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山西省大同一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年山西省大同一中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(每小题 3 分,共 36 分. ) 1. (3 分)已知全集 U={x|x 是小于 9 的正整数},集合 M={1,2,3},集合 N={3,4,5,6}, 则(?UM)∩N 等于() A.{3} B.{7,8}
2

C.{4,5,6}

D.{

4,5,6,7,8}

2. (3 分)已知集合 A{x|x ﹣3x+2=0,x∈R },B={x|0<x<5,x∈N },则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为() A.1 B. 2 C. 3 D.4 3. (3 分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为() A.y=x+1 B.y=﹣x
2

C.

D.y=x|x|

4. (3 分)函数 f(x)=xln|x|(x≠0)的大致图象是()

A.

B.

C.

D.

5. (3 分)函数 f(x)= A.{x|x≥﹣2}

的定义域为 M,g(x)=

的定义域为 N,则 M∩N=() D.{x|x<2}

B.{x|﹣2<x<2}

C.{x|﹣2≤x<2}

6. (3 分)设 A.c<b<a B.c<a<b

,则() C.a<b<c D.b<a<c

7. (3 分)如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经过 3 分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离,则 H 与下落时间 t(分)的函数关系表示的图象只可能是()

A.

B.
2

C.

D.

8. (3 分)若函数 y=x +(2a﹣1)x+1 在区间(﹣∞,2]上是减函数,则实数 a 的取值范围是 () A.[﹣ ,+∞) B.(﹣∞,﹣ ] C.[ ,+∞) D.(﹣∞, ]

9. (3 分)下列各式: ①
2

=a;
0

②(a ﹣3a+3) ③

=



其中正确的个数是() A.0 B. 1

C. 2

D.3 )的定义域是() D.[2,4]

10. (3 分)若函数 y=f(x)的定义域是[2,4],则 y=f( A.[ ,1] B.[4,16] C. [ , ]

11. (3 分)设函数 f(x)=

,则 f(f(3) )=()

A.

B. 3

C.

D.

12. (3 分)定义在 R 上的偶函数在[0,7]上是减函数,在[7,+∞)是增函数,又 f(7)=6, 则 f(x) () A.在[﹣7,0]是增函数,且最大值是 6 B. 在[﹣7,0]是减函数,且最大值是 6 C. 在[﹣7,0]是增函数,且最小值是 6 D.在[﹣7,0]是减函数,且最小值是 6

二、填空题: (每题 3 分,共 12 分) 13. (3 分)不等式 . 的解集为

14. (3 分)已知集合 A={﹣2,3,4m﹣4},集合 B={3,m }.若 B?A,则实数 m=.

2

15. (3 分)幂函数 m 的值为.

在[0,+∞)上是单调递减的函数,则实数

16. (3 分)函数 y=lg(4+3x﹣x )的单调增区间为.

2

三、解答题: 17. (8 分)已知集合 A={x|4≤x<8},B={x|2<x<10},C={x|x<a}. (1)求 A∪B; (?RA)∩B; (2)若 A∩C≠?,求 a 的取值范围. 18. (8 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +x+1,求 f(x)的解析 式. ,x∈[3,5],
2

19. (8 分)已知函数 f(x)=

(1)判断函数 f(x)的单调性,并证明; (2)求函数 f(x)的最大值和最小值. 20. (8 分)已知 ,若 f(x)=ax ﹣2x+1 在区间[1,3]上的最大值为 M(a) ,最小值
2

为 N(a) ,令 g(a)=M(a)﹣N(a) ,求 g(a)的函数表达式. 21. (10 分)已知函数 f(x)= (其中 p 为常数,x∈[﹣2,2])为偶函数.

(1)求 p 的值; (2)如果 f(1﹣m)<f(2m) ,求实数 m 的取值范围. 22. (10 分)若 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切 x,y>0,满足 f( )=f (x)﹣f(y) . (Ⅰ)求 f(1)的值; (Ⅱ)若 f(6)=1,解不等式 f(x+3)﹣f( )<2.

2014-2015 学年山西省大同一中高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 3 分,共 36 分. )

1. (3 分)已知全集 U={x|x 是小于 9 的正整数},集合 M={1,2,3},集合 N={3,4,5,6}, 则(?UM)∩N 等于() A.{3} B.{7,8} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 由题意,由全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 M={1,2,3},求出 CUM, 再求(CUM)∩N 即可得到答案 解答: 解:∵全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 M={1,2,3}, ∴CUM={4,5,6,7,8}, 又 N={3,4,5,6}, ∴(CUM)∩N={4,5,6} 故选 C. 点评: 本题考查交并补集的运算,属于集合中的基本运算题,熟练掌握交、并、补运算的 定义是解题的关键. 2. (3 分)已知集合 A{x|x ﹣3x+2=0,x∈R },B={x|0<x<5,x∈N },则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为() A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: 先求出集合 A,B 由 A?C?B 可得满足条件的集合 C 有{1,2,},{1,2,3},{1, 2,4},{1,2,3,4},可求 解答: 解:由题意可得,A={1,2},B={1,2,3,4}, ∵A?C?B, ∴满足条件的集合 C 有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共 4 个, 故选 D. 点评: 本题主要考查了集合的包含关系的应用,解题的关键是由 A?C?B 找出符合条件的 集合. 3. (3 分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为() A.y=x+1 B.y=﹣x
2 2

C.{4,5,6}

D.{4,5,6,7,8}

C.

D.y=x|x|

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 探究型. 分析: 对于 A,非奇非偶;对于 B,是偶函数;对于 C,是奇函数,但不是增函数; 对于 D,令 f(x)=x|x|= ,可判断函数既是奇函数又是增函数,故可得结论.

解答: 解:对于 A,非奇非偶,是 R 上的增函数,不符合题意; 对于 B,是偶函数,不符合题意; 对于 C,是奇函数,但不是增函数;

对于 D,令 f(x)=x|x|,∴f(﹣x)=﹣x|﹣x|=﹣f(x) ;∵f(x)=x|x|= 函数是增函数 故选 D. 点评: 本题考查函数的性质,考查函数的奇偶性与单调性的判断,属于基础题. 4. (3 分)函数 f(x)=xln|x|(x≠0)的大致图象是()

,∴

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 容易看出,该函数是奇函数,所以排除 AD 项,再原函数式化简,去掉绝对值符号转 化为分段函数,再从研究 x>0 时,特殊的函数值符号、极值点、单调性、零点等性质进行判 断. 解答: 解:令 f(x)=xln|x|,易知 f(﹣x)=﹣xln|﹣x|=﹣xln|x|=﹣f(x) ,所以该函数是奇 函数,排除选项 AD; 又 x>0 时,f(x)=xlnx,容易判断,当 x→+∞时,xlnx→+∞,排除 C 选项; 令 f(x)=0,得 xlnx=0,所以 x=1,即 x>0 时,函数图象与 x 轴只有一个交点,所以 B 选项 满足题意. 故选:B. 点评: 函数图象问题就是考查函数性质的问题.不过,除了分析定义域、值域、单调性、 奇偶性、极值与最值等性质外,还要注意对特殊点,零点等性质的分析,注意采用排除法等间 接法解题. 5. (3 分)函数 f(x)= A.{x|x≥﹣2} 的定义域为 M,g(x)= 的定义域为 N,则 M∩N=() D.{x|x<2}

B.{x|﹣2<x<2}

C.{x|﹣2≤x<2}

考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 通过求函数的定义域,求得集合 M、N,再进行交集运算即可. 解答: 解:函数 f(x)= 的定义域为 M={x|x<2};

g(x)= 的定义域为 N={x|x≥﹣2}, ∴M∩N=[﹣2,2) . 故选 C 点评: 本题考查交集及其运算.

6. (3 分)设 A.c<b<a B.c<a<b

,则() C.a<b<c D.b<a<c

考点: 根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 计算题. 分析: 利用幂函数的性质比较两个正数 a,b 的大小,然后推出 a,b,c 的大小即可. 解答: 解:因为 y= 是增函数,所以

所以 c<a<b 故选 B 点评: 本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算,考查计算推理能力,是基础题. 7. (3 分)如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经过 3 分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离,则 H 与下落时间 t(分)的函数关系表示的图象只可能是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用特殊值法,圆柱液面上升速度是常量,表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的 体积相同,当时间取 1.5 分钟时,液面下降高度与漏斗高度的 比较. 解答: 解:由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口, 当时间取 t 时,漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的 , 对比四个选项的图象可得结果. 故选 A. 点评: 本题考查函数图象,还可以正面分析得出结论:圆柱液面上升速度是常量,则 V(这 里的 V 是漏斗中剩下液体的体积)与 t 成正比(一次项) ,根据圆锥体积公式 V= πr h,可以
2

得出 H=at +bt 中,a 为正数,另外,t 与 r 成反比,可以得出 H=at^2+bt 中,b 为正数.所以选 择 A. 8. (3 分)若函数 y=x +(2a﹣1)x+1 在区间(﹣∞,2]上是减函数,则实数 a 的取值范围是 () A.[﹣ ,+∞) B.(﹣∞,﹣ ] C.[ ,+∞) D.(﹣∞, ]
2

2

考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题. 2 分析: 由已知中函数的解析式,结合二次函数的图象和性质,可以判断出函数 y=x +(2a﹣ 1)x+1 图象的形状,分析区间端点与函数图象对称轴的关键,即可得到答案. 解答: 解:∵函数 y=x +(2a﹣1)x+1 的图象是方向朝上,以直线 x= 物线 又∵函数在区间(﹣∞,2]上是减函数, 故 2≤ 解得 a≤﹣ 故选 B. 点评: 本题考查的知识点是函数单调性的性质,其中熟练掌握二次函数的图象和性质是解 答本题的关键. 9. (3 分)下列各式: ①
2 2

为对称轴的抛

=a;
0

②(a ﹣3a+3) ③

=



其中正确的个数是() A.0 B. 1

C. 2

D.3

考点: 有理数指数幂的化简求值;命题的真假判断与应用. 分析: 利用指数幂的运算性质即可判断出. 解答: 解:①当 n 为偶数时,
2 2

=|a|,故①错;
2 0

②a ﹣3a+3=(a﹣ ) + >0,故(a ﹣3a+3) =1,故②对; ③ =﹣ , = ,故③错.

综上可知:只有②一个正确. 故选 B. 点评: 熟练掌握指数幂的运算性质是解题的关键.

10. (3 分)若函数 y=f(x)的定义域是[2,4],则 y=f( A.[ ,1] B.[4,16] C. [ , ]

)的定义域是() D.[2,4]

考点: 对数函数的定义域;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 令 =t,使 t 满足 y=f(x)的定义域中 x 的取值范围相同,求出 y=f( 的定义域即可. 解答: 解:∵y=f( ∴y=f( )=f(t) ,



) ,令

=t,

∵函数 y=f(x)的定义域是[2,4], ∴y=f(t)的定义域也为[2,4],即 2≤t≤4, ∴有 2≤ ≤4,解得: ,

∵函数的定义域即解析式中自变量的取值范围, ∴y=f( )的定义域为 ,

即:



故选 C. 点评: 本题只要明确函数的定义域即解析式中自变量的取值范围,运用整体代换(换元法) 即可迎刃而解.

11. (3 分)设函数 f(x)=

,则 f(f(3) )=()

A.

B. 3

C.

D.

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 由条件求出 f(3)= ,结合函数解析式求出 f(f(3) )=f( )= +1,计算求得结 果.

解答: 解:函数 f(x)=

,则 f(3)= ,

∴f(f(3) )=f( )= +1=



故选 D. 点评: 本题主要考查利用分段函数求函数的值的方法,体现了分类讨论的数学思想,求出 f (3)= ,是解题的关键,属于基础题.

12. (3 分)定义在 R 上的偶函数在[0,7]上是减函数,在[7,+∞)是增函数,又 f(7)=6, 则 f(x) () A.在[﹣7,0]是增函数,且最大值是 6 B. 在[﹣7,0]是减函数,且最大值是 6 C. 在[﹣7,0]是增函数,且最小值是 6 D.在[﹣7,0]是减函数,且最小值是 6 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性和单调性的性质即可得到结论. 解答: 解:∵f(x)是在 R 上的偶函数在[0,7]上是减函数,在[7,+∞)是增函数, ∴f(x)在[﹣7,0]是增函数,在(﹣∞,﹣7)是减函数, ∴当 x=﹣7 时,函数 f(x)取得且最小值 f(﹣7) , ∵f(7)=6, ∴f(﹣7)=f(7)=6, 故选:C. 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,综合考查了函数的性质. 二、填空题: (每题 3 分,共 12 分) 13. (3 分)不等式 [﹣3,1]. 考点: 其他不等式的解法;指数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 把 变为 2 ,然后利用指数函数的单调性列出关于 x 的不等式,求出不等式的解集 即可. 解答: 解:
2
﹣1

的解集为

=2 ,

﹣1

依题意得:x +2x﹣4≤﹣1, 因式分解得(x+3) (x﹣1)≤0, 可化为: 或 ,解得﹣3≤x≤1,

所以原不等式的解集为[﹣3,1]. 故答案为:[﹣3,1]

点评: 此题要求学生灵活运用指数函数的单调性化简求值, 会求一元二次不等式的解集. 考 查了转化的思想,是一道中档题. 14. (3 分)已知集合 A={﹣2,3,4m﹣4},集合 B={3,m }.若 B?A,则实数 m=2. 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题. 分析: 根据子集的定义,可得若 B?A,则 B 中元素均为 A 中元素,但 m =﹣2 显然不成立, 2 故 m =4m﹣4,解方程可得答案. 2 解答: 解:∵集合 A={﹣2,3,4m﹣4},集合 B={3,m }. 若 B?A, 则 m =4m﹣4,即 m ﹣4m+4=(m﹣2) =0 解得:m=2 故答案为:2 点评: 本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用,熟练掌握子集的定义是解答的关 键.
2 2 2 2 2

15. (3 分)幂函数 m 的值为 2. 考点: 幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 由题意幂函数

在[0,+∞)上是单调递减的函数,则实数

在[0,+∞)上是单调递减的函数,由此

可得

解此不等式组即可求出实数 m 的值

解答: 解:幂函数

在[0,+∞)上是单调递减的函数



解得 m=2

故答案为 2 点评: 本题考点是幂函数的单调性,奇偶性及其应用,考察了幂函数的定义,幂函数单调 性与指数的对应关系,解题的关键是理解幂函数的定义及幂函数的单调性与指数的对应关系, 本题是幂函数的基础题,考察了推理判断的能力 16. (3 分)函数 y=lg(4+3x﹣x )的单调增区间为(﹣, ].
2

考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 函数 y=lg(4+3x﹣x )的增区间即为函数 y=4+3x﹣x 的增区间且 4+3x﹣x >0,由 此即可求得. 解答: 解:由 4+3x﹣x >0,解得﹣1<x<4, 所以函数的定义域为(﹣1,4) . 2 2 2 函数 y=lg(4+3x﹣x )的增区间即为函数 y=4+3x﹣x 的增区间且 4+3x﹣x >0, 因此所求增区间为(﹣1, ]. 故答案为: (﹣1, ]. 点评: 本题考查复合函数单调性,复合函数单调性的判断方法为“同增异减”,注意函数定义 域,单调区间必为定义域的子集. 三、解答题: 17. (8 分)已知集合 A={x|4≤x<8},B={x|2<x<10},C={x|x<a}. (1)求 A∪B; (?RA)∩B; (2)若 A∩C≠?,求 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算;交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 本题考查集合的交、并、补运算,对于(1)求出 A 的补集是关键,对于(2)利用 A∩C≠φ 确定参数 a 的取值范围 解答: 解: (1)∵集合 A={x|4≤x<8},B={x|2<x<10}, ∴A∪B={x|2<x<10}, ∵CRA={x|x<4 或 x≥8} ∴(CRA)∩B={x|8≤x<10 或 2<x<4} (2)∵若 A∩C≠φ,A={x|4≤x<8},C={x|x<a}. ∴a 的取值范围是 a>4 ∴a∈(4,+∞) 点评: 本题考查子集、补集、交集的混合运算,并求出参数 a 的范围,属于基础题 18. (8 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +x+1,求 f(x)的解析 式. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 常规题型;函数的性质及应用. 分析: 要求 f(x)的解析式,只要求出 x<0 的解析式即可,设 x<0,则﹣x>0,代入 x> 0 的解析式,然后利用函数 f(x)是奇函数得到 f(﹣x)=﹣f(x) ,即可求出 f(x)在 x<0 时的解析式. 解答: 解:设 x<0,则﹣x>0 2 2 ∴f(﹣x)=(﹣x) +(﹣x)+1=x ﹣x+1 又∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) 2 ∴﹣f(x)=x ﹣x+1 2 即 f(x)=﹣x +x﹣1
2 2

2

2

2

∴f(x)=



点评: 本题是知道函数一个区间上的解析式,求另外区间上的解析式,关键是利用函数的 奇偶性进行转化. ,x∈[3,5],

19. (8 分)已知函数 f(x)=

(1)判断函数 f(x)的单调性,并证明; (2)求函数 f(x)的最大值和最小值. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)可得 f(x)=2﹣ (2)由单调性可知函数的最值. 解答: (1)证明:可得 f(x)= = =2﹣ , >0, ,求导数可判单调性;

求导数可得 f′(x)=

故函数 f(x)在 x∈[3,5]单调递增; (2)由(1)可知: 当 x=3 时,函数取最小值 , 当 x=5 时,函数取最大值 点评: 本题考查函数的单调性和判断与证明,涉及函数的最值的求解,属中档题. ,若 f(x)=ax ﹣2x+1 在区间[1,3]上的最大值为 M(a) ,最小值
2

20. (8 分)已知

为 N(a) ,令 g(a)=M(a)﹣N(a) ,求 g(a)的函数表达式. 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: f(x)=ax ﹣2x+1 的对称轴为 x= ,由
2

,知 1

3,所以 f(x)在[1,

3]上,N(a)=f( )=1﹣ .由 a 的符号进行分类讨论,能求出 g(a)的解析式. 解答: 解:f(x)=ax ﹣2x+1 的对称轴为 x= ,
2



,∴1

3,

∴f(x)在[1,3]上,N(a)=f( )=1﹣ . ∵f(x)=ax ﹣2x+1 在区间[1,3]上的最大值为 M(a) ,最小值为 N(a) , ∴①当 1 2,即 时,
2

M(a)=f(3)=9a﹣5,N(a)=f( )=1﹣ . g(a)=M(a)﹣N(a)=9a+ ﹣6. ②当 2 3,即 时,

M(a)=f(1)=a﹣1,N(a)=f( )=1﹣ . g(a)=M(a)﹣N(a)=a+ ﹣2.

∴g(a)=



点评: 本题考查函数的解析式的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意分类讨论思想 的合理运用. 21. (10 分)已知函数 f(x)= (其中 p 为常数,x∈[﹣2,2])为偶函数.

(1)求 p 的值; (2)如果 f(1﹣m)<f(2m) ,求实数 m 的取值范围. 考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由于函数 f(x)为偶函数,f(﹣x)=f(x) ,即 = ,解出即可.

(2)由(1)可得:f(x)=

,可得函数 f(x)在[0,2]上为减函数,在[﹣2,0]上为增

函数.由于 f(1﹣m)<f(2m) ,可得 2≥|1﹣m|>|2m|≥0,解出即可. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)为偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) ,即 = ,化为 px=0,解得 p=0.

(2)由(1)可得:f(x)=



∴函数 f(x)在[0,2]上为减函数,在[﹣2,0]上为增函数. ∵f(1﹣m)<f(2m) ,

∴2≥|1﹣m|>|2m|≥0, 解得 . .

∴实数 m 的取值范围是

点评: 本题考查了函数的奇偶性、单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

22. (10 分)若 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切 x,y>0,满足 f( )=f (x)﹣f(y) . (Ⅰ)求 f(1)的值; (Ⅱ)若 f(6)=1,解不等式 f(x+3)﹣f( )<2.

考点: 抽象函数及其应用;函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)在 f( )=f(x)﹣f(y)中,令 x=y=1,能求出 f(1) . (Ⅱ)由 f(6)=1,知 f(x+3)﹣f( )<2=f(6)+f(6) ,故 f( )<f(6) ,再由 f(x)

是(0,+∞)上的增函数,能求出不等式 f(x+3)﹣f( )<2 的解集. 解答: 解: (Ⅰ)在 f( )=f(x)﹣f(y)中, 令 x=y=1,得 f(1)=f(1)﹣f(1) , ∴f(1)=0. (Ⅱ)∵f(6)=1, ∴f(x+3)﹣f( )<2=f(6)+f(6) , ∴f(3x+9)﹣f(6)<f(6) , 即:f( )<f(6) ,

∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,



.解得﹣3<x<9.

故不等式 f(x+3)﹣f( )<2 的解集为(﹣3,9) . 点评: 本题考查抽象函数的函数值的解法,考查不等式的解法.解题时要认真审题,注意 抽象函数的性质的灵活运用.


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