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2016年北京市顺义区一模高三数学理试题(Word版含答案)


北京顺义区 2016 届高三一模







卷(理科)
共 40 分)

2016.3

第Ⅰ卷(选择题

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项.

/>
1.设 i 为虚数单位,则 i (2i ? 1) ? (A) 2 ? i (B) 2 ? i (C) ?2 ? i

(

)

(D) ?2 ? i ( )

2.已知集合 A ? {x | x2 ? 1} , B ? {x | log 2 x ? 1} ,则 A ? B ? (A) {x | ?1 ? x ? 1} (C) {x | 0 ? x ? 2} (B) {x | 0 ? x ? 1} (D) {x | ?1 ? x ? 2}

3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 (A) y ? 2 x (C) y ? ? (B) y ? x3 ? x





1 (D) y ? ? log2 x x 4.执行如图所示的程序框图,输出的结果是

(

)

(A)15 (B)21 (C)24 (D) 35

r ? 5.已知向量 a ? ( x, ?1) , b ? ( x, 4) ,其中 x ? R .则“ x ? 2 ”是 r r “ a ? b ”成立的 ( )
(A)充分而不必要条件 (C)充要条件
? ?x ? 1? ? l 6.直线 : ? ?y ? 2? ? ?

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

2 t ? x ? 2 ? 2 cos ? 2 ( t 为参数)与圆 C : ? ( ? 为参数) 2 ? y ? 1 ? 2sin ? t 2

的位置关系是 (A) 相离

(B) 相切

( ) (C) 相交且过圆心 (D)相交但不过圆心

? x ? 2 y ? 2, ? 7.在平面直角坐标系中,若不等式组 ?1 ? x ? 2, ( a 为常数)表示的区域面积 ?ax ? y ? 1 ? 0 ? a 1 等 于 , 则 的 值 为 ( )

(A) ?

1 6

(B)

1 6

(C)

1 2

(D) 1

8.如图,已知平面 ? I 平面 ? = l , ? ? ? . A、 B 是直线 l 上的两点,

C、D 是平面 ? 内的两点,且 DA ? l , CB ? l ,
DA ? 4, AB ? 6 , CB ? 8. P 是平面 ? 上的一动点,

且有 ?APD ? ?BPC ,则四棱锥 P ? ABCD 体积的 最大值是 (A) 48 (B) 16 ( ) (D) 144

(C) 24 3
共 110 分)

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

1 9. ( x 2 ? )6 的展开式中 x3 的系数为 ______ (用数字作答). x
x2 y 2 ? 1 的两条渐近线所围成的三角形 10.抛物线 y ? ?8 x 的准线与双曲线 C : ? 8 4
2

面积为 _________.

11.已知某几何体的三视图如图,正(主)视图中的弧线是半圆, 根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的表面积是 ________ (单位: cm ).
2

? 2 ? x ? ? 2, x ? 1 12. 已知函数 f ( x) ? ? 则 f ( f (? 2)) ? ______; f ? x ? 的最小值 x 2 ?log ( x ? 1). x ? 1 ? 3
为 .

13.某慢性疾病患者,因病到医院就医,医生给他开了处方药(片剂),要求此患者 每天早、晚间隔 12 小时各服一次药,每次一片,每片 200 毫克.假设该患者的肾

脏每 12 小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的 50% , 并且医生认为这种药 在体内的残留量不超过 400 毫克时无明显副作用.若该患者第一天上午 8 点第一 次服药,则第二天上午 8 点服完药时 ,药在其体内的残留量是 _______ 毫克,若 .... 该患者坚持长期服用此药 ________ 明显副作用(此空填“有”或“无” ).
5 ????? ? 14..设 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 是空间中给定的 5 个不同的点,则使 ? MAk ? 0 成立的点 M 的个 k ?1

数有 _________ 个.

三、解答题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分)

? 1 已知函数 f ( x) ? cos( ? x) cos x ? sin 2 x ? , x ? R . 2 2
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值; (Ⅱ)若 x ?[? , ] ,求函数 f ( x) 的单调递增区间. 6 3

? ?

16.(本小题满分 13 分) 在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中,主持人准备了 A, B 两个问 题,规定:被抽签抽到的答题同学,答对问题 A 可获得 100 分,答对问题 B 可获 得 200 分,答题结果相互独立互不影响,先回答哪个问题由答题同学自主决定; 但只有第一个问题答对才能答第二个问题,否则终止答题.答题终止后,获得的 总分决定获奖的等次.若甲是被抽到的答题同学, 且假设甲答对 A, B 问题的概率 分别为
1 1 , . 2 4

(Ⅰ)记甲先回答问题 A 再回答问题 B 得分为随机变量 ? ,求 ? 的分布列和数学 期望; (Ⅱ)你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高?请说明理由.

17.(本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,等边 ? PAD 所在的平面与正方形 ABCD 所在的平面互相垂直,
O 为 AD 的中点, E 为 DC 的中点,且 AD ? 2.

(Ⅰ)求证: PO ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 P ? EB ? A的余弦值; (Ⅲ)在线段 AB 上是否存在点 M ,使线段 PM 与 ? PAD 所在平面成 30? 角.若存 在,求出 AM 的长,若不存在,请说明理由.

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ln x . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
1 (Ⅱ)设 g ( x) ? x 2 ? x ? t ,若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 [ , e] 上(这里 e ? 2.718 )恰 e

有两个不同的零点,求实数 t 的取值范围. 19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 3 3 ,且点 (1, ) 在椭圆 E 上. ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的离心率 e ? 2 a b 2 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;
1 (Ⅱ)直线 l 与椭圆 E 交于 A 、 B 两点,且线段 AB 的垂直平分线经过点 (0, ) . 2 求 ? AOB ( O 为坐标原点)面积的最大值.

20.(本小题满分 14 分)
2 在数列 {an } 中, a1 ? 0 , an?1 ? an ? m ,其中 m ? R , n ? N * .

(Ⅰ)当 m ? 1时,求 a2 , a3 , a4 的值; (Ⅱ) 是否存在实数 m , 使 a2 , a3 , a4 构成公差不为 0 的等差数列?证明你的结论; (Ⅲ)当 m ?
1 时,证明:存在 k ? N * ,使得 ak ? 2016 . 4

顺义区 2016 届高三第一次统练数学试卷 (理科)
参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. C ; 2 . B; 3 . B; 4. C; 5. A; 6. D; 7. B ; 8 . A.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 20 ; 10. 2 2 ; 11. 4 ? 3? ; 12. 1, 0 ; 13. 350 , 无. 14. 1.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由已知 f ( x) ? cos(

?
2

? x) cos x ? sin 2 x ?

1 1 ? cos 2 x 1 ? sin x cos x ? ? 【3 分】 2 2 2
【6 分】

1 1 2 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 2 4
当 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

,即 x ? k? ?

?
8

,k?z

时, f max ( x) ?

2 2

【7 分】

(Ⅱ)? 当 2k? ? 即 k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

时, f ( x) 递增

【9 分】

3? ? ? ? ? x ? k? ? , 令 k ? 0 ,且注意到 x ? [ ? , ] 8 8 6 3 ? ? ? 函数 f ( x) 的递增区间为 [ ? , ] 【13 分】 6 8
16.(本小题满分 13 分) (Ⅰ) ? 的可能取值为 0,100.300 . 【2 分】

? P (? ? 0) =( ) 0 ? (1 ? ) ?

1 1 1 , 2 2 2 1 1 3 P(? ? 100) = ? (1 ? ) ? , 2 4 8 1 1 1 P(? ? 300) = ? ? 2 4 8

【5 分】

分布列为:

?
P

0
1 2 3 8

100

300
1 8

E? ?

600 ? 75 . 8

【7 分】

(Ⅱ)设先回答问题 B ,再回答问题 A 得分为随机变量? ,则? 的可能取值为 0, 200.300 .

? P(? ? 0) =(1 ? ) ?

1 4 1 P (? ? 2 0) 0 =? 4

3 , 4 1 1 ( ?1 ?) , 2 8 1 1 1 P(? ? 3 0) 0 =? ? , 4 2 8
0
3 4

【10 分】

分布列为:

?
P
E? ? 500 ? 62.5 . 8

200
1 8
【12 分】

300
1 8

? E? ? E?
? 应先回答 A 所得分的期望值较高.
17.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)? ? PAD 是等边三角形, O 为 AD 的中点, 【13 分】

? PO ? AD

? 平面 PAD ? 平面 ABCD , AD 是交线, PO ? 平面 PAD
? PO ? 平面 ABCD . 【4 分】
(Ⅱ)取 BC 的中点 F ,? 底面 ABCD 是正方形,? OF ? AD ,? PO,OF , AD 两两 垂直. 分别以 OA、OF、OP 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 则 P(0,0, 3), B(1, 2,0), C(?1, 2,0), D(?1,0,0), A(1,0,0), E(?1,1,0) 【5 分】

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PA ? (1,0, ? 3) , AE ? (?2,1,0,) , EP ? (1, ?1, 3) , EB ? (2,1,0,)

? ??? ? ? ? ?( x, y, z ) ? (1, ?1, 3) ? 0 ? n ? PE ? 0 ? 设平面 PBE 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,? ? ? ??? ,? ? ? ? ? ?( x, y, z ) ? (2,1, 0) ? 0 ? n ? EB ? 0

?x ? 1 ? ? ? ?x ? y ? z ? 0 ?? ,? ? y ? ?2 ,? n ? (1, ?2, ? 3) ? ?2 x ? y ? 0 ? ?z ? ? 3

平面 EBA 的法向量即为平面 ABCD 的法向量 OP ? (0,0, 3,) .

??? ?

? ??? ? ? ??? ? n ? OP 6 由图形可知所求二面角为锐角,? cos ? n, OP ??| ? ??? ? |? 4 | n || OP |
(Ⅲ)方法 1:设在线段 AB 上存在点 M (1, x,0) , (0 ? x ? 2) , 使线段 PM 与 ? PAD 所在平面成 30 角,
0

【9 分】

? 平面 PAD 的法向量为 (0, 2, 0) , PM ? (1, x, ? 3) ,
? sin 300 ?|

???? ?

2x 2 4 ? x2

|?

x 4 ? x2

?

1 2 3 ,解得 x ? ,适合 3 2
2 3 时,与 ? PAD 所在平 PM 面成 300 角 3

? 在线段 AB 上存在点 M ,当线段 AM ?
方法 2:由(Ⅰ)知 PO ? 平面 ABCD ,

? BA ? AD , BA ? PO , PO ? AD ? O

? BA ? 平面 POD .
设在线段 AB 上存在点 M 使线段 PM 与 ? PAD 所在平面成 30 角,
0

连结 PM ,由线面成角定义知: ? MPA 即为 PM 与 ? PAD 所在平面所成的角,

AM ? PA ? tan 300 ?

2 3 2 3 ,当线段 AM ? 时,与 ? PAD 所在平 PM 面成 300 角. 3 3

18.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)函数定义域为 (0, ??) 【1 分】 【2 分】 【5 分】

f '( x ) ? 2 x ?

1 ,? f '(1) ? 1 x

又 f (1) ? 1 ,? 所求切线方程为 y ? 1 ? x ? 1 ,即 x ? y ? 0

(Ⅱ)函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? ln x ? x ? t 在 [ , e] 上恰有两个不同的零点, 等价于 ? ln x ? x ? t ? 0 在 [ , e] 上恰有两个不同的实根, 等价于 t ? x ? ln x 在 [ , e] 上恰有两个不同的实根, 令 k ( x) ? x ? ln x, 则 k '( x) ? 1 ?

1 e

1 e

【8 分】

1 e

1 x ?1 ? x x

? 当 x ? ( ,1) 时, k '( x) ? 0 ,? k ( x) 在 ( ,1) 递减;

1 e

1 e

当 x ? (1, e] 时, k '( x) ? 0 ,? k ( x) 在 (1, e] 递增. 故 kmin ( x) ? k (1) ? 1 ,又 k ( ) ?

1 e

1 ? 1, k (e) ? e ? 1 . e

【11 分】

1 1 1 1 ? k ( ) ? k (e) ? 2 ? e ? ? 0 ,? k ( ) ? k (e) ,? k (1) ? t ? k ( ) e e e e
即 t ? (1,1 ? ] 19.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由已知

1 e

【13 分】

e2 ? 1 ?

1 3 ? ,? a 2 ? 4 a2 4

【2 分】

? 点 (1,

3 ) 在椭圆上,? 12 ? 3 2 ? 1 ,解得 a ? 2, b ? 1 . 2 a 4b
x2 ? y2 ? 1 4
【4 分】

? 所求椭圆方程为

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,? AB 的垂直平分线过点 (0, ) , ? AB 的斜率 k 存在. 当直线 AB 的斜率 k ? 0 时,

1 2

? x1 ? ? x2 ,

y1 ? y2

1 x2 ? 4 ? x2 x2 1 2 1 ? SV AOB ? ? 2 | x || y |?| x || y |?| x | 1 ? 1 ? x1 (4 ? x12 ) ? ? ?1 2 2 2 2 4

" ? " 当且仅当 x12 ? 4 ? x12 , ? x1 ? ? 2 时, (SV AOB )max ? 1
当直线 AB 的斜率 k ? 0 时, 设 l AB : y ? kx ? m ( m ? 0) .

【6 分】

? y ? kx ? m ? 2 2 2 消去 y 得: (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 ? ? x2 2 ? ? y ?1 ?4
2 2 由 ? ? 0 . 4k ? 1 ? m



【8 分】

? x1 ? x2 ? ?
?

x ? x2 8km 4m 2 ? 4 4km ?? , , x x ? , ? 1 1 2 2 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k

y1 ? y2 x ?x m ?4km m ?k 1 2 ?m? ,? AB 的中点为 ( , ) 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 2 2 1 ? 4k m 1 ? 2 2 ? ?1 ,化简得 1 ? 4k 2 ? ?6m 由直线的垂直关系有 k ? 1 ? 4k ② ?4km 1 ? 4k 2

由①②得 ?6m ? m ,
2

??6 ? m ? 0
|m|

【10 分】 ,

又 O(0, 0) 到直线 y ? kx ? m 的距离为 d ?

1? k 2

| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ? 4 ?

1 ? 4k 2 ? m 2 (1 ? 4k 2 ) 2

【12 分】

SV AOB ?

1 1 1 ? 4k 2 ? m 2 |m| | AB | d ? 1? k 2 ? 4 ? ? 2 2 2 2 (1 ? 4k ) 1? k 2

?6m ? m2 1 ?2 | m |? ?(m ? 3)2 ? 9 2 36m 3
1 Q ?6 ? m ? 0 ,? m ? ?3 时, ( SV AOB ) max ? ? 3 ? 1 . 3

由 m ? ?3 ,?1 ? 4k 2 ? 18 ,解得 k ? ?
17 时, (SV AOB )max ? 1; 2

17 ; 2

即k ? ?

综上: (SV AOB )max ? 1 ; 【14 分】

20.(本小题满分 14 分)
解: (Ⅰ) a2 ? 1 , a3 ? 2 , a4 ? 5 . 【3 分】 (Ⅱ)? a2 , a3 , a4 成等差数列,? a3 ? a2 ? a4 ? a3 , 即 a2 ? m ? a2 ? a3 ? m ? a3 ,
2 2 ? a2 ) ? (a3 ? a2 ) ? 0 ,即 ? a3 ? a2 ?? a3 ? a2 ?1? ? 0 . ? (a3 2 2

? a3 ? a2 ? 0 ,? a3 ? a2 ?1 ? 0 .
将 a2 ? m , a3 ? m ? m 代入上式, 经检验,此时 a2 , a3 , a4 的公差不为 0.
2

解得 m ? ?1 ? 2 .

【7 分】

?存在 m ? ?1 ? 2 ,使 a2 , a3 , a4 构成公差不为 0 的等差数列. 【8 分】
2 2 (Ⅲ)? an?1 ? an ? an ? m ? an ? (an ? ) ? (m ? ) ? m ?

1 2

1 4

1 , 4

又 m?

1 1 ,? 令 d ? m ? ? 0 . 4 4

【10 分】

由 an ? an?1 ? d ,

an?1 ? an?2 ? d ,
……

a2 ? a1 ? d ,
将上述不等式相加,得 an ? a1 ? (n ?1)d ,即 an ? (n ?1) d . 取正整数 k ? 【12 分】 【14 分】

2016 2016 ? 1 ,就有 ak ? (k ? 1)d ? d ? ( ) ? 2016 . d d


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