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必修3概率与统计复习导学(理)


概率与统计复习导学
一、典型问题与方法 (一)随机抽样:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样 简单随机抽样:各个个体被抽中的机会都相等,不放回抽取,常有抽签法、 随机数法。 系统抽样:用简单随机抽样确定一个个体,再按一定规则(加间隔)抽取。 分层抽样的比较:已知总体内部组成结构,各层按比例抽取。 例 1.1.为调查参加运动会的 1000 名运动员的年龄情况,从中抽查了 10

0 名运 动员的年龄,就这个问题来说,下列说法正确的是( ) A.1000 名运动员是总体 B.每个运动员是个体 C.抽取的 100 名运动员是样本 D.样本容量是 100 2.一个总体中有 100 个个体,随机编号为 0,1,2,…,99,依编号顺序平均 分成 10 个小组,组号依次为 1,2,3,…,10.现用系统抽样方法抽取一个容量 为 10 的样本,规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m,那么在第 k 小组中抽取 的号码个位数字与 m+k 的个位数字相同.若 m=6,则在第 7 组中抽取的号码是 ___________. 3.甲校有 3600 名学生,乙校有 5400 名学生,丙校有 1800 名学生,为统计三 校学生某方面的情况, 计划采用分层抽样法, 抽取一个样本容量为 90 人的样本, 应在这三校分别抽取学生( ) A.30 人,30 人,30 人 B.30 人,45 人,15 人 C.20 人,30 人,10 人 D.30 人,50 人,10 人 4.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销 售点.公司为了调查产品销售的情况, 需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本,记这项调查为①;在丙地区中有 20 个特大型销售点,要从中抽取 7 个 调查其销售收入和售后服务情况,记这项调查为②. 则完成①、②这两项调查 宜采用的抽样方法依次是( ) A.分层抽样法,系统抽样法 B.分层抽样法,简单随机抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 D.简单随机抽样法,分层抽样法 基础训练 1.某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人.为了调查他们的身 体状况,需从他们中抽取一个容量为 36 的样本,最适合抽取样本的方法是 ( ). A.简单随机抽样 C.分层抽样 B.系统抽样 D.先从老年人中剔除一人,然后分层抽样

2.某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见,打算从高一年级

2007 名学生中抽取 50 名进行抽查,若采用下面的方法选取:先用简单随 机抽样从 2007 人中剔除 7 人,剩下 2000 人再按系统抽样的方法进行,则每 人入选的机会(
A. 不全相等


B. 均不相等 C. 都相等 D. 无法确定

3.有 20 位同学,编号从 1 至 20,现在从中抽取 4 人作问卷调查,用系统抽样方 法确定所抽的编号为( )

A.5,10,15,20 C.2,4,6,8

B.2,6,10,14 D.5,8,11,14

4.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点,公司为了调查产品销售的情况,需从这 600 个销售点中抽取一个容 量为 100 的样本,记这项调查为(1);在丙地区中有 20 个特大型销售点,要从 中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务情况,记这项调查为(2)。则完成(1)、 (2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是( A.分层抽样法,系统抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 )

B.分层抽样法,简单随机抽样 D.简单随机抽样法,分层抽样法

5. 某校 1000 名学生中,O 型血有 400 人,A 型血有 250 人,B 型血有 250 人,AB 型血有 100 人,为了研究血型与色弱的关系,要从中抽取一个容量为 40 的样本,按照分层抽样的方法抽取样本,则 O 型血、A 型血、B 型血、AB 型血的 人要分别抽的人数为( A.16、10、10、4 ) B.14、10、10、6

C.13、12、12、3

D.15、8、8、9

6. 为了了解广州地区初三学生升学考试数学成绩的情况, 从中抽取 50 本密 封试卷,每本 30 份试卷,这个问题中的样本容量是(
A.30 B.50 C.1500 D.150



7. 某单位有技工 18 人、技术员 12 人、工程师 6 人,需要从这些人中抽取一个容量为 n 的 样本 .如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取,都不用剔除个体;如果容量增加一个,则在 采用系统抽样时,需要在总体中剔除 1 个个体,则样本容量 n 为( A.4 B.5 C.6 D.无法确定 )

二、填空题 8.(2008·安庆模拟)某校高中生共有 900 人,其中高一年级 300 人,高二年级 200 人, 高三年级 400 人,现分层抽取容量为 45 的样本,那么高一、高二、高三年级抽取的人数分 别为 .

9.某牛奶生产线上每隔 30 分钟抽取一袋进行检验,则该抽样方法为①;从 某中学的 30 名数学爱好者中抽取 3 人了解学习负担情况, 则该抽样方法为②. 那么①,②分别为 .

10.某校高三年级有男生 500 人,女生 400 人,为了解该年级学生的健康情 况,从男生中任意抽取 25 人,从女生中任意抽取 20 人进行调查,这种抽样方 法是 .

11.将参加数学竞赛的 1 000 名学生编号如下 0001,0002,0003,…,1000, 打算从中抽取一个容量为 50 的样本,按系统抽样的方法分成 50 个部分,如果

第一部分编号为 0001, 0002, …, 0020, 从第一部分随机抽取一个号码为 0015, 则第 40 个号码为 .

12.某校高中部有三个年级,其中高三有学生 1000 人,现采用分层抽样法抽 取一个容量为 185 的样本,已知在高一年级抽取了 75 人,高二年级抽取了 60 人,则高中部共有__ __学生。

(二)频率分布直方图、茎叶图
(a)总体分布指的是总体取值的频率分布规律,由于总体分布不易知道, 因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布。 (b)总体的分布分两种情况:当总体中的个体取值很少时,用茎叶图估计 总体的分布;当总体中的个体取值较多时,将样本数据恰当分组,用各组的频率 分布描述总体的分布,方法是用频率分布表或频率分布直方图。 (c)⑴列频率分布表; ⑵做频率分布直方图.

●列频率分布表的步骤: ⑴求极差(即样本中的最大值与最小值的差) ;
组数 ? 极差 组距 ) ;

⑵决定组距与组数( ⑶将数据分组; ⑷列频率分布表.

●根据频率分布表做频率分布直方图应注意两点:
频率 ⑴纵轴的意义: 组距 ⑵横轴的意义:样本内容(每个矩形下面是组距). 频率 (3)小矩形面积= 组距 ×组距=频率, (4)各个小矩形面积之和=1

折线图: 连接频率分布直方图中小长方形上端中点, 就得到频率分布折线图。 总体密度曲线:当样本容量足够大,分组越多,折线越接近于一条光滑的曲 线,此光滑曲线为总体密度曲线。 例题. 1.为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名年龄为 17.岁-18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下:

根据上图可得这 100 名学生中体重在 ?56.5, (A)20 (B)30 (C)40

64.5? 的学生人数是 ( (D)50



2.200 辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图所示,则时速超过 60km/h 的汽车数量为( A.65 辆 C.88 辆 ) B.76 辆 D.95 辆

练习:1、 (福建文 3)一个容量 100 的样本,其数据的分组与各组的频数如下表 组别 频数
(0,10] (10, 20] (20,30] (30, 40] (40,50] (50,60] (60,70]

12

13

24

15 )

16

13

7

则样本数据落在 (10, 40] 上的频率为( A. 0.13 B. 0.39

C. 0.52

D. 0.64

2、 (山东理8) 某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产 品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96, 106],样本数据分组为[96,98) ,[98,100),[100,102),[102,104),[104, 106],已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36, 则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是( A.90 B.75 C. 60 ). D.45

3. 甲、乙两名同学 在 5 次体育测试中的成绩统计如下图的茎叶图所示,若甲、 乙两人的平均成绩分别是 X 甲、X 乙,则下列结论正确的是( A.X 甲<X 乙;乙比甲成绩稳定 C.X 甲>X 乙;乙比甲成绩稳定
频率/组距 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 96 98 100 102 104 106 克

)

B.X 甲>X 乙;甲比乙成绩稳定 D.X 甲<X 乙;甲比乙成绩稳定

2题
2 题图

3题

二、填空题 4.(2009 江苏泰州期末第 2 题)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了
10000 人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图) .为了分析居

民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这 10000 人中再用分层抽样方 法抽出 100 人作进一步调查,则在 ? 人 5、为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了 20 位工人某天生产该产 品的数量.产品数量的分组区间为 ?

2500,3500?

(元)月收入段应抽出

45,55?

55,65? , ?65,75? , ?75,85? ?85,95? ,? , 由

55,75? 此得到频率分布直方图如图这 20 名工人中一天生产该产品数量在 ? 人数
是 .

4题

三.用样本的数字特征估计总体的数字特征
1.众数、中位数 在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数; 将一组数据按照从大到小(或从小到大)排列,处在中间位置上的一个数据 (或中间两位数据的平均数)叫做这组数据的中位数;

2.平均数与方差

, xn ,那么 如果这 n 个数据是 x1 , x2 ,......... , xn ,那么 如果这 n 个数据是 x1 , x2 ,.........

x?

1 n ? xi n i ?1 叫做这 n 个数据平均数; 1 n ? ( xi ? x ) n i ?1 叫做这 n 个数据方

S2 ?

1 n ? ( xi ? x ) n i ?1 差;同时 s ? 叫做这 n 个数据的标准差。 例题 1. (2002 年全国高考天津文科卷(15))甲、乙两种冬小麦试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如下(单位:t / hm2) 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 乙 9.8 9.4 9.9 10.3 10.1 10.8 10 9.7 10.2 9.8

其中产量比较稳定的小麦品种是 2. (2005 江苏 7)在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下: 9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为( ) (A) 9.4, 0.484 (B) 9.4, 0.016 (C) 9.5, 0.04 (D) 9.5, 0.016 3.为了检查一批手榴弹的杀伤半径,抽取了其中 20 颗做试验,得到这 20 颗手 榴弹的杀伤半径,并列表如下:

(1)在这个问题中,总体、个体、样本和样本容量各是什么? (2)求出这 20 颗手榴弹的杀伤半径的众数、中位数和平均数,并估计这批手 榴弹的平均杀伤半径. 练习:1.(2009 年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第 13 题)某篮球运 动员在一个赛季的 40 场比赛中的得分的茎叶图如图所示,则这组数据的中位数 是 众数是 .

2、 (浙江文 14)某个容量为 100 的样本的频率分布直方图如下,则在区间 [4,5) 上 的数据的频数为 中位数为 其中平均数为 众数为 .

。 1题 2题

3(2010 山东理数)一样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3,若该样本的 平均值为 1,则样本方差为( )

6 (A) 5

6 (B) 5

(C) 2

(D) 2

4.如图是 2009 年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的 分数的茎叶统计图, 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差 分别为( ) 4.84 84 A. , B. 84 , 1.6 C. 85 , 1.6 D. 85 , 4 .84

3题

4题

4.【2012 高考陕西文 3】对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样 本的茎叶图(如图所示) ,则改样本的中位数、众数、极差分别是 A.46,45,56 B.46,45,53 C.47,45,56 ( )

D.45,47,53

5、随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得 身高数据的茎叶图为如图 6. 1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; 用茎叶图分析数据的好处? 2)计算甲班的样本方差;
9 8 9 8 1 3 甲班 2 0 2 8 18 17 16 15 图5 1 0 2 9 3 5 6 8 8 9 乙班

四.线性回归
? ? ? y 1.设回归方程为 ? b x ? a ,则有
n n ? ( x ? x )( y ? y ) xi yi ? nx y ? ? i i ? ?b ? i ?1 n ? i ?1 n 2 ? ( xi ? x ) xi 2 ? nx 2 ? ? ? i ?1 i ?1 ? ?a ? ________________



其中

x ? ? xi
i ?1

n



y ? ? yi
i ?1

n

? ? , b 是回归方程的_______, a 是_______。

? ? ? y 2. ? b x ? a 经过( x, y )

例题 1.已知的 x 、 y 的取值如下表, 从散点图分析, y 与 x 线性相关,且回归方程为 ? ? ? y ? 0.95x ? a , a 则= x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7

2下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相 应的生产能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据 3 5 6 x 4 y 2.5 3 4.5 4 (1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ? ? ? y ? bx ? a ; (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤. 试根据(2)求出的线 性同归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参 考数值: 3 ? 2.5 ? 4 ? 3 ? 5 ? 4 ? 6 ? 4.5 ? 66.5 )

练习:1.已知回归直线的斜率的估计值是 1.23,样本点的中心为(4,5),则回 归直线的方程是( ) ^=1.23x+4 A.y ^=1.23x+5 B.y ^=1.23x+0.08 C.y ^=0.08x+1.23 D.y

2.某单位为了解用电量 y 度与气温 x ℃之间的关系,随机统计了某 4 天的用电 量与当天气温,并制作了对照表: 气温(℃) 用电量(度) 18 24 13 34 10 38 -1 64

由表中数据得线性回归方程^ y=bx+a 中 b=-2,预测当气温为-4 ℃时, 用电量的度数约为_____

3.(2011? 广东理数)某数学老师身高 176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别 是 173cm、170cm 和 182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回 归分析的方法预测他孙子的身高为 cm. 4.一台机器由于使用时间较长,生产的零件有一些会缺损,按不同转速生产出 来的零件有缺损的统计数据如下表: 转速 x(转/秒) 每小时生产缺损零件数 y(件) 16 11 14 9 12 8 8 5

(1)作出散点图;(2)如果 y 与 x 线性相关,求出回归直线方程; (3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺损的零件最多为 10 个,那么, 机器的运转速度应控制在什么范围?

五.统计案例
1.线性回归方程 ①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; ②制作散点图,判断线性相关关系 ③线性回归方程: y ? bx ? a (最小二乘法)
n ? xi yi ? nx y ? ? i ?1 ? ?b ? n 2 ? xi2 ? nx ? ? i ?1 ? ? ? a ? y ? bx
?

注意:线性回归直线经过定点 ( x, y ) 。

2.相关系数(判定两个变量线性相关性) :r ?

? (x
i ?1 n i ?1

n

i

? x)( yi ? y )
n

? ( xi ? x ) 2 ? ( y i ? y ) 2
i ?1

注:⑴ r >0 时,变量 x, y 正相关; r <0 时,变量 x, y 负相关; ⑵① | r | 越接近于 1,两个变量的线性相关性越强;② | r | 接近于 0 时,两个变量之 间几乎不存在线性相关关系。 3.回归分析中回归效果的判定: ⑴总偏差平方和:

? ( yi ? y) 2 ⑵残差:ei ? yi ? yi ;⑶残差平方和:? ( yi ? yi) 2 ;
i ?1 i ?1 n ?

n

?

?

n

?

⑷回归平方和:

? ( yi ? y) 2 - ? ( yi ? yi) 2 ;⑸相关指数 R 2 ? 1 ?
i ?1 i ?1

n

?(y ?(y
i ?1 i ?1 n

n

i

? yi ) 2


?

i

? yi )

2

注:① R 得知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好; ② R 越接近于 1, ,则回归效果越好。 4.独立性检验的基本步骤及简单应用 A 独立性检验的步骤: 要推断“A 与 B 是否有关” ,可按下面步骤进行: (1)提出统计假设 H0:事件 A 与 B 无关(相互独立) ; (2)抽取样本(样本容量不要太小,每个数据都要大于 5) ; (3)列出 2×2 列联表; (4)根据 2×2 列联表,利用公式: K ?
2
2

2

n(ad ? bc)2 2 ,计算出 K 的 (a ? c)(b ? d )(a ? b)(c ? d )

值; (5)统计推断:当 K >3.841 时,有 95%的把握说事件 A 与 B 有关 ; 当 K >6.635 时,有 99%的把握说事件 A 与 B 有关; 当 K >10.828 时,有 99.9%的把握说事件 A 与 B 有关; 当 K ≤3.841 时,认为事件 A 与 B 是无关的.
2 2 2 2

B.卡方统计量公式 为了研究分类变量 X 与 Y 的关系,经调查得到一张 2×2 列联表,如下表所示 Y1 X1 X2 a c[来 源:Zxxk. Com] 合计 a+c b+d n=a+b+c+d Y2 b d 合计 a+b c+d

统计中有一个有用的(读做“卡方”)统计量,它的表达式是:

K2 ?

n(ad ? bc)2 ( n ? a ? b ? c ? d 为样本容量)。 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

C.假设检验 P(K ≥k)的临届值

P(K ≥k) 0.50

2

0.40[来源:学科 网 ZXXK] 0.708

0.25 0.15 0.10 0.05 0.025

0.010 6.635[来源:学科 网 ZXXK]

0.005 0.001

k

0.455

1.323 2.072 2.706 3.841 5.024

7.879 10.828

例题
例 1 调查 339 名 50 岁以上人的吸烟习惯与患慢性气管炎的情况,获数据如下: 患慢性气管炎 吸烟 不吸烟 合计 43 13 56 未患慢性气管炎 162 121 283 总计 205 134 339

试问:(1)吸烟习惯与患慢性气管炎是否有关? (2)用假设检验的思想给予证明. (1)解 根据列联表的数据,得到

? =

2

n( ad ? bc) 2 ( a ? b)(a ? c)(d ? b)(d ? c )

=

339 ? (43 ? 121 ? 162 ? 13) 2 =7.469>6.635 205 ? 56 ? 283 ? 134

所以有 99%的把握认为“吸烟与患慢性气管炎有关”. (2) 证明 假设 “吸烟与患慢性气管炎之间没有关系” , 由于事件 A={ ? ≥6.635}≈0.01, 即 A 为小概率事件,而小概率事件发生了,进而得假设错误,这种推断出错的可能性约有 1%. 2.某班主任对全班 50 名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如 下表所示:
2

积极参加班级工作 学习积极性高 学习积极性一般 合计 18 6 24

不太主动参加班级工 作 7 19 26

合计 25 25 50

(1) 如果随机抽查这个班的一名学生, 那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少? 抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少? (2)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否 有关系?说明理由.

解 (1)随机抽查这个班的一名学生,有 50 种不同的抽查方法,由于积极参 加班级工作的学生有 18+6=24 人,所以有 24 种不同的抽法,因此由古典概型 的计算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是 P1= 24 = 12 ,又因为不
50 25

太主动 参加班级工作且学习积极性一般的学生有 19 人,所以抽到不太主动 参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是 P2= 19 .
50
2

(2)由 ? 2 统计量的计算公式得 ? 2 = 50 ? (18 ? 19 ? 6 ? 7) ≈11.538,由于 11.538>
24 ? 26 ? 25 ? 25

10.828,所以可以有 99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态 度有关系”.
【变式 1】在某地某次航运中,出现了恶劣气候。随机调查男、女乘客在船上晕 船的情况如 下表所示: 晕船 不晕船 合计

男人 女人 合计

32 8 40

51 24 75

83 32 115

据此资料,你能否认为在恶劣气候中航行时,男人比女人更容易晕船?

2.有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀统 计成绩后,得到如下的列联表. 优秀 甲班 乙班 合计 10 30 105 非优秀 合计

已知在全部 105 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为

2 . 7

(1)请完成上面的列联表; (2)根据列联表的数据,若按 95%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”; (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编 号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号,试求抽到 6 或 10 号的概率.

六.概率的性质
(1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1; (2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); (3) 若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B); (4)互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生,而对立事件是 指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生,对立事件是互斥事件的特殊情形。 1.把标号为 1,2,3,4 的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人 分得一个。事件“甲分得 1 号球”与事件“乙分得 1 号球”是( ) (A)互斥但非对立事件 (C)相互独立事件 (B)对立事件 (D)以上都不对

六.古典概型
古典概型: (1)古典概型的使用条件:基本事件的有限性和每一个基本事件 的等可能性。
A包含的基本事件数

(2)用列举法、树形图、列表法求事件数,利用公式 P(A)= 总的基本事件个数

例 1:掷一粒均匀的骰子落地时向上的点数为偶数或奇数的概率是多少呢?

例 2 同时掷两粒均匀的骰子,落地时向上的点数之和有几种可能?点数之和为 7 的概率是多 少?

例 3.先后抛掷 2 枚均匀的硬币出现“一枚正面,一枚反面”的概率是多少?

例 4.先后抛掷 3 枚均匀的硬币,求出现“两个正面,一个反面”

的概率。

例 5.在一个健身房里用拉力器进行锻炼时,需要选取 2 个质量盘装在拉力器上.有 2 个装质 量盘的箱子,每个箱子中都装有 4 个不同的质量盘:2.5kg, 5kg,10kg,20kg,每次都随机地从 2 个箱子中各取 1 个质量盘装在拉力器上,再拉动这个拉力器。 (1)随机地从 2 个箱子中各取 1 个质量盘,共有多少可能 的结果? (2)计算选取的两个质量盘的总质量分别是下列质量的 概率:①20kg ②30kg ③超过 10kg

(3)如果某人不能拉动超过 22kg 的质量,那么他不能拉 开拉力器的概率是多少?

练习: 1..(2010 辽宁)三张卡片上分别写上字母 E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成 英文单词 BEE 的概率为 。

2.(2004 广东)某班委由 4 名男生和 3 名女生组成,现从中选出 2 人担任正副班长。其中 至少有一名女生当选的概率是 。 3.(2010 山东)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个 球,该球的编号为 n,求 n ? m ? 2 的概率. 4 .连掷两次骰子得到点数分别为 m 和 n,记向量

a ? (m, n)与向量b ? (1, ? 1)

的夹角为

八.几何概型
一.几何概型的定义 1.定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则 称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.特点: (1)无限性,即一次试验中,所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; (2)等可能性,即每个基本事件发生的可能性均相等.

3.计算公式: P( A) ?

构成事件A的区域长度(面积或体 积) . 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

4.古典概型和几何概型的区别和联系: (1)联系:每个基本事件发生的都是等可能的. (2)区别:①古典概型的基本事件是有限的,几何概型的基本事件是无限的; ②两种概型的概率计算公式的含义不同. 例 1.(2009 山东卷·文理)在区间 [ ?1,1] 上随机取一个数 x ,cos 概率为( A. ).

?x
2

的值介于 0 到

1 之间的 2

1 3

B.

2

?

C.

1 2

D.

2 3

例 2. (2009 辽宁卷·文) ABCD 为长方形, AB ? 2, BC ? 1 , O 为 AB 的中点,在长方 形 ABCD 内随机取一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( A. )

? 4

B. 1 ?

? 4

C.

? 8

D. 1 ?

? 8
B M

例 3.在圆心角为 90°的扇形中,以圆心为起点做射线 OC ,求使得 ?AOC 和 ?BOC 都不 小于 30°的概率? 例 4.在 5 升水中有一个病毒,现从中随机地取出 1 升水,含有病毒的概 率是多大? 例 5.小明家的晚报在下午 5:30~6:30 之间的任何一个时间随机地被

O C N
A

图2

送到,小明一家在下午 6:00~7:00 之间的任何一个时间随机地开始晚餐.那么晚报在晚餐 开始之前被送到的概率是多少

当堂练习: 1.在长为10 cm的线段AB上任取一点P,并以线段AP为边作正方形,这个正方形的面积介于 2 2 25 cm 与49 cm 之间的概率为( ) 3 1 2 4 A. B. C. D. 5 5 5 10 2.两人相约7点到8点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时离去.则 求两人会面的 概率为( ) 4 5 7 1 A. B. C. D. 9 9 10 3 3如图,某人向圆内投镖,如果他每次都投入圆内,那么他投中正 方形区域的概率为( )

3 ? ? 3 4.现有 100ml 的蒸馏水,假定里面有一个细菌,现从中抽取 20 ml 的蒸馏水,抽到细菌的概 率为 ( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 5 100 20 10 5.在区间 [0,10] 中任意取一个数,则它与 4 之和大于 10 的概率是( )
1
2

A.

2

B.

1

C.

2

D.

1

3

2

A. 5

B. 5

C. 5

D. 7
2

6.已知两数 m ,n 是某事件发生的概率取值,则关于 x 的一元二次方程 x ? nx ? m ? 0 有实根的概率是( A. ) B.

1 2

1 4

C.

1 8

D.

1 16

7.在区间(0,1)中随机地取出两个数,则两数之和小于

的概率是 . 6 8.取一根长度为3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1m 的概 率有 9 已知正方形 ABCD-A1B2C3D4 的棱长为 a , P 是正方形内任意一点 (包括边界) , 则满足 PA< 的点 P 概率是

5

a 2

概率统计近八年广东省高考数学理科试题

1.(2007 年高考广东卷第 9 小题) 甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲 袋装有 4 个红球、2 个白球, 乙袋装有 1 个红球、5 个白球.现分别从甲、乙两袋 中各随机取出一个球,则取出的两球都是红球的概率为 . (答案用分数表 示) 2.(2007 年高考广东卷第 17 小题)(本小题满分 12 分) 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与 相应的生 产能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据

x
y

3

4

5
4

6 4.5

2.5

3

(1)请画出上表数据的散点图; (2) 请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程

? ?a ?; y ? bx
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤. 试根据(2)求出的 线性 回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值: 3 ? 2.5 ? 4 ? 3 ? 5 ? 4 ? 6 ? 4.5 ? 66.5 3.(2008 年高考广东卷第 3 小题) 某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如表 1.已知在全校 学生中随机抽 取 1 名,抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级抽取的学生人数为( ) A.24 B.18 C.16 D.12 一年级 二年级 三年级 y x 373 女生 z 377 370 男生 表

4. (2008 年高考广东卷第 10 小题) 已知 (1 ? kx 2 )6 ( k 是正整数)的展开式中, x8 的系数小于 120, 则k ? .

5.(2008 年高考广东卷第 17 小题) 随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别 为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位: 万元)为 ? . (1)求 ? 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ? 的数学期望) ; (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1% ,一等品率提 高为 70% . 如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元, 则三等品率最多 是多少? 6. (2009 年高考广东卷第 7 小题) 2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选 派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能 从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 A. 36 种 B. 12 种 C. 18 种 D. 48 种

7. (2009 年高考广东卷第 12 小题) 已知离散型随机变量 X 的分布列如右表.若 EX ? 0 , DX ? 1 , 则a ? ,b ? .

8.(2009 年高考广东卷第 17 小题)

根据空气质量指数 API(为整数)的不同,可将空气 质量分级如下表:对某城市一年(365 天)的空气质量进 行监测,获得的 API 数据按照区间 [0,50] , (50,100] ,
(100,150] , (150,200] , (200,250] , (250,300] 进行分组,

得到频率分布直方图如图 5. (1)求直方图中 x 的值; (2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数; (3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.
5 2 7 ? 128 , ( 结 果 用 分 数 表 示 . 已 知 57 ? 7 8 1 2,
? 3 8 123 ? ? , 365 ? 73 ? 5 ) 1825 9125 9125 3 2 7 ? ? 1825 365 1825

9. (2010 年高考广东卷第 7 小题) 已知随机变量 X 服从正态分布 N(3.1),且 P(2 ? X ? 4) =0.6826,则 P(X>4)= ( ) A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D0.1585

10. (2010 年高考广东卷第 8 小题) 为了迎接 2010 年广州亚运会,某大楼安装 5 个彩灯,它们闪亮的顺序不固定, 每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这 5 个彩灯所闪 亮的颜色各不相同.记这 5 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁中, 每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮, 而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒。如果要实 现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是( A、 1205 秒 B.1200 秒 C.1195 秒 ) D.1190 秒

11. (2010 年高考广东卷第 17 小题) 某食品厂为了检查一条自动包装流水 线的生产情况,随即抽取该流水线上 40 件 产品作为样本算出他们的重量(单位:克) 重量的分组区间为( 490, 495? , (495, 500? ,……(510, 515? ,由此得到样本的频率分布 直方图,如图 4 所示. (1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产 品数量. (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为 重量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布列. (3)从流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品合 格的重量超过 505 克的概率.

12.(2011 年高考广东卷第 6 小题) 甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军,乙队需 要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为 ( ) A.
1 2 3 5 2 3 3 4

B.

C.

D.

13.(2011 年高考广东卷第 13 小题) 某数学老师身高 176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173cm、170cm 和 182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测 他孙子的身高为_____cm. 14.(2011 年高考广东卷第 17 小题) 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中 分别抽出取 14 件和 5 件,测量产品中的微量元素 x,y 的含量(单位:毫克).下 表是乙厂的 5 件产品的测量数据: 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

(1)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量;

(2)当产品中的微量元素 x,y 满足 x≥175,且 y≥75 时,该产品为优等品。用 上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中 优等品数 ? 的分布列极其均值(即数学期望) 。 15. (2012 年高考广东卷第 7 小题) 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其中个位数为 0 的概率是 A.
4 9 1 3 2 9 1 9

B.

C.

D.

16.(2012 年高考广东卷第 17 小题) (本小题满分 13 分) 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分组区间是: [40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100], (1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,2 人中成 绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ? ,求 ? 的数学期 望. 17. (2013 年高考广东卷第 4 小题) 已知离散型随机变量 X 的分布列为

X P

1 3 5

2 3 10
C.
5 2

3 1 10

则 X 的数学期望 EX ? ( ) 3 A . B. 2 2

D. 3

18.(2013 年高考广东卷第 17 小题) (本小题满分 12 分) 某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图 所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1名优秀 工人的概率.
第 17 题图

1 2 3

7 0

9

1

5

0


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