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椭圆知识点总结附练习题


椭圆知识点总结 椭圆的定义:
平面内一动点 P 到两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于常数 ( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ) , 这个动点 P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意:若 ( PF1 ? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨迹为线段 F1 F2 ; 若 ( PF1 ? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨迹无图形.

椭圆的标准方程
1.当焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程:

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b 2 ; 2 a b y2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b 2 ; a2 b2

2.当焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程:

注意: (1)只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆 的标准方程; (2)在椭圆的两种标准方程中,都有 (a ? b ? 0) 和 c ? a ? b ;
2 2 2

(3) 椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在 x 轴上时,椭圆的焦点坐标为 (c,0) , (?c,0) ; 当焦点在 y 轴上时,椭圆的焦点坐标为 (0, c ) , (0,?c)

椭圆的简单几何性质:
椭圆:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的简单几何性质 a2 b2

1.对称性: 对于椭圆标准方程

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) : a2 b2

以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形;以原点为对称中心的中心对称图形 2.范围: 椭圆上所有的点都位于直线 x ? ? a 和 y ? ?b 所围成的矩形内, 所以椭圆上点的坐标满 足x

? a, y ? b。

3.顶点:

①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

x2 y2 ②椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点, 坐标分别为 a b

A1 (?a,0) , A2 (a,0) , B1 (0,?b) , B2 (0, b)
③线段 A1 A2 ,B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴, A1 A2

? 2a , B1 B2 ? 2b 。a 和

b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4.离心率: ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用 e 表示,记作 e ?

2c c ? 。 2a a

②因为 (a ? c ? 0) ,所以 e 的取值范围是 (0 ? e ? 1) 。 e 越接近 1,则 c 就越接近 a , 从而 b ?

a 2 ? c 2 越小,因此椭圆越扁;反之, e 越接近于 0, c 就越接近 0,从而 b 越接

近于 a ,这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,这时两个焦点重合,图形变 为圆,方程为 x ? y ? a 。
2 2

注意:

椭圆

x2 y2 ? ? 1 的图像中线段的几何特征(如下图): a2 b2

(1) ( PF1 (2) ( BF1 (3) A1 F1

? PF2 ? BF2

? 2a ) ;

PF1 PM 1

?

PF2 PM 2

? e ; ( PM1 ? PM 2 ?

2a 2 ); c

? a ) ; ( OF1 ? OF2

? c) ; A1 B ? A2 B ? a 2 ? b 2 ;

? A2 F2 ? a ? c ; A1 F2 ? A2 F1 ? a ? c ; a ? c ? PF1 ? a ? c ;

2b 2 5,通径: (过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦) ,通径长为 . a

6,设 F1、F2 为椭圆的两个焦点, P 为椭圆上一点,当 P、F1、F2 三点不在同一直线上时,

P、F1、F2 构成了一个三角形——焦点三角形.

两种椭圆标准方程的区别和联系:
椭圆

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的区别和联系 与 a2 b2 a2 b2 x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2 y2 x2 ? ?1 a2 b2
(a ? b ? 0)

标准方程

图形

焦点 焦距 范围 对称性 顶点 性质 轴长

F1 (?c,0) , F2 (c,0)

F1 (0,?c) , F2 (0, c)

F1 F2 ? 2c x ? a, y ? b
关于 x 轴、 y 轴和原点对称

F1 F2 ? 2c x ?b, y ? a

(? a,0) , (0,?b)
长轴长= 2 a ,短轴长= 2b

(0,? a) , (?b,0)

离心率

e?

c (0 ? e ? 1) a

准线方程

x??

a2 c

y??

a2 c

焦半径

PF1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0

PF1 ? a ? ey0 , PF2 ? a ? ey0

注意:椭圆

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的相同点:形状、大小都相同;参 , a2 b2 a2 b2

数间的关系都有 (a ? b ? 0) 和 e ?

c (0 ? e ? 1) , a 2 ? b 2 ? c 2 ; a

不同点:两种椭圆的位置不同;它们的焦点坐标也不相同。

规律方法:
1,求椭圆方程的常用方法 (1)待定系数法:由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准 方程,再由条件确定方程中的参数 a , b, c 的值。其主要步骤是“先定型,再定量”; (2)定义法:由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。

2,共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点,则 c 相同。与椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 共 焦 点 的 椭 圆 方 程 可 设 为 a2 b2

x2 y2 ? ? 1 (m ? ?b 2 ) ,此类问题常用待定系数法求解。 2 2 a ?m b ?m

3,方程 Ax2 ? By2 ? C( A, B, C均不为零) 是表示椭圆的条件

x2 y2 Ax 2 By 2 ? 1 ,所以只有 A, B, C 同号, ? ? 1 ,即 ? 方程 Ax ? By ? C 可化为 C C C C A B
2 2

且 A ? B 时,方程表示椭圆。

C C ? 时,椭圆的焦点在 x 轴上; A B C C 当 ? 时,椭圆的焦点在 y 轴上。 A B


4,焦点三角形 ?PF 1 F2 ( P 为椭圆上的点)有关的计算问题 令 PF 1 ?r 1 , PF 2 ? r2 , ?F 1PF 2 ?? ; 常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式 S ?PF1F2 ? 相结合的方法进行计算解题。(此处信息量较大) 将有关线段 r1 , r2 , F1F2 , 有关角 ?F1 PF2 ( ?F1 PF2 ? ?F1 BF2 )结合起来, 建立 r1 ? r2 ,

1 r1 ? r2 ? sin ? 2

r1 ? r2 之间的关系. S max 的最大值为 bc ;

5,椭圆的扁圆程度与离心率的关系 离心率 e ?

c b (0 ? e ? 1) ,因为 c 2 ? a 2 ? b 2 , a ? c ? 0 ,即 e ? 1 ? ( ) 2 (0 ? e ? 1) 。 a a
b b 越小时, e(0 ? e ? 1) 越大,椭圆形状越扁;当 越大, e(0 ? e ? 1) 越小, a a

显然:当

椭圆形状越趋近于圆。

6,点与椭圆的位置关系:
2 2 x0 y0 (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外 ? 2 ? 2 ? 1 ; a b 2 2 x0 y 0 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上 ? 2 ? 2 =1; a b 2 2 x y0 ? ?1 (3)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆内 ? 0 a 2 b2

7,直线与椭圆的位置关系:

x2 y2 若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 相交于两点 A( x1 , y1 ), B( x1 , y2 ) ,将 a b 2 2 直线方程联立曲线方程可得: (a k ? b2 ) x 2 ? 2a 2 mkx? a 2 (m2 ? b2 ) ? 0

? ? (2a 2mk)2 ? 4a 2 (m2 ? b2 )(a 2k 2 ? b2 )
(1)相交: ? ? 0 ? 直线与椭圆相交; (2)相切: ? ? 0 ? 直线与椭圆相切; (3)相离: ? ? 0 ? 直线与椭圆相离;

8,椭圆的切线方程

xx y y x2 y2 (1)椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b

(2)过椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 外 一 点 P( x0 , y0 ) 所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是 a2 b2

x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b

9,弦长公式:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 相交于两点 A( x1 , y1 ), B( x1 , y2 ) , a2 b2 1 2 则 AB = 1 ? k x1 ? x2 = 1 ? 2 y1 ? y 2 ; k 1 2 若弦 AB 所在直线方程设为 x ? ky ? b ,则 AB = 1 ? k y1 ? y2 ? 1 ? 2 x1 ? x2 . 。 k
若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线 注意:要注意两种直线方程的应用时的优缺点

(详细介绍韦达定理在圆锥曲线中的应用)

10,中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解 抓住两点:中点坐标,弦所在直线斜率 设交点坐标为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,则由

( x ? x )( x ? x ) ( y ? y2 )( y1 ? y2 ) x1 y x y ? 12 ? 1 , 22 ? 22 ? 1 将两式相减 1 2 2 1 2 ? ? 1 2 a b2 a b a b

2

2

2

2

y1 ? y2 b2 ( x ? x ) ?? 2 1 2 x1 ? x2 a ( y1 ? y2 )
(1)斜率问题: k AB

b 2 ( x1 ? x2 ) ; ?? 2 a ( y1 ? y2 )

(2)弦中点轨迹问题时:

b 2 ? 2 x0 b2 x y1 ? y2 b2 x ?? 2 ? ? 2 0 ,即 k AB ? ? 2 0 ; a y0 x1 ? x2 a ? 2 y0 a y0

(3)要注意: kOM ?

y0 ; x0

(4)直线 AB 的方程: y ? y0 ? ?

b 2 x0 ( x ? x0 ) ; a 2 y0 a 2 y0 ( x ? x0 ). b 2 x0

(5)线段 AB 的垂直平分线方程: y ? y0 ?

椭圆的几何性质练习
一,椭圆的几何性质的简单运用 1,已知椭圆 x 2 ? (m ? 3) y 2 ? m(m ? 0) 的离心率 e ? 的长,焦点坐标,顶点坐标。

3 ,求 m 的值及椭圆的长轴和短轴 2

2,求与椭圆 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 有相同的焦距,且离心率为

5 的椭圆的标准方程。 5

3,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率为 过 F1 的直线 l 交 C 于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 16,求 C 的方程。

2 。 2

二,求椭圆的离心率 1,已知椭圆的中心在原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上, A 是椭圆的上顶点, B 是椭圆的右顶点,

P 是椭圆上的一点,且 PF 1 ? x 轴, PF 2 // AB ,求此椭圆的离心率。

2, 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F (?c,0), A(?a,0), B(0, b) 是椭圆的两个顶点, a 2 b2

若 F1 到直线 AB 的距离为

7 b ,求椭圆的离心率。 7

3,已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于 D 点, 且 BF ? 2 FD ,求 C 的离心率。

4,设椭圆上存在一点 P ,它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直,求椭圆离心率的 取值范围。

三,直线与椭圆的位置关系 1, 椭圆

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 且椭圆与直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 相交于 P, Q , 2 a b 2

且 PQ ? 10 ,求椭圆的方程。

2,直线 l 过点 P(1,1) 与椭圆 方程。

x2 y2 ? ? 1 相交于 A, B 两点,若 P 为 AB 中点,试求直线 l 的 4 3

3,已知椭圆 C 的标准方程为

x2 y2 ? ?1 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 4 3

l : y ? 4 x ? m ,椭圆 C 上有不同两点关于直线 l 对称。

四,椭圆中的最值问题 1,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,直线 l : 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 ,椭圆上是否存在一点,它到直线 l 的 25 9

距离最小?最小距离是多少?

2, 点 A, B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上, 36 20

且位于 x 轴上方, PA ? PF . (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点, M 到直线 AP 的距离等于 MB ,求椭圆上点到 点 M 的距离 d 的最小值。

五,椭圆两种定义的应用 1, 在直线 l : x ? y ? 4 ? 0 上任取一点 M , 过 M 且以椭圆 问 M 在何处时,所作椭圆长轴最短,并求此椭圆方程。

x2 y2 ? ? 1 的焦点为焦点作椭圆, 16 12

x2 y2 ? ? 1 内有一点 P(1,?1), F 是椭圆的右焦点,在椭圆上求一点 M ,使 2 ,已知椭圆 4 3

MP ? 2 MF 最小。

六,综合问题 1,过点 P(0,2) 作直线 l 交椭圆 C : 线 l 的方程。

x2 ? y 2 ? 1于 A, B 两点,当 ?AOB 得面积最大时,求直 2

2,已知椭圆的中心为坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭 圆于 A, B 两点, OA ? OB 与 a ? (3,?1) 共线。 (1)求椭圆的离心率; (2)设 M 为椭圆上任意一点,且 OM ? ?OA ? ?OB(?, ? ? R) 。求证: ? ? ? 为定
2 2

值。

x2 y2 3,椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 (?c,0), F2 (c,0), M 为是椭圆上一点,满足 a b

F1M ? F2 M ? 0.
(1)求离心率 e 的取值范围; (2)当离心率 e 取得最小值时,点 N (0,3) 到椭圆上的点的最远距离为 5 2 ,求此时椭 圆的方程。

4,已知椭圆 G :

x2 ? y 2 ? 1 ,过点 (m,0) 作圆 x 2 ? y 2 ? 1 的切线 l 交椭圆 G 于 A, B 两点。 4

(1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将 AB 表示为 m 的函数,并求 AB 的最大值。

5,设椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P(a, b) 满足 PF2 ? F1F2 . 。 a 2 b2

(1)求椭圆的离心率 e ; (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A, B 两点,若直线 PF2 与圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 16 相 交于 M , N 两点,且 MN ?

5 AB ,求椭圆的方程。 8

6,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左顶点为 M ,下顶点为 N ,过坐标原 4 2

点的直线交椭圆于 P, A 两点, 其中 P 在第一象限, 过 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 C , 连接 AC , 并延长交椭圆于点 B ,设直线 PA 的斜率为 k . (1)若直线 PA 平分线段 M , N ,求 k 的值; (2)当 k ? 2 时,求点 P 到直线 AB 的距离; (3)对任意的 k ? 0 ,求证: PA ? PB.

7,设 F1 , F2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点,过 F1 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 a 2 b2

相交于 A, B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。 (1)求椭圆的离心率; (2)设点 P(0,?1) 满足 PA ? PB ,求椭圆的方程。

作业
1,某椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则 此椭圆的标准方程为________。

2,椭圆

x2 y2 x2 y2 ? ? 1与 ? ? 1(0 ? k ? 9) 的关系是________。 25 9 9 ? k 25 ? k

3,椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点,则椭圆的离心率为 ________。 4,若椭圆的两焦点坐标为 F1 (?4,0), F2 (4,0), P 在椭圆上,且 ?PF 1 F2 的最大面积是 12,则 椭圆的标准方程为________。

5,两个正数 1,9 的等差中项是 a ,等比中项是 b 且 b ? 0 ,则曲线 ________。

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 a b

M 总在椭圆的内部,则椭圆的 6,已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF 1 ? MF 2 ? 0 的点
离心率的取值范围是________。
2 2 7 , 若 直 线 m x ? ny ? 4 与 圆 O : x ? y ? 4 没 有 交 点 , 则 过 点 P(m, n) 的 直 线 与 椭 圆

x2 y2 ? ? 1 的交点个数为________。 9 4

8, 已知椭圆的方程为

x2 y2 2 ? 2 ? 1(m ? 0) 。 x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴 如果直线 y ? 16 m 2

上的射影恰为椭圆的右焦点 F ,则椭圆的离心率为________。

9 ,椭圆

x2 y2 ? ? 1 内有一点 P(2,1) ,则经过 P 并且以 P 为中点的弦所在的直线方程为 16 4

________。

10,已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,斜率为 k 的直线 l 过左 a 2 b2

焦点 F1 且与椭圆的交点为 A, B ,与 y 轴交点为 C ,又 B 为线段 CF1 的中点,若 k ? 求椭圆离心率 e 的取值范围。

14 , 2

11,设 P 是椭圆 大值。

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 短轴的一个端点,Q 为椭圆上的一个动点,求 PQ 的最 2 a

12, 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与过点 A(2,0), B(0,1) 的直线有且仅有一个交点 T , a 2 b2

且离心率 e ?

3 . 2
2

(1)求椭圆的方程; (2)设 F1 , F2 分别为椭圆的左右焦点,求证: AT

?

1 AF1 ? AF2 . 2

13,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 交于 P, Q 两点。

3 ,过点 M (?1,0) 的直线 l 与椭圆 2

(1)若直线 l 的斜率为 1,且 PM ? ? QM ,求椭圆的标准方程; (2)若(1)中椭圆的右顶点为 A ,直线 l 的倾斜角为 ? ,问 ? 为何值时, AP ? AQ 取 得最大值,并求出这个最大值。

3 5



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