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北京市海淀区2014届海淀高三上学期期中考试数学文试题2


海淀区高三年级第一学期期中练习 数学(文科) 2013.11
本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合 A

? {?1,0,1,2} , B ? {x | x ? 1} ,则 A ? B ? ( B ) A. {2} B. {1, 2} C. {?1,2} D. {?1,1, 2}

2. 下列函数中,为奇函数的是( D ) A. f ( x ) ? x B. f ( x) ? ln x C. f ( x) ? 2 x D. f ( x) ? sin x

3. 已知向量 a ? (1, ?2), b ? (m, ?1) ,且 a / / b ,则实数 m 的值为( C ) A. ?2 4.“ ? ? B. ?

1 2

C.

1 2

D. 2

π 1 ”是“ sin ? ? ”的(A) 6 2
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
*

A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

5. 已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? ?10, an ?1 ? an ? 3 (n ? N ) ,则 S n 取最小值时, n 的值 是(B) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

? ? ? tan x, ? ? x ? 0, π 6.若函数 f ( x ) ? ? 2 在 (? , ??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围( A ) 2 ? a ( x ? 1) ? 1, x ? 0 ?
A. (0,1] A. ( ?1,1) B. (0,1) C. [1, ??) ) D. (??, ?1) C. (1, ??) D. (0, ??)

7.若函数 f ( x) ? sin x ? kx 存在极值,则实数 k 的取值范围是( A B. [0,1)

8.已知点 B(1,0) , P 是函数 y ? e x 图象上不同于 A(0,1) 的一点.有如下结论: ①存在点 P 使得 ?ABP 是等腰三角形; ②存在点 P 使得 ?ABP 是锐角三角形;

③存在点 P 使得 ?ABP 是直角三角形. 其中,正确的结论的个数为( B ) A. 0 B.1 C. 2 D. 3

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
9. 函数 y ? x 2 ? x 的定义域是____________. (??, ?1] ? [0, ??) 10.已知 10a ? 5, b ? lg 2 ,则 a ? b ? ________.1 11. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? 4, S3 ? 3 ,则公差 d ? ___________.3

π 12.函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ?) (? ? 0,| ? | ? ) 的图象如图所示, 2 2π π , 则 ? ? ______________, ? ? __________. 3 6

y
2

O 0.5
?2

2

x

??? ??? ? ? 13. 向量 AB , AC 在正方形网格中的位置如图所示.
C

??? ? ??? ? ??? ? 设向量 a ? AC ? ? AB ,若 a ? AB ,则实数 ? ? __________.3
A B

14.定义在 (0, ??) 上的函数 f ( x ) 满足:
? x ? 1, 1 ? x ? 2, ①当 x ? [1,3) 时, f ( x) ? ? ② f (3x) ? 3 f ( x) . ?3 ? x, 2 ? x ? 3,

(i) f (6) ? ; ( ii ) 若 函 数 F ( x) ? f ( x)? a 零 点 从 小 到 大 依 次 记 为 x1 , x2 ,?, xn ,? , 则 当 a ? (1,3) 时 , 的
x1 ? x 2 ? ? ? x 2 ? 1? x n2 ? _____________. n

答案:3; 6(3n ? 1)

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分 14 分)

π 已知函数 f ( x) ? 3 cos 2 x ? 2cos 2 ( ? x) ? 1 . 4
(I)求 f ( x ) 的最小正周期;

π π (II)求 f ( x ) 在区间 [ ? , ] 上的取值范围. 3 2

π 解:(I) f ( x) ? 3 cos 2 x ? cos( ? 2 x) 2
? 3 cos 2 x ? sin 2 x

---------------------------------------2 分

-------------------------------------------------4 分

π -------------------------------------------------6 分 ? 2sin(2 x ? ) 3 -------------------------------------------------8 分 f ( x ) 最小正周期为 T ? π , π π 4π π π --------------------------------------10 分 ? x ? ,所以 ? ? 2 x ? ? 3 2 3 3 3 3 π 所以 ? ---------------------------------------12 分 ? sin(2 x ? ) ? 1 2 3 π 所以 ? 3 ? 2sin(2 x ? ) ? 2 ,所以 f ( x ) 取值范围为 [ ? 3,2] .---------------14 分 3
(II)因为 ? 16.(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, A ? 60? , 3b ? 2c, S?ABC ? (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求 sin B 的值. 解:(Ⅰ)由 A ? 60? 和 S?ABC ? 所以 bc ? 6 , 又 3b ? 2c, 所以 b ? 2, c ? 3 . (Ⅱ)因为 b ? 2, c ? 3 , A ? 60? , 由余弦定理 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 可得 ------------------------------------7 分 ------------------------------------9 分 ------------------------------------5 分

3 3 . 2

3 3 1 3 3 可得 bc sin 60? ? , ---------------------------2 分 2 2 2 --------------------------------------3 分

a 2 ? 22 ? 32 ? 6 ? 7 ,即 a ? 7 .
由正弦定理

a b 7 2 ? 可得 ,---------------------------------12 分 ? ? sin B sin 60 sin A sin B
21 .------------------------------------13 分 7

所以 sin B ?

17.(本小题满分 13 分) 已知等比数列 {an } 满足 a3 ? a1 ? 3, a1 ? a2 ? 3 . (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)若 bn ? an 2 ? 1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和公式. 解:(I)设等比数列 {an } 的公比为 q ,

由 a3 ? a1 ? 3 得 a1 (q 2 ? 1) ? 3 ①

----------------------------------2 分

由 a1 ? a2 ? 3 得 a1 (1 ? q) ? 3 ②----------------------------------4 分 两式作比可得 q ? 1 ? 1 ,所以 q ? 2 , ----------------------------------5 分

把 q ? 2 代入②解得 a1 ? 1 ,----------------------------------6 分 所以 an ? 2n ?1 . (II)由(I)可得 bn ? an 2 ? 1 ? 4n ?1 ? 1 易得数列 {4n?1} 是公比为 4 的等比数列, 由等比数列求和公式可得 ----------------------------------7 分 ------------------------------8 分

Sn ?

1 ? 4n 1 ? n ? (4n ? 1) ? n .------------------------------13 分 1? 4 3

18.(本小题满分 13 分) 如图, 已知点 A(11,0) , 函数 y ? x ? 1 的图象上的动点 P 在 x 轴上的射影为 H , 且点 H 在点 A 的左侧.设 | PH |? t , ?APH 的面积为 f (t ) . (I)求函数 f (t ) 的解析式及 t 的取值范围; (II)求函数 f (t ) 的最大值.
O H A

y
P

x

解:(I)由已知可得 x ? 1 ? t ,所以点 P 的横坐标为 t 2 ? 1 ,----------------------------2 分 因为点 H 在点 A 的左侧,所以 t 2 ? 1 ? 11 ,即 ?2 3 ? t ? 2 3 . 由已知 t ? 0 ,所以 0 ? t ? 2 3 , 所以 AH ? 11 ? (t 2 ? 1) ? 12 ? t 2 , -------------------------------------4 分

1 所以 ?APH 的面积为 f (t ) ? (12 ? t 2 )t ,0 ? t ? 2 3 .---------------------------6 分 2 3 3 --------------------------7 分 (II) f '(t ) ? 6 ? t 2 ? ? (t ? 2)(t ? 2) 2 2
由 f '(t ) ? 0 ,得 t ? ?2 (舍),或 t ? 2 . 函数 f (t ) 与 f '(t ) 在定义域上的情况如下: --------------------------8 分

t
f '(t )

(0, 2)
+

2 0

(2, 2 3)
?

f (t )



极大值

↘ ------------------------------------12 分

所以当 t ? 2 时,函数 f (t ) 取得最大值 8.

------------------------------------13 分

19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x (I)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (II)求 f ( x) 的单调区间; (III)若函数 f ( x) 没有零点,求 a 的取值范围. 解:(I)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x , f '( x ) ? 1 ?

1 ( x ? 0) ------------------------------1 分 x
-------------------------------3 分 --------------------------------5 分

f (1) ? 1 , f '(1) ? 2 所以切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0
(II) f '( x) ?

x?a -----------------------------6 分 ( x ? 0) x 当 a ? 0 时,在 x? (0, ??) 时 f '( x) ? 0 ,所以 f ( x) 的单调增区间是 (0, ??) ;-8 分 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 与 f '( x ) 在定义域上的情况如下:

x
f '( x )

(0, ?a)
?

?a
0 极小值

( ?a, ??)
+ ↗

f ( x)



------------------------------------10 分 (III)由(II)可知 ①当 a ? 0 时,(0, ??) 是函数 f ( x) 的单调增区间, 且有 f (e
? 1 a)

?e

?

1 a

? 1 ? 1 ? 1 ? 0 , f (1) ? 1 ? 0 ,

所以,此时函数有零点,不符合题意; ---------------11 分 ②当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在定义域 (0, ??) 上没零点; --------------12 分 ③当 a ? 0 时, f (?a) 是函数 f ( x) 的极小值,也是函数 f ( x) 的最小值, 所以,当 f (?a) ? a(ln(?a) ? 1) ? 0 ,即 a ? ?e 时,函数 f ( x) 没有零点-------13 分 综上所述,当 ?e ? a ? 0 时, f ( x) 没有零点. -------------------14 分 20.(本小题满分 13 分)
? an , an为3的倍数, 已知数列 {an } 的首项 a1 ? a, 其中 a ? N* , an ?1 ? ? 3 ? ?an ? 1 , an不为3的倍数. ?

? 令集合 A ? {x | x ? an , n=1,2,3, } .
(I)若 a ? 4 ,写出集合 A 中的所有的元素; (II)若 a ? 2014 ,且数列 {an } 中恰好存在连续的 7 项构成等比数列,求 a 的所有可能取值构成的 集合; (III)求证: 1? A .

解:(I)集合 A 的所有元素为:4,5,6,2,3,1..-------------------------------3 分 (II)不妨设成等比数列的这连续 7 项的第一项为 ak ,

1 如果 ak 是 3 的倍数,则 ak ?1 ? ak ;如果 ak 是被 3 除余 1,则由递推关系可得 ak ?2 ? ak ? 2 , 3 1 所以 ak ?2 是 3 的倍数,所以 ak ?3 ? ak ? 2 ;如果 ak 被 3 除余 2,则由递推关系可得 ak ?1 ? ak ? 1 ,所以 3 1 ak ?1 是 3 的倍数,所以 ak ?2 ? ak ?1 . 3 1 所以,该 7 项的等比数列的公比为 . 3
又因为 an ? N* ,所以这 7 项中前 6 项一定都是 3 的倍数,而第 7 项一定不是 3 的倍数(否则 构成等比数列的连续项数会多于 7 项), 设第 7 项为 p ,则 p 是被 3 除余 1 或余 2 的正整数,则可推得 ak ? p ? 36 因为 36 ? 2014 ? 37 ,所以 ak ? 36 或 ak ? 2 ? 36 . 由递推关系式可知,在该数列的前 k ? 1 项中,满足小于 2014 的各项只有:

ak ?1 ? 36 ? 1, 或 2 ? 36 ? 1 , ak ?2 ? 36 ? 2, 或 2 ? 36 ? 2 ,
所以首项 a 的所有可能取值的集合为 { 36 ,2 ? 36 , 36 ? 1,2 ? 36 ? 1, 36 ? 2,2 ? 36 ? 2 }. -----------------------8 分

1 (III)若 ak 被 3 除余 1,则由已知可得 ak ?1 ? ak ? 1 , ak ?2 ? ak ? 2, ak ?3 ? (ak ? 2) ; 3 1 1 若 ak 被 3 除余 2,则由已知可得 ak ?1 ? ak ? 1 , ak ?2 ? (ak ? 1) , ak ?3 ? (ak ? 1) ? 1 ; 3 3 1 1 若 ak 被 3 除余 0,则由已知可得 ak ?1 ? ak , ak ?3 ? ak ? 2 ; 3 3 1 所以 ak ?3 ? ak ? 2 , 3 1 2 所以 ak ? ak ?3 ? ak ? ( ak ? 2) ? (ak ? 3) 3 3
所以,对于数列 {an } 中的任意一项 ak ,“若 ak ? 3 ,则 ak ? ak ?3 ”. 因为 ak ? N* ,所以 ak ? ak ?3 ? 1 . 所以数列 {an } 中必存在某一项 am ? 3 (否则会与上述结论矛盾!) 若 am ? 1 ,结论得证. 若 am ? 3 ,则 am?1 ? 1 ;若 am ? 2 ,则 am?1 ? 3, am?2 ? 1 ,

所以 1? A . -----------------------------------------13 分


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