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3.3导数在研究函数中的应用1


课题

3.3.1 函数的单调性与导 数 高二 第一课时

学科

数学

使 用 班 级 (文班)

学生姓名

审核人

年级 课时

时间 设计人 徐晓杰

教学目标 1.会熟练用求导法求函数单调

区间,证明单调性。2.会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况 教学重点 会熟练用求导,求函数单调区间,会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况 教学难点 证明单调性 课前准备 多媒体课件 一。 【知识链接】 1、写出基本初等函数的导数公式 (1)常函数:_______; (2)幂函数 : ————————————————— (3)三角函数 :———————————————————————————— (4)对数函数的导数: ———————————————————————————— (5)指数函数的导数: ———————————————————————————— 2、1.增函数、减函数的定义 一般地,设函数 f(x) 的定义域为 I:如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是_________ 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x) 在这个区间上是________. 3.函数的单调性 如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数, 那么就说函数 y=f(x) 在这一区间具有 (严格的) 单调性,这一区间叫做 y=f(x) 的单调区间. 在单调区间上增函数的图象是_______的,减函数的图象是________的. 二。 【新知探究】 预习课本 89——90 页,并观察 P90 一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 结论:一般地,函数的单调性与其导数的正负有如下关系 在某个区间(a,b)内,如果______________ ,那么函数 y ? f ( x ) 在这个区间内单调递增; 如果_______________ ,那么函数 三. 【典例分析】 例 1 已知导函数 的下列信息: 当 1 < x < 4 时, f ?( x ) ? 0; 当 x > 4 , 或 x < 1 时, 当 x = 4 , 或 x = 1 时,

y ? f ( x ) 在这个区间内单调递减.

如果恒有____________ ,则 y ? f ( x ) 是常数。

f ?( x ) ? 0; f ?( x ) ? 0.

试画出函数 的图象的大致形状.

例 2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x 3 ? 3 x;

(2) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3;

(3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? );

(4) f ( x) ? 2 x 3 ? 3 x 2 ? 24 x ? 1.

练习:判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 4;
(3) f ( x) ? 3 x ? x 3 ;

(2) f ( x) ? e x ? x;
(4) f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x.

例 3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象.

结论:一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.

如图,函数

y ? f ( x ) 在_______

或______ 内的图象“陡峭”,在_______

或________ 内的图象平缓.

四。 【课堂小结】 1、求可导函数 f(x)单调区间的步骤: (1)求 f’(x) (2)解不等式 f’(x)>0(或 f’(x)<0) (3)确认并指出递增区间(或递减区间) 2、证明可导函数 f(x)在(a,b)内的单调性的方法: (1)求 f’(x) (2)确认 f’(x)在(a,b)内的符号 (3)作出结论 五。巩固练习 课本 P93 练习 2、3、4(做下面空白处)

六。 【自我检测】 一、选择题 1.若函数

y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内可导,且 x0 ? (a, b) 则 lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) h

的值为( A.

) B. 2 f
'

f ' ( x0 )

( x0 )

C. ?2 f

'

( x0 )

D. 0

2.一个物体的运动方程为 s

? 1 ? t ? t 2 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,


那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( A. 7 米/秒 C. 5 米/秒 3.函数
3

B. 6 米/秒 D. 8 米/秒 )

y = x + x 的递增区间是(
B. (??,1) D. (1,??)

A. (0,??) C. ( ??,??) 4.

f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 2 ,若 f ' (?1) ? 4 ,则 a 的值等于(
A.



19 3 13 3

B.

16 3

C.

D.

10 3

二、填空题

f ( x) ? x3 ? 4x ? 5 的图像在 x ? 1 处的切线在 x 轴上的截距为________________。 2 3 2 函数 y ? x ? x 的单调增区间为 ,单调减区间为___________________。
1 函数 3若

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 在 R 增函数,则 a, b, c 的关系式为是




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