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高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一2基本不等式同步配套教学案新人教A版选修4 5(数学教案)


2.基本不等式 对应学生用书 P4 1.基本不等式的理解 重要不等式 a +b ≥2ab 和基本不等式 2 2 a+b 2 ≥ ab,成立的条件是不同的.前者成立的 条件是 a 与 b 都为实数,并且 a 与 b 都为实数是不等式成立的充要条件;而后者成立的条 件是 a 与 b 都为正实数,并且 a 与 b 都为正实数是不等式成立的充分不必要条件,如 a=0, a+b b≥0 仍然能使 ≥ ab成立. 2 两个不等式中等号成立的充要条件都是 a=b. 2.由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 ?a+b? (1)a +b ≥ ; 2 2 2 2 (2)ab≤ a2+b2 2 ; 2 (3)ab≤( (4)( a+b 2 2 ); ; a+b 2 )≤ 2 a2+b2 2 (5)(a+b) ≥4ab. 对应学生用书 P5 利用基本不等式证明不等式 [例 1] 已知 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1. 1 1 1 求证: + + ≥9. a b c [思路点拨] 解答本题可先利用 1 进行代换,再用基本不等式来证明. [证明] 法一:∵a,b,c∈R+,且 a+b+c=1, 1 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴ + + = + + a b c a b c =3+ + + + + + b c a c a b a a b b c c ?b a? ?c a? ?c b? =3+? + ?+? + ?+? + ?≥3+2+2+2=9.当且仅当 a=b=c 时,等号成立. ?a b? ?a c? ?b c? 1 1 1 即 + + ≥9. a b c 法二:∵a,b,c∈R+,且 a+b+c=1, 1 1 1 1 1 1 ∴ + + =(a+b+c)( + + ) a b c a b c =1+ + + +1+ + + +1 b c a a a b c a b b c c ?b a? ?c a? ?c b? =3+? + ?+? + ?+? + ?≥3+2+2+2=9.当且仅当 a=b=c 时,等号成立. ?a b? ?a c? ?b c? 1 1 1 ∴ + + ≥9. a b c 用基本不等式证明不等式时, 应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形, 使 之具备基本不等式的结构和条件,然后合理地选择基本不等式进行证明. 1.已知 a,b,c,d 都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd. 证明:因为 a,b,c,d 都是正数, 所以 ab+cd 2 ≥ ab·cd>0, ac+bd 2 ≥ ac·bd>0, ?ab+cd??ac+bd? 所以 ≥abcd, 4 即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd. 当且仅当 ab=cd,ac=bd,即 a=d,b=c 时,等号成立. a2 b2 c2 2.已知 a,b,c>0,求证: + + ≥a+b+c. b c a 证明:∵a,b,c, , , 均大于 0, a2 b2 c2 b c a 2 又 +b≥2 a2 b a2 ·b=2a, b b2 ·c=2b. c c2 ·a=2c. a b2 c c2 a b2 +c≥2 c c2 +a≥2 a a2 b ∴( +b)+( +c)+( +a) ≥2(a+b+c). 即 + + ≥a+b+c. a2 b2 c2 b c a a2 b2 c2 当且仅当 =b, =c, =a, b c a 即 a=b=c 时取等


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