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函数知识点总结


函数
函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集 合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈ A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数

值,函数值的集合 {f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:1、如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的 集合;2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充: 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集 合. (6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 2、构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 注意: (1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两 个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) 。 (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。 相同函 数的判断方法:①定义域一致;②表达式相同 (两点必须同时具备) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。

3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C, 叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 (x,y),均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条 曲线或离散点组成。 (2) 画法: A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法: 常用变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换 Ⅰ、对称变换: (1)将 y= f(x)在 x 轴下方的图象向上翻得到 y=∣f(x)∣的图象如:书上 P21 例 5 (2) y= f(x)和 y= f(-x)的图象关于 y 轴对称。如 y ? a 与y ? a
x ?x

?1? ?? ? ?a?

x

(3) y= f(x)和 y= -f(x)的图象关于 x 轴对称。如 y ? loga x与y ? ? loga x ? log 1 x Ⅱ、平移变换: 由 f(x)得到 f(x ? a) 左加右减; 由 f(x)得到 f(x) ? a 上加下减 (3)作用:A、直观的看出函数的性质;B、利用数形结合的方法分析解题的思路;C、提高解题的速度;发现解题中 的错误。
a

4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 5.映射 定义:一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f: A ? B” 给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元 素 a 叫做元素 b 的原象 说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合 A、B 及对应法则 f 是确定的;②对应法则有“方向 性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的; ③对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (Ⅰ)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (Ⅱ) 集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (Ⅲ)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原 象。 6、函数的表示法: 常用的函数表示法及各自的优点: 1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据: 作垂直于 x 轴的直线与曲线最多有一个交点。 2 解析法:必须注明函数的定义域; 3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征; 4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 注意:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值 补充一:分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达 式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并 分别注明各部分的自变量的取值情况.注意: (1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数; (2)分段函 数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 补充二:复合函数 如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为 f 是 g 的复合函数。

7.函数单调性 (1) .增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2), 那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间; 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减 函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2、必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) (或 f(x1)>f(x2)) 。 (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性, 在单调区间上 增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;2 作差 f(x1)-f(x2);3 变形(通常是因式分解和配方) ; u=g(x) y=f(u) 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ;5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上 增 增 的单调性) . 增 减 (B)图象法(从图象上看升降) 减 增 (C)复合函数的单调性:复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单 减 减 调性密切相关,其规律如下: 复合函数单调性:口诀:同增异减 注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. (4)判断函数的单调性常用的结论 ①函数 y ? ? f ( x) 与 y ? f ( x) 的单调性相反; ②当函数 y ? f ( x) 恒为正或恒有负时,

y=f[g(x)] 增 减 减 增

y?

1 f ( x) 与函数 y ? f ( x) 的单调性相反;

③函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f ( x) ? C (C 为常数)的单调性相同; 当 C < 0(C 为常数)时, y ? f ( x) 与 y ? C ?f ( x) 的单调性相反;

④当 C > 0(C 为常数)时, y ? f ( x) 与 y ? C ?f ( x) 的单调性相同; ⑤函数 f ( x ) 、 g ( x) 都是增(减)函数,则 f ( x) ? g ( x) 仍是增(减)函数; ⑥若 f ( x) ? 0, g ( x) ? 0 且 f ( x ) 与 g ( x) 都是增(减)函数,则 f ( x)?g ( x) 也是增(减)函数; 若 f ( x) ? 0, g ( x) ? 0 且 f ( x ) 与 g ( x) 都是增(减)函数,则 f ( x)?g ( x) 也是减(增)函数; ⑦设 f ( x) ? 0 ,若 f ( x ) 在定义域上是增函数,则 减函数.
n

1 f ( x) 、k ?f ( x)(k ? 0) 、 f ( x)(n ? 1) 都是增函数,而 f ( x ) 是
n

8.函数的奇偶性 (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2)奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. 注意:1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2、 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,则-x 也 一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) . (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;2 确 定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 作出相应结论: 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0, 则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称 则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定 f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有 f(-x)± f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 函数奇偶性的性质 ① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同; 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. ②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称. ③若 f ( x ) 为偶函数,则 f (? x) ? f ( x) ? f (| x |) .

④若奇函数 f ( x ) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 . ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数 F ( x ) 与一个偶函数 G ( x ) 的和(或差) ”. 如设 f ( x) 是定义域为 R 的任一函数, 则 F ( x ) ?

f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x) , G ( x) ? . 2 2

⑥复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”. ⑦既奇又偶函数有无穷多个( f ( x) ? 0 ,定义域是关于原点对称的任意一个数集). 9、函数的解析表达式 (1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则, 二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,A、如果已知函数解析式的构造时,可用待 定系数法;B、已知复合函数 f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时, 也可用凑配法;C、若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f(x) 10.函数最大(小)值(定义见课本 p30 页) (1) 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; (2) 利用图象求函数的最大(小)值; (3) 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调 递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函 数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b);


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