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湖北省七市(州)2015届高三3月联合考试数学(文科)word


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机密★启用前 试卷类型:A

湖北省七市(州)2015 届高三 3 月联合考试 数学(文史类)
整理制作:青峰弦月工作室
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 1.若复数 z 满足 iz ? 2 ? 4i ,i

为虚数单位,则在复平面内 z 对应的点的坐标是 A. (4,2) B. (4,-2) C. (2,4) D. (2,-4) 2.设集合 A ? {x |

x?2 ? 0} , B ? {x | log2 ( x ? 1) ? 0} ,那么“x∈A”是“x∈B”的 x ?1
B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

3.已知变量 x 与 y 负相关,且由观测数据算得样本平均数 x ? 4 , y ? 4.5 ,则由该观测数 据算得的线性回归方程可能是 ? ? ? ? A. y ? 0.4 x ? 2.3 B. y ? 2 x ? 2.4 C. y ? ?0.3x ? 3.3 D. y ? ?2 x ? 12.5 4.已知命题 p: ?x ? R ,x-1>lnx.命题 q: ?x ? R , x ? 0 ,则 A.命题 p∨q 是假命题 B.命题 p∧q 是真命题 C.命题 p∧( ? q)是真命题 D.命题 p∨( ? q)是假命 题 5.若某几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体积是

20 3 22 B. 3
A. C.7 D.6 6. 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,?? ? ? ? ? ) 的 部分图象如图所示,为了得到 g ( x) ? 3 sin 2x 的图像,只需 将 f ( x) 的图像

2? 个单位长度 3 2? B.向右平移 个单位长度 3 ? C.向左平移 个单位长度 3 ? D.向右平移 个单位长度 3 7.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x(1 ? x) ,若数列 {an } 满 1 1 足 a1 ? ,且 an ?1 ? ,则 f (a11 ) = 2 1 ? an
A.向左平移 A.6 B.-6 C.2 D.-2

1 1 3 a 8.若 n ? 2 , log 3 b ? , c ? (其中 e 为自然对数的底数) ,则 a、b、c 的大小关系正 e 9
确的是 A.b>a>c B.c>b>a C.b>c>a D.a>b>c

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9.某工厂生产甲、乙两种产品,每生产 1 吨甲产品需要用电 2 千度、用煤 2 吨、劳动力 6 人,产值为 6 千元;每生产 1 吨乙产品需要用电 2 千度、用煤 4 吨、劳动力 3 人,产值为 7 千元. 但该厂每天的用电不得超过 70 千度、 用煤不得超过 120 吨、 劳动力不得超过 180 人. 若 该厂每天生产的甲、乙两种产品的数量分别为 x、y(单位:吨) ,则该厂每天创造的最大产 值 z(单位:千元)为 A.260 B.235 C.220 D.210

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 作曲线 C2 : x2 ? y 2 ? a2 的切线,设 a 2 b2 切点为 M,延长 FM 交曲线 C3 : y 2 ? 2 px( p ? 0) 于点 N,其中曲线 C1 与 C3 有一个共同的
10.过曲线 C1 : 焦点,若点 M 为线段 FN 的中点,则曲线 C1 的离心率为 A. 5 B.

5 2

C. 5 +1 D.

5 ?1 2

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分。将答案填在 答题卡相应位置上。 ) 11.某学校高一、高二、高三三个年级的学生人数之比为 3:3:4, 现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 160 的样本,则应从高一年级抽取 ▲ 名学生. 12.已知角 ? 的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边过点 P(-3,4) , 则 sin( ? ?

?

4 13.已知向量 OA =(2,m) ,OB =(1, 3 ) ,且向量 OA 在向量 OB
方向上的投影为 1,则| AB |= ▲ . 14.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若

)=





S 4 S3 ? =1,则其公差为 12 9
▲ .

▲ . 15.执行如右图所示的程序框图,若输出结果是 i=3,则正整数 a0 的最大值为
2 2

16.已知 A、B 为圆 O : x ? y ? 25上的任意两点,且|AB|≥8.若线段 AB 的中点组成的 区域为 M,在圆 O 内任取一点,则该点落在区域 M 内的概率为 ▲ . 17.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3, 5,8,13,?,其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列 数所组成的数列 {an } 称为“斐波那契数列” .那么 中的第 ▲ 项.
2 2 2 a12 ? a2 ? a3 ? ? ? a2015 是斐波那契数到 a2015

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 65 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 18. (本小题满分 12 分) 已知△ABC 的三内角 A、B、C 所对的边的长分别为 a、b、c,设 m=(a-b,c) ,n=(a-c, a+b) ,且 m∥n. (1)求∠B; (2)若 a=1,b= 3 ,求△ABC 的面积.

19. (本小题满分 12 分)

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? ? ,∠BAO= ,AB=4,D 为线段 2 6 BA 的中点. △AOC 由△AOB 绕直线 AO 旋转而成, 记∠BOC= ? ,? ∈ ? (0, ]. 2 ? (1)证明:当 ? = 时,平面 COD⊥平面 AOB; 2
如图,在△AOB 中,∠AOB= (2) 当三棱锥 D-BOC 的体积为 1 时, 求三棱锥 A-BOC 的全面积.

20. (本小题满分 13 分) 设 {an } 为公比不为 1 的等比数列, a4 =16,其前 n 项和为 Sn ,且 5 S1 、2 S2 、 S3 成等 差数列. (l)求数列 {an } 的通项公式;

1 ,Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和.是否存在正整数 k,使得对 log 2 an · log 2 an ?1 2 k * 于任意 n∈N 不等式 Tn > ( ) 恒成立?若存在,求出 k 的最小值;若不存在,请说明理由. 3
(2)设 bn ?

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 1 (a∈R,e 是自然对数的底数) . (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 a=1 时,正实数 m、n 满足 m+n=2mn.试比较 f ( mn) 与 f ( 并说明理由; (3)讨论函数 F ( x) ? f ( x) ? x , x ? ? , e? 的零点个数. e
2

m?n ) 的大小, 2

?1 ? ? ?

22. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 ? ? 1 ,F1、F2 为椭圆的左、右焦点,A、B 为椭圆的左、右顶点, a2 4 1 点 P 为椭圆上异于 A、B 的动点,且直线 PA、PB 的斜率之积为- . 2
已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程; (2)若动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,试问:在 x 轴上是否存在两个定点,使 得这两个定点到直线 l 的距离之积为 4?若存在,求出两个定点的坐标;若不存在,请说明 理由.

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2015 年 3 月湖北省七市(州)教科研协作体高三联合考试 数学(文史类)参考答案及评分标准
说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评 分标准的精神进行评分。 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。 当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解未改变这一题的内 容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分 数的一半,如果有较严重的概念性错误,就不给分。 3.解答题中右端所标注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数。 一.选择题:A 卷 DCACA DCACB B 卷 BCDCA CAABD 二.填空题:11.48 三.解答题: 18.(1)解:∵m∥ n,∴ (a ? c)c ? (a ? b)(a ? b) ? 0 ∴ a ? c ? b ? ac
2 2 2

12.

2 10

13.2

14.6

15.3

16.

9 25

17.2016

2分 3分

由余弦定理得: cos B ? 又 0 ? B ? ? ?B ?

?
3

a ?c ?b 1 ? 2ac 2
2 2 2

5分 6分



(2)解:∵ a ? 1, b ? 3 ,由正弦定理得
1 3 1 ,∴ sin A ? ? ? sin A sin 2 3

8分

∵a < b,∴A < B,∴ A ? 分

?

6

10

故 C ? ? ? ( A ? B) ? ? ? ( 分 ∴ S ?ABC ? 分 19.(1)证:当 ? ?

?
3

?

?
6

)?

?
2

11

1 1 3 ab ? ? 1 ? 3 ? . 2 2 2

12

?
2

时, ?BOC ?

?
2

,即 OC ? OB

1分

又 OC ? OA , OA OB ? O ∴OC⊥平面 AOB 3分

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∵OC?平面 COD ∴平面 COD⊥平面 AOB. (2)解:在 Rt△AOB 中, AB ? 4,?BAO ? ∴ OB ? 2, OA ? 2 3 取 OB 的中点 E,连接 DE,则 DE∥ AO ∴ DE ? 3 又 AO⊥平面 BOC,∴DE⊥平面 BOC 1 1 1 ∴ VD? BOC ? S?BOC ? DE ? ? ? 2 ? 2sin ? ? 3 ? 1 3 3 2 3 ? ∴ sin ? ? ,? ? 2 3 分 ∴△ BOC 是等边三角形,∴ BC ? 2 ∴等腰三角形 ABC 的面积为 15 △ AOB 与△ AOC 的面积都是 2 3 △ BOC 的面积为 3 ∴多面体 A-BOC 的全面积是 5 3 ? 15 . 分 20.(1)解:∵5S1、2S2、S3 成等差数列 ∴ 4S2 ? 5S1 ? S3 ,即 4(a1 ? a1q) ? 5a1 ? a1 ? a1q ? a1q 2 ∴ q2 ? 3q ? 2 ? 0 ∵ q ? 1 ,∴q = 2 又∵ a4 ? 16 ,即 a1q ? 8a1 ? 16 , a1 ? 2
3

4分

?
6

,?AOB ?

?
2
5分 6分 7分 8分

10

12

2分 4分 5分

∴ an ? 2n .

2 (2)解:假设存在正整数 k 使得对于任意 n∈N*不等式 Tn ? ( )k 都成立 3 2 k 则 (Tn )min ? ( ) 3 1 1 1 1 ? ? ? 又 bn ? n n ?1 log 2 2 ? log 2 2 n ? n ? 1? n n ? 1
1 1 1 所以 Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? 2 2 3 分 1 1 1 ?( ? ) ? 1? n n ?1 n ?1

7分 9分 10

显然 Tn 关于正整数 n 是单调递增的,所以 (Tn )min ? T1 ?

1 2
12

1 2 ? ( )k ,解得 k≥2. 2 3 分


2 所以存在正整数 k,使得对于任意 n∈N*不等式 Tn ? ( )k 都成立 3

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且正整数 k 的最小值为 2 . 分
? ?) 21.(1)解:依题意,函数 f ( x) 的定义域为 (0, 1 1 f ? ? x ? ? ? a ,令 f ? ? x ? ? ? a ? 0 ,得 ax ? 1 x x ? ?) 总成立,函数 f ( x) 的增区间是 (0, ? ?) 当 a≤0 时, ax ? 1 在 (0, 1 当 a > 0 时,由 ax ? 1 得 x ? a 1 1 此时函数 f ( x) 的增区间是 (0, ) ,减区间是 ( , ? ?) a a

13

1分 2分

4分

n ? 0 ,∴ m ? n ? 2mn ≥ 2 mn ,即 mn ≥ 1 (当且仅当 m ? n ? 1 时取等号) (2)解:∵ m ? 0, m?n ∴ 6分 ≥ mn ≥1 2 由(1)知 a = 1 时,函数 f ( x) 的增区间是(0,1),减区间是(1,+∞) m?n ∴ f( 8分 ) ≤ f ( mn ) 2

(3)解: F ( x) ? ln x ? x2 ? ax ? 1 ,由 F ( x) ? 0 得 令 h( x) ?

ln x ? 1 2 ? ln x ? x , h? ? x ? ? ?1 x x2

ln x ? 1 ?x?a x
10

分 1 ∵ ≤ x ≤ e ,∴ ?1 ≤ ln x ≤ 1 ,∴ h? ? x ? ? 0 e 1 1 1 ∴ h ? x? 在 [ , e] 上是增函数, h( x)min ? h( ) ? ? 2e, h( x)max ? h(e) ? e e e e 1 ∴当 ? 2e ≤ a ≤ e 时函数 F ( x) 只有一个零点 e 1 当 a ? ? 2e 或 a ? e 时函数 F ( x) 没有零点. e 分
0), B(a, 0) ,设 P( x0 ,y0 ) ,则 22.(1)解: A(?a,

14

x0 2 y0 2 ? ?1 a2 4

依题意

y0 y0 1 ? ? ? ,得 a 2 ? 8 x0 ? a x0 ? a 2

∴椭圆标准方程为

x2 y 2 ? ?1 8 4

5分

(2)解:① 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y = kx + p,代入椭圆方程得 (1 + 2k2)x2 + 4kpx + 2p2-8 = 0 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 所以△ =16k2p2-4(1 + 2k2)(2p2-8) = 8(4 + 8k2-p2) = 0 即 4 + 8k2 = p2 设 x 轴上存在两个定点(s,0),(t,0),使得这两个定点到直线 l 的距离之积为 4,则 8分 6分

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| ks ? p | | kt ? p | | k 2 st ? kp( s ? t ) ? p 2 | ? ? ?4 k2 ?1 k2 ?1 k2 ?1

即 (st + 4)k + p(s + t) = 0(*),或(st + 12)k2 + (s + t)kp + 8 = 0 (**)
? st ? 4 ? 0 ?s ? 2 ? s ? ?2 或? 由(*)恒成立,得 ? ,解得 ? s ? t ? 0 t ? ? 2 ? ? ?t ? 2

12

分 (**)不恒成立. ② 当直线 l 的斜率不存在,即直线 l 的方程为 x ? ? 2 时 定点(-2,0)、F2(2,0)到直线 l 的距离之积 (2 2 ? 2)(2 2 ? 2) ? 4 . 综上,存在两个定点(2,0)、(?2,0),使得这两个定点到直线 l 的距离之积为定值 4. 14 分 注:第(2)小题若直接由椭圆对称性设两定点为关于原点对称的两点,则扣 2 分; 第(2)小题若先由特殊情况得到两个定点,再给予一般性证明也可。

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