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第九篇 解析几何第6讲 双曲线


第6讲

双曲线

1.考查利用基本量求双曲线的标准方程,考查双曲线的定义、几何图形. 2.考查求双曲线的几何性质及其应用. 【复习指导】 本讲复习时,应紧扣双曲线的定义,熟练掌握双曲线的标准方程、几何图形以及 简单的几何性质、近几年高考多以选择题.填空题进行考查.

基础梳理 1.双曲线的概念 平面内与两个定点 F1,

F2(|F1F2|=2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2| 且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的 距离叫做焦距. 集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a、c 为常数且 a>0,c>0; (1)当 a<c 时,P 点的轨迹是双曲线; (2)当 a=c 时,P 点的轨迹是两条射线; (3)当 a>c 时,P 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0) y2 x2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0)





范 围 性 质 对称 性 顶点

x≥a 或 x≤-a,y∈R

x∈R,y≤-a 或 y≥a

对称轴:坐标轴 对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)

渐近 线 离心 率 实虚 轴 a、b、c 的关系

b y=± x a

a y=± x b

c e=a,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫做 双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

一条规律 双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率 e= 2?双曲线的两条渐近线互相垂直 (位置关系). 两种方法 (1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定 2a、2b 或 2c,从而求出 a2、b2,写出双曲线方程. (2)待定系数法:先确定焦点是在 x 轴上还是在 y 轴上,设出标准方程,再由条件 确定 a2、b2 的值,即“先定型,再定量”;如果焦点位置不好确定,可将双曲线 x2 y2 方程设为m2-n2=λ(λ≠0),再根据条件求 λ 的值. 三个防范 (1)区分双曲线中的 a,b,c 大小关系与椭圆 a,b,c 关系,在椭圆中 a2=b2+c2, 而在双曲线中 c2=a2+b2. (2)双曲线的离心率大于 1,而椭圆的离心率 e∈(0,1). x2 y2 b y2 x2 (3)双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± x,a2-b2=1(a>0,b> a a 0)的渐近线方程是 y=± x. b 双基自测 x2 y2 1.(人教 A 版教材习题改编)双曲线10- 2 =1 的焦距为( A.3 2 B.4 2 C.3 3 D.4 3 ).

解析 由已知有 c2=a2+b2=12,∴c=2 3,故双曲线的焦距为 4 3. 答案 D 2.(2011· 安徽)双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( A.2 B.2 2 C.4 ).

D.4 2

x2 y2 解析 双曲线 2x2-y2=8 的标准方程为 4 - 8 =1,所以实轴长 2a=4. 答案 C x2 y2 3.(2012· 烟台调研)设双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3, 则双曲线的渐近线方程为( A.y=± 2x 2 C.y=± 2 x ). B.y=± 2x 1 D.y=± x 2

b 解析 由题意得 b=1,c= 3.∴a= 2,∴双曲线的渐近线方程为 y=± x,即 y a 2 =± 2 x. 答案 C x2 y2 4.(2011· 山东)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2 -6x+5=0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为 ( x2 y2 A. 5 - 4 =1 x2 y2 C. 3 - 6 =1 x2 y2 B. 4 - 5 =1 x2 y2 D. 6 - 3 =1 ).

解析 圆心的坐标是(3,0),圆的半径是 2,双曲线的渐近线方程是 bx± ay=0,根 据已知得 y2 - 4 =1. 答案 A x2 y2 5.(2012· 银川质检)设 P 是双曲线a2- 9 =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3b 3b x2 =2,即 3 =2,解得 b=2,则 a2=5,故所求的双曲线方程是 5 a2+b2

3x-2y=0, 1、 2 分别是双曲线的左、 F F 右焦点, 若|PF1|=3, 则|PF2|等于________. 3 解析 由渐近线方程 y=2x,且 b=3,得 a=2,由双曲线的定义,得|PF2|-|PF1| =4,又|PF1|=3,∴|PF2|=7. 答案 7

考向一

双曲线定义的应用

x2 y2 【例 1】?(2011· 四川)双曲线64-36=1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 4,那 么点 P 到左准线的距离是________. [审题视点] 利用双曲线的第一定义和第二定义解题. 解析 由已知,双曲线中,a=8,b=6,所以 c=10,由于点 P 到右焦点的距离 为 4,4<a+c=18,所以点 P 在双曲线右支上.由双曲线定义,可知点 P 到左焦 点的距离为 2×8+4=20,设点 P 到双曲线左准线的距离为 d,再根据双曲线第 20 c 10 二定义,有 d =a= 8 ,故 d=16. 答案 16 由双曲线的第一定义可以判断点 P 的位置关系,在利用第二定义解题 时,要注意左焦点与左准线相对应,右焦点与右准线相对应. x2 【训练 1】 (2012· 太原重点中学联考)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知双曲线 4 - y2 12=1 上一点 M 的横坐标为 3,则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为________. 解析 由题易知, 双曲线的右焦点为(4,0), M 的坐标为(3, 15)或(3, 15), 点 - 则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为 4. 答案 4 考向二 求双曲线的标准方程

5 【例 2】 ?(2012· 东莞调研)设椭圆 C1 的离心率为13, 焦点在 x 轴上且长轴长为 26. 若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( ).

x2 y2 A.42-32=1 x2 y2 C.32-42=1

x2 y2 B.132-52=1 x2 y2 D.132-122=1

[审题视点] 抓住 C2 上动点满足的几何条件用定义法求方程. 解析 由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为:F1(-5,0),F2(5,0). 设曲线 C2 上的一点 P.则||PF1|-|PF2||=8. 由双曲线的定义知:a=4,b=3. x2 y2 故曲线 C2 的标准方程为42-32=1. 答案 A (1)当焦点位置不确定时,方程可能有两种形式,求方程时应分类讨论, 或者将方程设为 mx2+ny2=1(mn<0). (2)已知双曲线的渐近线方程 bx± ay=0, 求双曲线方程时, 可设双曲线方程为 b2x2 -a2y2=λ(λ≠0).根据其他条件确定 λ 的值.若求得 λ>0,则焦点在 x 轴上;若 求得 λ<0,则焦点在 y 轴上. x2 y2 【训练 2】 (2012· 郑州模拟)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程 是 y= 3x,它的一个焦点与抛物线 y2=16x 的焦点相同.则双曲线的方程为 ________. b 解析 ∵双曲线的渐近线为 y= 3x,∴a= 3, ∵双曲线的一个焦点与 y2=16x 的焦点相同. ∴c=4. ∴由①②可知 a2=4,b2=12. x2 y2 ∴双曲线的方程为 4 -12=1. x2 y2 答案 4 -12=1. 考向三 双曲线的几何性质的应用 ② ①

2 x2 y2 2 y 【例 3】?(2011· 浙江)已知椭圆 C1:a2+b2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x - 4 =1

有公共的焦点, 2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A, 两点. C B 若

C1 恰好将线段 AB 三等分,则( 13 A.a2= 2 1 B.a2=13 C.b2=2

). D.b2=2

2 [审题视点] 取一条 C2 的渐近线,将其与 C1 联立求得弦长|AB|,令|AB|=3a,方 可得出结论. ?y=2x, ? 解析 依题意 a -b =5, 根据对称性, 不妨取一条渐近线 y=2x, ?x2 y2 由 ?a2+b2=1 ?
2 2



解得 x=± 以

ab 2 5ab ,又 C1 把 AB 三等分,所 2 2,故被椭圆截得的弦长为 4a +b 4a2+b2

2 5ab 2a 2 2 2 2 2 1 2 2= 3 ,两边平方并整理得 a =11b ,代入 a -b =5 得 b =2. 4a +b

答案 C 在双曲线的几何性质中,应充分利用双曲线的渐近线方程,简化解题 过程.同时要熟练掌握以下三方面内容: (1)已知双曲线方程,求它的渐近线; (2)求已知渐近线的双曲线的方程; (3)渐 近线的斜率与离心率的关系,

c2-a2 b 如 k=a= a =

c2 2 a2-1= e -1.

【训练 3】 (2010· 辽宁)设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直 线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( A. 2 B. 3 C. 3+1 2 D. 5+1 2 ).

x2 y2 b 解析 设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),F(c,0),B(0,b),则 kBF=- , a b c b 双曲线的渐近线方程为 y=± x, a bb 1± 5 ∴-c·=-1,即 b2=ac,c2-a2=ac,∴e2-e-1=0,解得 e= 2 .又 e>1, a ∴e= 5+1 2 .

答案 D

难点突破 21——高考中椭圆与双曲线的离心率的求解问题 离心率是圆锥曲线的重要几何性质,是高考重点考查的一个知识点.这类问题一 般有两类: 一类是根据一定的条件求椭圆或双曲线的离心率;另一类是根据一定 的条件求离心率的取值范围.无论是哪类问题,其难点都是建立关于 a,b,c 的 关系式(等式或不等式),并且最后要把其中的 b 用 a,c 表达,转化为关于离心 率 e 的关系式,这是化解有关椭圆和双曲线的离心率问题难点的根本方法. 【示例 1】 (2010· ? 广东)若一个椭圆长轴的长度、 短轴的长度和焦距成等差数列, 则该椭圆的离心率是( 4 A.5 3 B.5 ). 2 C.5 1 D.5

【示例 2】? (2011· 福建)设圆锥曲线 Γ 的两个焦点分别为 F1,F2.若曲线 Γ 上存 在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线 Γ 的离心率等于( 1 3 A.2或2 1 C.2或 2 2 B.3或 2 2 3 D.3或2 ).


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