论是 (写出所有正确的结论序号) .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 40 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21.已知函数 f(x)=2x,x∈(0,2)的值域为 A,函数 g(x)=log2(x﹣2a)+ <1)的定义域为 B. (Ⅰ)求集合 A,B;
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(a

(Ⅱ)若 B?A,求实数 a 的取值范围. 22.已知函数 f(x)=cos(ωx+φ) (ω>0,﹣π<φ<0)的最小正周期为 π,且它的图象过 点( , ) .

(Ⅰ)求 ω,φ 的值; (Ⅱ)求函数 y=f(x)的单调增区间. 23.已知函数 f(x)=x2+4[sin(θ+ )]x﹣2,θ∈[0,2π]].

(Ⅰ)若函数 f(x)为偶函数,求 tanθ 的值; (Ⅱ)若 f(x)在[﹣ ,1]上是单调函数,求 θ 的取值范围. 24.如图,在△ OAB 中,点 P 为线段 AB 上的一个动点(不包含端点) ,且满足 (Ⅰ)若 λ= ,用向量 (Ⅱ)若| |=4,| , 表示 ; ? 的取值范围.





|=3,且∠AOB=60°,求

25.已知 a>0,b∈R,函数 f(x)=4ax2﹣2bx﹣a+b,x∈[0,1]. (Ⅰ)当 a=b=2 时,求函数 f(x)的最大值; (Ⅱ)证明:函数 f(x)的最大值|2a﹣b|+a; (Ⅲ)证明:f(x)+|2a﹣b|+a≥0.

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2015-2016 学年浙江省台州市高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求的. 1.已知集合 A={1,2,3},集合 B={2,3,4},则 A∩B 等于( ) A.{2,3} B.{1,2} C.{3,4} D.{1,2,3,4} 【考点】交集及其运算. 【分析】根据集合交集的定义,列举出集合 A、B 的全部元素组成集合,即可得答案. 【解答】解:根据题意,A={1,2,3},B={2,3,4}, 集合 A、B 的公共元素为 2,3.则 A∩B={2,3}. 故选 A.

2.函数 f(x)=2tan(2x+ A. B. C.π D.2π

)的最小正周期为(



【考点】正切函数的图象. 【分析】根据正切函数的周期公式进行求解即可. 【解答】解:函数的周期 T= 故选:B. 3.已知向量 =(3,1) , =(2,4) ,则向量 =( A. (5,5) B. (6,4) C. (﹣1,3) D. (1,﹣3) 【考点】平面向量的坐标运算. 【分析】根据向量的坐标加减的运算法则计算即可. 【解答】解:向量 =(3,1) , =(2,4) , 则向量 = ﹣ =(2,4)﹣(3,1)=(﹣1,3) , 故选:C. ) ,

4.为了得到函数 y=sin(x+ )的图象,只需把 y=sinx 图象上所有的点( A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位



【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案. 【解答】解:∵由 y=sinx 到 y=sin(x+ ) ,只是横坐标由 x 变为 x+ ,

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∴要得到函数 y=sin(x+ )的图象,只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度. 故选:A.

5.已知 cosα= ,则 sin( A. B.﹣ C.﹣

+α)=( D.



【考点】运用诱导公式化简求值. 【分析】由条件利用诱导公式进行化简求值,可得结果. 【解答】解:∵cosα= ,则 sin( 故选:A. +α)=cosα= ,

6.



=(



A.lg B.1 C.﹣1 D.lg 【考点】对数的运算性质. 【分析】判断 lg2﹣1 的符号化简. 【解答】解: 故选:C. 7.已知向量 =(3,4) , =(1,﹣2) ,若 ⊥( +t ) ,则实数 t 的值为( A.﹣5 B.1 C.﹣1 D.5 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可. 【解答】解:∵ =(3,4) , =(1,﹣2) , ∴ +t =(3+t,4﹣2t) , ∵ ⊥( +t ) , ∴ ?( +t )=0, ∴3(3+t)+4(4﹣2t)=0, ∴t=5, 故选:D. ) ﹣ =lg5﹣1﹣(1﹣lg2)=lg5+lg2﹣2=1﹣2=﹣1.

8.已知 tan(π﹣α)=﹣2,则 A.﹣3 B.﹣ C. D.3

=(



【考点】同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值. 【分析】利用诱导公式及已知可得 tanα=2,利用同角三角函数基本关系式化简所求后即可 计算得解.
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【解答】解:∵tan(π﹣α)=﹣tanα=﹣2,可得:tanα=2, ∴ 故选:D. 9.已知 0<a<1,f(x)=ax,g(x)=logax,h(x)= ,当 x>1 时,则有( ) A.f(x)<g(x)<h(x) B.g(x)<f(x)<h(x) C.g(x)<h(x)<f(x) D.h (x)<g(x)<f(x) 【考点】对数函数的图象与性质;指数函数的图象与性质. 【分析】由题意和三个函数的单调性可得函数的值域,比较可得. 【解答】解:∵0<a<1,∴f(x)=ax 在 R 上单调递减, ∴当 x>1 时,f(x)<f(1)=a<1, 结合指数函数的值域可得 f(x)∈(0,1) ; 同理∵0<a<1,∴g(x)=logax 在(0,+∞)上单调递减, ∴当 x>1 时,g(x)<g(1)=0, 结合对数函数的值域可得 g(x)∈(﹣∞,0) ; 又∴h(x)= 在[0,+∞)上单调递增, ∴当 x>1 时,g(x)>h(1)=1, 故 g(x)<f(x)<h(x) , B 故选: . = = =3.

10.已知函数 f(x)=

,则 f(﹣ )+f( )=(



A.3 B.5 C.

D.

【考点】函数的值. 【分析】利用分段函数的性质求解. 【解答】解:∵函数 f(x)= ,

∴f(﹣ )=f( )﹣1= f( )= =2,

﹣1=1,

∴f(﹣ )+f( )=1+2=3. 故选:A.

11.函数 f(x)=ln( ﹣x)的图象大致为(



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A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】求出函数的定义域,求出函数的单调性即可判断. 【解答】解:∵ ﹣x>0,即 <0,解得 x<﹣1 或 0<x<1,

设 t= ﹣x, 则 t′=﹣ ﹣1<0,

∴t 在(﹣∞,0) , (0,1)上为减函数, ∵y=lnx 为增函数, ∴f(x)在(﹣∞,0) , (0,1)上为减函数, 故选:B 12.已知向量 , 满足| |=2,| + |=2,| ﹣ |=2 A. B. C. D. ,则向量 与 的夹角为( )

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据向量的夹角公式,以及向量的垂直,向量模计算即可 【解答】解:设 与 的夹角为 θ,

∵| |=2,| + |=2,| ﹣ |=2 , ∴| + |2=| |2+| |2+2 ? =4, | ﹣ |2=| |2+| |2﹣2 ? =20, ∴ ? =﹣4,| |=2 ∴cosθ= ∵0≤θ≤π, ∴θ= , = =﹣ ,

故选:C. 13.已知函数 f(x)=|log0.5x|,若正实数 m,n(m<n)满足 f(m)=f(n) ,且 f(x)在区 间[m2,n]上的最大值为 4,则 n﹣m=( ) A. B. C. D.

【考点】对数函数的图象与性质.
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【分析】 由已知和对数的性质可得 0<m<1<n, 且 mn=1, 再由最大值为 4 可得 m= 或 n=16, 分别解另一个值验证可得. 【解答】解:∵f(x)=|log0.5x|,正实数 m,n(m<n)满足 f(m)=f(n) , ∴0<m<1<n,且|log0.5m|=|log0.5n|,∴log0.5m=﹣log0.5n, ∴log0.5m+log0.5n=0,解得 mn=1, 又∵f(x)在区间[m2,n]上的最大值为 4, ∴|log0.5m2|=4 或|log0.5n|=4,即 log0.5m2=4 或 log0.5n=﹣4, 解得 m= 或 n=16,当 m= 时,由 mn=1 可得 n=4,此时 n﹣m= 当 n=16 时,由 mn=1 可得 m= 故选:B. 14.已知函数 f(x)=a?( )x+bx2+cx(α∈R,b≠0,c∈R) ,若{x|f(x)=0}={x|f(f(x) ) =0}≠?,则实数 c 的取值范围为( ) A. (0,4) B.[0,4]C. (0,4]D.[0,4) 【考点】函数的零点与方程根的关系. =0}={x|f =0}, =0, =bx2+cx; 【分析】 设 x1∈{x|f (x) (f (x) ) 从而可推出 f (0) 从而化简 f ( x) 从而可得(bx2+cx) (b2x2+bcx+c)=0 与 bx2+cx=0 的根相同,从而解得. 【解答】解:设 x1∈{x|f(x)=0}={x|f(f(x) )=0}, 则 f(x1)=0,且 f(f(x1) )=0, ∴f(0)=0,即 a( )x=0 ∴a=0; 故 f(x)=bx2+cx; 由 f(x)=0 得,x=0 或 x=﹣ ; f(f(x) )=b(bx2+cx)2+c(bx2+cx)=0, 整理得: (bx2+cx) (b2x2+bcx+c)=0, 当 c=0 时,显然成立; 当 c≠0 时,方程 b2x2+bcx+c=0 无根, 故△ =(bc)2﹣4b2c<0, 解得,0<c<4. 综上所述,0≤c<4, 故答案选:A. 二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 3 分.、共 18 分. 15.已知幂函数 f(x)的图象经过点(3, ) ,则 f(x)= x﹣1 . 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 【分析】设出幂函数的解析式,用待定系数法求出 f(x)的解析式. 【解答】解:设幂函数 y=f(x)=xa,
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,这与 m<n 矛盾,应舍去.

其图象经过点(3, ) , ∴3a= ,解得 a=﹣1; ∴f(x)=x﹣1. 故答案为:x﹣1. 16.已知函数 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=x3+1,则 f(﹣2)= ﹣9 . 【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】利用奇函数的性质即可求出. 【解答】解:∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时 f(x)=x3+1, ∴f(﹣2)=﹣f(2)=﹣(23+1)=﹣9. 故答案为:﹣9. 17.已知点 O 为△ ABC 内一点,满足 . 【考点】向量的加法及其几何意义. 【分析】可作图,取 AB 中点 D,从而有 D,O,C 三点共线,且得到 ,这样即可得出 ,从而有 + + = ,则△ AOB 与△ ABC 的面积之比是

,这样便可得出△ AOB 与△ ABC 的面积之比. ;

【解答】解:如图,取 AB 中点 D,则: ∴由 得, ; ∴ ; ;

∴D,O,C 三点共线,且 OD=

∴△AOB 与△ ABC 的面积之比是 . 故答案为: .

18.函数 f(x)=log3(x﹣1)+log3(3﹣x)的单调递增区间为 (1,2) . 【考点】对数函数的图象与性质. 【分析】先求出函数的定义域,根据复合函数的单调性判断即可. 【解答】解:∵f(x)=log3(x﹣1)+log3(3﹣x) ,
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∴函数的定义域是: (1,3) , f(x)= 的递减区间即函数 y=﹣x2+4x﹣3 在(1,3)上的递减区间,

y′=﹣2x+4,令 y′>0,解得:x<2, ∴函数 y=﹣x2+4x﹣3 在(1,2)上的递增, ∴函数 f(x)在(1,2)递增, 故答案为: (1,2) .

19. 已知 θ∈ (



y 同时满足 ) , 若存在实数 x,

=



+

=

,则 tanθ 的值为



【考点】二维形式的柯西不等式. 【分析】 设 = =t, cosθ 的值, 求出 sinθ、 代人另一式化简, 再由 sin2θ+cos2θ=1, = 得出方程 tan2θ+

求出

+

= ;利用 tanθ=

= ,求出方程的解,再考

虑 θ∈(



) ,从而确定 tanθ 的值. = =t,

【解答】解:设 则 sinθ=ty,cosθ=tx, 所以 +

=

可化为:

+

=

①;

又 sin2θ+cos2θ=t2x2+t2y2=1, 得 t2= ②;

把②代入①,化简得

+

= ③;

又 tanθ=

= , = ,

所以③式化为 tan2θ+ 解得 tan2θ=2 或 tan2θ= ;

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所以 tanθ=± 又 θ∈( ,

或 tanθ=± ) ,



所以 tanθ>1, 所以取 tanθ= . 故答案为: . +e﹣|x﹣1|,有下列四个结论:

20.已知函数 f(x)=sin

①图象关于直线 x=1 对称; ②f(x)的最大值是 2; ③f(x)的最大值是﹣1, ; ④f(x)在区间[﹣2015,2015]上有 2015 个零点. 其中正确的结论是 ①②④ (写出所有正确的结论序号) . 【考点】函数的图象. 【分析】根据函数的性质一一判断即可. 【解答】解:对于①,∵y=sin 象关于直线 x=1 对称,故①正确, 对于②,∵﹣1≤sin ≤1,0<e﹣|x﹣1|≤1,∴f(x)的最大值是 2,故②正确,③不正确, ,关于 x=1 对称,y=e﹣|x﹣1|关于 x=1 对称,∴f(x)图

对于④,∵y=sin

的周期为 T=

=4,由①知,关于 x=1 对称,每个周期内都有两个

零点,故有 2015 个零点,故④正确. 故答案为:①②④

三、解答题:本大题共 5 小题,共 40 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

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21.已知函数 f(x)=2x,x∈(0,2)的值域为 A,函数 g(x)=log2(x﹣2a)+ <1)的定义域为 B. (Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若 B?A,求实数 a 的取值范围. 【考点】集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;函数的定义域及其求法. 【分析】 (Ⅰ)根据指数函数以及对数函数的性质解出即可; (2)根据集合的包含关系得到关于 a 的不等式组,解出即可. 【解答】解: (Ⅰ)已知函数 f(x)=2x,x∈(0,2)的值域为 A, ∴A=(1,4) , 函数 g(x)=log2(x﹣2a)+ (a<1)的定义域为 B.

(a

∴B=(2a,a+1) ,a<1, (Ⅱ)若 B?A,则(2a,a+1)?(1,4) ,



,解得: ≤a<1.

22.已知函数 f(x)=cos(ωx+φ) (ω>0,﹣π<φ<0)的最小正周期为 π,且它的图象过 点( , ) .

(Ⅰ)求 ω,φ 的值; (Ⅱ)求函数 y=f(x)的单调增区间. 【考点】余弦函数的图象. 【分析】 (Ⅰ)由周期求出 ω,由特殊点的坐标求出 φ 的值. (Ⅱ)根据函数的解析式,再利用余弦函数的单调性,求出函数 y=f(x)的单调增区间. 【解答】解: (Ⅰ)∵函数 f(x)=cos(ωx+φ) (ω>0,﹣π<φ<0)的最小正周期为 π, ∴ =π,∴ω=2. , ) ,∴cos( +φ)= ,∴ ) , ≤x≤kπ+ ,kπ+ , ],k∈Z. +φ=﹣ ,∴φ=﹣ .

∵它的图象过点(

(Ⅱ)由以上可得,f(x)=cos(2x﹣ 令 2kπ﹣π≤2x﹣ ≤2kπ,求得 kπ﹣

∴函数 y=f(x)的单调增区间为[kπ﹣

23.已知函数 f(x)=x2+4[sin(θ+

)]x﹣2,θ∈[0,2π]].

(Ⅰ)若函数 f(x)为偶函数,求 tanθ 的值; (Ⅱ)若 f(x)在[﹣ ,1]上是单调函数,求 θ 的取值范围. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;函数奇偶性的判断.
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【分析】 (Ⅰ)根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可. (Ⅱ)利用一元二次函数的单调性的性质进行判断即可. 【解答】解: (Ⅰ)∵f(x)是偶函数,∴f(﹣x)=f(x) , 则 x2+4[sin(θ+ 则 sin(θ+ )]x﹣2=x2﹣4[sin(θ+ )]x﹣2,

)=0,

∵θ∈[0,2π], ∴θ+ 即 θ=﹣ =kπ, +kπ, +kπ)=﹣ . )]x﹣2,θ∈[0,2π]].

∴tanθ=tan(﹣

(Ⅱ)∵f(x)=x2+4[sin(θ+ ∴对称轴为 x=﹣2sin(θ+ 若 f(x)在[﹣ 则﹣2sin(θ+ 即 sin(θ+ 即 2kπ+ 即 2kπ+ ) ,

,1]上是单调函数, )≥1 或﹣2sin(θ+ )≤ , ≤θ+ ≤2kπ+ ,k∈Z, ,

)≥ ≤θ+

或 sin(θ+ ≤2kπ+

)≤

,或 2kπ+ ,或 2kπ≤θ≤2kπ+

≤θ≤2kπ+

,k∈Z,

∵θ∈[0,2π], ∴ ≤θ≤ ,或 0≤θ≤ .

24.如图,在△ OAB 中,点 P 为线段 AB 上的一个动点(不包含端点) ,且满足 (Ⅰ)若 λ= ,用向量 (Ⅱ)若| |=4,| , 表示 ; ? 的取值范围.





|=3,且∠AOB=60°,求

【考点】平面向量数量积的运算;平面向量的基本定理及其意义. 【分析】 (Ⅰ)根据向量的加减的几何意义,即可求出; (Ⅱ)根据向量的加减的几何意义,得到 =3﹣ ,即可求出 ? 的取值范围.

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【解答】解: (Ⅰ)∵λ= , 则 ∴ ∴ 则 = = ﹣ = , = ( + + ﹣ , , =λ +λ , , ) ,

(Ⅱ)∵ ? =| |?| |cos60°=6, ∴ ﹣ =λ( ﹣ ) , (1+λ) = ∴ ∴ ? = = =( + + = , ) (



)=﹣

2

+

2

+(





=3﹣

∵λ>0, ∴3﹣ ∴ ? ∈(﹣10,3) , 的取值范围为(﹣10,3) .

25.已知 a>0,b∈R,函数 f(x)=4ax2﹣2bx﹣a+b,x∈[0,1]. (Ⅰ)当 a=b=2 时,求函数 f(x)的最大值; (Ⅱ)证明:函数 f(x)的最大值|2a﹣b|+a; (Ⅲ)证明:f(x)+|2a﹣b|+a≥0. 【考点】函数的最值及其几何意义;二次函数的性质. 【分析】 (Ⅰ)求出当 a=b=2 时,f(x)的解析式,求出对称轴,求得端点的函数值,可得 f(x)的最大值; (Ⅱ)求出对称轴,讨论区间和对称轴的关系,结合单调性,可得最大值; (Ⅲ)要证 f(x)+|2a﹣b|+a≥0 恒成立,只需证 f(x)min+|2a﹣b|+a≥0,设 f(x)的最小值 为 m,最大值为 M,由(Ⅱ)得 M=|2a﹣b|+a,求出对称轴,讨论对称轴和区间[0,1]的关 系,可得最值,即可证明 M+m>0. 【解答】解: (Ⅰ)当 a=b=2 时,f(x)=8x2﹣4x,x∈[0,1]. 对称轴为 x= ,f(0)=0,f(1)=4, 可得 f(x)的最大值为 4; (Ⅱ)证明:f(x)的对称轴为 x= 当 >1 时,区间[0,1]为减区间, ,

可得 f(x)的最大值为 f(0)=b﹣a, 由 b>4a>2a,可得|2a﹣b|+a=b﹣2a+a=b﹣a,
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则 f(0)=|2a﹣b|+a; 当 <0 时,区间[0,1]为增区间,

可得最大值为 f(1)=3a﹣b, 由 b<0,可得|2a﹣b|+a=2a﹣b+a=3a﹣b=f(1) ; 当 0≤ ≤1 时,区间[0, ]为减区间,[ ,1]为增区间,

若 f(0)≤f(1) ,即 b≤2a,可得最大值为 f(1)=3a﹣b=|2a﹣b|+a; 若 f(0)>f(1) ,即 2a<b≤4a,可得最大值为 f(0)=b﹣a=|2a﹣b|+a. f 综上可得函数 (x)的最大值|2a﹣b|+a; (Ⅲ)证明:要证 f(x)+|2a﹣b|+a≥0 恒成立, 只需证 f(x)min+|2a﹣b|+a≥0, 设 f(x)的最小值为 m,最大值为 M,由(Ⅱ)得 M=|2a﹣b|+a, 由 f(x)的对称轴为 x= 当 ,

>1 时,区间[0,1]为减区间,可得 m=f(1)=3a﹣b,

则 M+m=b﹣2a+a+3a﹣b=2a>0; 当 <0 时,区间[0,1]为增区间,可得 m=f(0)=b﹣a,

M=f(1)=3a﹣b,则 M+m=2a>0; 当 0≤ ≤1 时,区间[0, ]为减区间,[ ,1]为增区间,

可得 m=f(

)=



若 f(0)≤f(1) ,即 b≤2a,可得 M=f(1)=3a﹣b, M+m= ≥ =a>0;

若 f(0)>f(1) ,即 2a<b≤4a,可得 M=f(0)=b﹣a, M+m= = ,

由于 2a<b≤4a,可得 M+m∈(a,2a],即为 M+m>0. 综上可得 M+m>0 恒成立, 即有 f(x)+|2a﹣b|+a≥0.

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2016 年 7 月 7 日

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