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山西省大同二中2014-2015学年高二上学期12月月考数学试卷


山西省大同二中 2014-2015 学年高二上学期 12 月月考数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 2 2 1. (5 分)椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为() A. B. C. 2 D.4

2. (5 分)设椭圆

(m>0,n>0)的右焦

点与抛物线 y =8x 的焦点相同,离心率

2

为 ,则此椭圆的方程为()

A.

B.

C.

D.

3. (5 分)已知双曲线
2

的一条渐近线方程是

,它的一

个焦点在抛物线 y =24x 的准线上,则双曲线的方程为() A. B.

C.

D.

4. (5 分)P 是长轴在 x 轴上的椭圆

=1 上的点 F1,F2 分别为椭圆的两个焦点,椭圆

的半焦距为 c,则|PF1|?|PF2|的最大值与最小值之差一定是() 2 2 A.1 B. a C. b 5. (5 分)双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 则双曲线的标准方程为() A. ﹣ =1 B. ﹣ =1 C. ﹣

D.c

2

倍,且一个顶点的坐标为(0,2) ,

=1

D.



=1

6. (5 分)设 a>1,则双曲线 A. B.

的离心率 e 的取值范围是() C.(2,5) D.

7. (5 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直 线 BC 与直 线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是()

A.直线

B. 圆
2

C.双曲线

D.抛物线

8. (5 分)设 F 为抛物线 y =8x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若 则| A.6 |+| |+| |=() B. 9 C.12 D. 16

+

+

= ,

9. (5 分)已知双曲线

的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为

60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是() A. (1,2] B. (1,2) C. 16. (5 分)对于曲线 C: =1,给出下面四个命题:

①由线 C 不可能表示椭圆; ②当 1<k<4 时,曲线 C 表示椭圆; ③若曲线 C 表示双曲线,则 k<1 或 k>4; ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<k< 其中所有正确命题的序号为.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (10 分)已知点 M 在椭圆 =1 上,MP 垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为 P′,

并且 M 为线段 PP′的中点,求 P 点的轨迹方程.

18. (12 分)双曲线 C 与椭圆 双曲线 C 的方程.

+

=1 有相同的焦点,直线 y=

x 为 C 的一条渐近线.求

19. (12 分)已知直线 y=kx﹣2 交抛物线 y =8x 于 A、B 两点,且 AB 的中点的横坐标为 2, 求弦 AB 的长.

2

20. (12 分)已知点 P(3,4)是椭圆 焦点,若 PF1⊥PF2,试求: (1)椭圆方程; (2)△ PF1F2 的面积.

+

=1(a>b>0)上的一点,F1、F2 是椭圆的两

21. (12 分) 已知过抛物线 y =2px (p>0) 的焦点的直线交抛物线于 A、 B 两点, 且|AB|= p, 求 AB 所在的直线方程. 22. (12 分)在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0,﹣ ) , (0, 设点 P 的轨迹为 C,直线 y=kx+1 与 C 交于 A,B 两点. (1)写出 C 的方程; (2)若 ⊥ ,求 k 的值. )的距离之和等于 4,

2

山西省大同二中 2014-2015 学年高二上学期 12 月月考数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为() A. B. C. 2 D. 4
2 2

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;待定系数法. 分析: 根据题意,求出长半轴和短半轴的长度,利用长轴长是短轴长的两倍,解方程求出 m 的值.

解答: 解:椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,∴ 故选 A. 点评: 本题考查椭圆的简单性质,用待定系数法求参数 m 的值.

2

2



2. (5 分)设椭圆

(m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y =8x 的焦点相同,离心率

2

为 ,则此椭圆的方程为()

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答: 由

椭圆的标准方程. 计算题;分析法. 先求出抛物线的焦点, 确定椭圆的焦点在 x 轴, 然后对选项进行验证即可得到答案. 解:∵抛物线的焦点为(2,0) ,椭圆焦点在 x 轴上,排除 A、C,

排除 D,

故选 B 点评: 本题主要考查抛物线焦点的求法和椭圆的基本性质.圆锥曲线是 2015 届高考的必 考内容,其基本性质一定要熟练掌握.

3. (5 分)已知双曲线
2

的一条渐近线方程是

,它的一

个焦点在抛物线 y =24x 的准线上,则双曲线的方程为() A. B.

C.

D.

考点: 双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线标准方程易得其准线方程为 x=﹣6, 而通过双曲线的标准方程可见其焦点 2 2 2 在 x 轴上,则双曲线的左焦点为(﹣6,0) ,此时由双曲线的性质 a +b =c 可得 a、b 的一个

方程;再根据焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y=± x,可得 = 一个方程.那么只需解 a、b 的方程组,问题即可解决. 2 解答: 解:因为抛物线 y =24x 的准线方程为 x=﹣6, 则由题意知,点 F(﹣6,0)是双曲线的左焦点, 2 2 2 所以 a +b =c =36, 又双曲线的一条渐近线方程是 y= x, 所以
2

,则得 a、b 的另


2

解得 a =9,b =27, 所以双曲线的方程为 .

故选 B. 点评: 本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质.

4. (5 分)P 是长轴在 x 轴上的椭圆

=1 上的点 F1,F2 分别为椭圆的两个焦点,椭圆

的半焦距为 c,则|PF1|?|PF2|的最大值与最小值之差一定是() 2 2 A.1 B. a C. b 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

D.c

2

分析: 由题意,设|PF1|=x,故有|PF1|?|PF2|=x(2a﹣x)=﹣x +2ax=﹣(x﹣a) +a ,其中 2 a﹣c≤x≤a+c,可求 y=﹣x +6x 的最小值与最大值,从而可求|PF1|?|PF2|的最大值和最小值之 差. 解答: 解:由题意,设|PF1|=x, ∵|PF1|+|PF2|=2a, ∴|PF2|=2a﹣x 2 2 2 ∴|PF1|?|PF2|=x(2a﹣x)=﹣x +2ax=﹣(x﹣a) +a , ∵a﹣c≤x≤a+c, 2 2 ∴x=a﹣c 时,y=﹣x +2ax 取最小值 b , 2 2 x=a 时,y=﹣x +2ax 取最大值为 a , 2 2 2 ∴|PF1|?|PF2|的最大值和最小值之差为 a ﹣b =c , 故选:D. 点评: 本题以椭圆的标准方程为载体,考查椭圆定义的运用,考查函数的构建,考查函数 的单调性,属于基础题. 5. (5 分)双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 则双曲线的标准方程为() A. ﹣ =1 B. ﹣ =1 C. ﹣ 倍,且一个顶点的坐标为(0,2) ,

2

2

2

=1

D.



=1

考点: 双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由已知得双曲线的标准方程为 方程. 解答: 解:∵双曲线的顶点坐标为(0,2) , ∴a=2,且双曲线的标准方程为 根据题意 2a+2b= ?2c,即 a+b= 2 2 2 又 a +b =c ,且 a=2, 2 ∴解上述两个方程,得 b =4. ∴符合题意的双曲线方程为 c. =1. =1,且 2a+2b= ?2c,由此能求出双曲线



故选:B. 点评: 本题考查双曲线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线性质的合 理运用.

6. (5 分)设 a>1,则双曲线 A. B.

的离心率 e 的取值范围是() C.(2,5) D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 根据题设条件可知: 的取值范围可以求出离心率 e 的取值范围. 解答: 解: , ,然后由实数 a

因为 是减函数,所以当 a>1 时
2



所以 2<e <5,即 , 故选 B. 点评: 本题的 2015 届高考考点是解析几何与函数的交汇点,解题时要注意双曲线性质的 灵活运用. 7. (5 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直 线 BC 与直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是()

A.直线

B. 圆

C.双曲线

D.抛物线

考点: 抛物线的定义;棱柱的结构特征. 分析: 由线 C1D1 垂直平面 BB1C1C,分析出|PC1|就是点 P 到直线 C1D1 的距离,则动点 P 满足抛 物线定义,问题解决. 解答: 解:由题意知,直线 C1D1⊥平面 BB1C1C,则 C1D1⊥PC1,即|PC1|就是点 P 到直 线 C1D1 的距离, 那么点 P 到直线 BC 的距离等于它到点 C1 的距离,所以点 P 的轨迹是抛物线. 故选 D. 点评: 本题考查抛物线定义及线面垂直的性质.
2

8. (5 分)设 F 为抛物线 y =8x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若 则| A.6 |+| |+| |=() B. 9 C.12 D.16

+

+

= ,

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据 + + = ,可判断点 F 是△ ABC 重心,进而可求 xA+xB+xC 的值,再根

据抛物线的定义,即可求得答案. 解答: 解:由题意可得 F(2,0) ,是抛物线的焦点,也是三角形 ABC 的重心, ∴xA+xB+xC=6. 再由抛物线的定义可得| |+| |+| |═xA+2+xB+2+xC+2=12,

故选:C. 点评: 本题重点考查抛物线的简单性质,考查向量知识的运用,解题的关键是判断出 F 点为三角形的重心.

9. (5 分)已知双曲线

的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为

60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是() A. (1,2] B. (1,2) C.





∵它的焦点在 y 轴上,





∴0<﹣cosα<sinα, ∵0≤α<2π, ∴ .

故选:D. 点评: 本题考查 α 的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意三角函数性 质的灵活运用. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)椭圆的两个焦点为 F1、F2,短轴的一个端点为 A,且三角形 F1AF2 是顶角为 120° 的等腰三角形形,则此椭圆的离心率为 .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 根据 A 是短轴的一个端点,根据椭圆的对称性可知|AF1|=|AF2|,根据△ F1AF2 是等 腰三角形可推断出短轴平分∠F1AF2,进而求得顶角的半角,进而根据 sin60°= 得椭圆的离心率. 解答: 解:∵A 是短轴的一个端点, ∴|AF1|=|AF2| △ F1AF2 是等腰三角形 ∴短轴平分∠F1AF2∴顶角的一半是 =60° = 求

∴sin60°=

= (O 为原点)

∴e= 故答案为

点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质.此题关键是求得|AF1|=|AF2|. 14. (5 分)点 P(8,1)平分双曲线 x ﹣4y =4 的一条弦,则这条弦所在的直线方程是 2x ﹣y﹣15=0. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设弦的两端点分别为 A (x1, y1) , B (x2, y2) , 由 AB 的中点是 P (8, 1) , 知 x1+x2=16, y1+y2=2,利用点差法能求出这条弦所在的直线方程. 解答: 解:设弦的两端点分别为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ∵AB 的中点是 P(8,1) ,∴x1+x2=16,y1+y2=2, 2 2 把 A(x1,y1) ,B(x2,y2)代入双曲线 x ﹣4y =4, 得 ,
2 2

∴(x1+x2) (x1﹣x2)﹣4(y1﹣y2) (y1+y2)=0, ∴16(x1﹣x2)﹣8(y1﹣y2)=0, ∴k= =2,

∴这条弦所在的直线方程是 2x﹣y﹣15=0. 故答案为:2x﹣y﹣15=0. 点评: 本题考查弦中点问题及直线方程的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意点差 法的合理运用.

15. (5 分)设椭圆

的左、右焦点分别是 F1、F2,线段 F1F2 被点

分成 3:1 的两段,则此椭圆的离心率为



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据题意, 椭圆的焦点坐标为 F1 (﹣c, 0) 、 F2 (c, 0) , 由线段 F1F2 被点 分成 3:1 的两段建立关于 b、c 的等式,解出 b=c,再由平方关系算出 a= 的离心率. 解答: 解:∵椭圆方程为 c,可得此椭圆

∴c=

,焦点坐标为 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) , 分成 3:1 的两段,

∵线段 F1F2 被点

∴ +c=3(c﹣ ) ,解之得 b=c, 即 故答案为: 点评: 本题给出椭圆的焦距被定点分成了 3:1 的两段,求椭圆的离心率.着重考查了椭 圆的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档题. =c,解之得 a= c,可得此椭圆的离心率为 e=

16. (5 分)对于曲线 C:

=1,给出下面四个命题:

①由线 C 不可能表示椭圆; ②当 1<k<4 时,曲线 C 表示椭圆; ③若曲线 C 表示双曲线,则 k<1 或 k>4; ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<k< 其中所有正确命题的序号为③④. 考点: 椭圆的标 准方程;双曲线的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 据椭圆方程的特点列出不等式求出 k 的范围判断出①②错,据双曲线方程的特点 列出不等式求出 k 的范围,判断出③对;据椭圆方程的特点列出不等式求出 t 的范围,判 断出④错. 解答: 解: 若 C 为椭圆应该满足 即 1<k<4 且 k≠ 故①②错

若 C 为双曲线应该满足(4﹣k) (k﹣1)<0 即 k>4 或 k<1 故③对 若 C 表示椭圆,且长轴在 x 轴上应该满足 4﹣k>k﹣1>0 则 1<k< ,故④对 故答案为:③④. 点评: 椭圆方程的形式:焦点在 x 轴时 ,焦点在 y 轴时

;双曲线的方程形式:焦点在 x 轴时

;焦点在 y 轴时



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)

17. (10 分)已知点 M 在椭圆

=1 上,MP 垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为 P′,

并且 M 为线段 PP′的中点,求 P 点的轨迹方程. 考点: 椭圆的应用. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 确定 P, M 坐标之间的关系, 利用点 M 在椭圆 解答: 解:设 P(x,y) ,则 M(x, ) . 上, 可求 P 点的轨迹方程.

∵点 M 在椭圆

上,




2 2

即 P 点的轨迹方程为 x +y =36. 点评: 本题考查椭圆方程,考查代入法的运用,考查学生的计算能力,属于基础题.

18. (12 分)双曲线 C 与椭圆 双曲线 C 的方程.

+

=1 有相同的焦点,直线 y=

x 为 C 的一条渐近线.求

考点: 双曲线的标准方程. 专题: 计算题;反证法. 2 2 2 分析: 求出椭圆的焦点坐标;据双曲线的系数满足 c =a +b ;双曲线的渐近线的方程与系 数的关系列出方程组,求出 a,b,写出双曲线方程. 解答: 解:设双曲线方程为 (a>0,b>0) (1 分)

由椭圆

+

=1,求得两焦点为(﹣2,0) , (2,0) , (3 分)

∴对于双曲线 C:c=2. (4 分) 又 y= x 为双曲线 C 的一条渐近线, ∴ = 解得 a=1,b= , (9 分) . (10 分) (6 分)

∴双曲线 C 的方程为

点评: 本题考查利用待定系数 法求圆锥曲线的方程其中椭圆中三系数的关系是: a =b +c ;双曲线中系数的关系是:c =a +b . 19. (12 分)已知直线 y=kx﹣2 交抛物线 y =8x 于 A、B 两点,且 AB 的中点的横坐标为 2, 求弦 AB 的长. 考点: 抛物线的应用. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: 直线 y=kx﹣2 代入抛物线 y =8x,利用 AB 的中点的横坐标为 2,结合韦达定理, 求出 k 的值,即可求弦 AB 的长. 2 2 2 解答: 解:直线 y=kx﹣2 代入抛物线 y =8x,整理可得 k x ﹣(4k+8)x+4=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 ∵AB 的中点的横坐标为 2,∴x1+x2=
2 2 2 2 2 2 2 2

=4 得 k=﹣1 或 2,

当 k=﹣1 时,x ﹣4x+4=0 有两个相等的实数根,不合题意, 当 k=2 时, |AB|= = = = .

点评: 本题考查弦长的求法,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生的计算能力,属于 中档题.

20. (12 分)已知点 P(3,4)是椭圆 焦点,若 PF1⊥PF2,试求: (1)椭圆方程; (2)△ PF1F2 的面积. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 解题方法;待定系数法.

+

=1(a>b>0)上的一点,F1、F2 是椭圆的两

分析: (1) 设出焦点的坐标, 利用垂直关系求出 c 值, 椭圆的方程化为 把点 P 的坐标代入, 2 可解得 a 的值,从而得到所求椭圆方程.

+

=1,

(2) P 点纵坐标的值即为 F1F2 边上的高,由 S△ PF1F2 = |F1F2|×4 求得)△ PF1F2 的面积. 解答: 解: (1) 令 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,∵PF1⊥PF2,∴kPF1?kPF2=﹣1, 即 ? =﹣1,解得 c=5,∴椭圆方程为 + =1.

∵点 P(3,4)在椭圆上,∴

+

=1,解得 a =45,或 a =5,

2

2

又 a>c,∴a =5 舍去,故所求椭圆方程为 (2) P 点纵坐标的值即为 F1F2 边上的高, ∴S△ PF1F2 = |F1F2|×4= ×10×4=20.

2

+

=1.

点评: 本题考查椭圆的简单性质的应用,以及用待定系数法求椭圆的标准方程的方法.
2

21. (12 分) 已知过抛物线 y =2px (p>0) 的焦点的直线交抛物线于 A、 B 两点, 且|AB|= p, 求 AB 所在的直线方程. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,若 AB⊥Ox,则|AB|=2p< p,不合题意.所以直线 AB 的斜率存在,设为 k,则直线 AB 的方程为 y=k(x﹣ ) ,k≠0.联 立抛物线方程,结合 韦达定理和弦长公式,可得满足条件的 k 值,进而得到答案. 解答: 解:抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F( ,0) , 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 若 AB⊥Ox,则|AB|=2p< p,不合题意. 所以直线 AB 的斜率存在,设为 k, 则直线 AB 的方程为 y=k(x﹣ ) ,k≠0.
2


2

消去 x,
2

整理得 ky ﹣2p y﹣kp =0. 由韦达定理得,y1+y2= ∴|AB|= ,y1y2=﹣p . = =
2

=2p(1+ 解得 k=±2.

)= p.

∴AB 所在的直线方程为 y=2(x﹣ )或 y=﹣2(x﹣ ) . 点评: 本题考查的知识点是抛物线的简单性质,直线与圆锥曲线的关系,难度中档.

22. (12 分)在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0,﹣ ) , (0, 设点 P 的轨迹为 C,直线 y=kx+1 与 C 交于 A,B 两点. (1)写出 C 的方程; (2)若 ⊥ ,求 k 的值.

)的距离之和等于 4,

考点: 轨迹方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 分析: (1)由题中条件:“点 P 到两点(0,﹣ ) , (0, )的距离之和等于 4,”结合 椭圆的定义知其轨迹式样,从而求得其方程. (2)先将直线方程与椭圆方程联立方程组,消去 y 得到一个一元二次方程,再利用根与系 数的关系结合向量垂直的条件列关于 k 方程式即可求得参数 k 值. 解答: 解: (1)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(0,﹣ ) , (0, ) 为焦点,长半轴为 2 的椭圆,它的短半轴 b= =1,故曲线 C 的方程为

x+

2

=1.

(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,其坐标满足
2 2

消去 y 并整理得

(k +4)x +2kx﹣3=0, 故 x1+x2=﹣ ∵ ⊥ ,x1x2=﹣ .

∴x1x2+y1y2=0. 2 ∵y1y2=k x1x2+k(x1+x2)+1, ∴x1x2+y1y2=﹣ ﹣ ﹣ +1=0,化简得﹣4k +1=0,所以 k=± .
2

点 评: 本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的综合问题及方程思想,定 义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等) ,可 用定义直接探求.


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开滦二中 20142015 学年度高二年级第一学期 12 月月考 政治试卷注意事项: 1...谈及文化的多样性时有一句名言: “各美其美,美人之美, 美美与共,天下大同”...


如皋中学2014-2015学年高二上学期10月阶段练习历史试题(选修)

江苏省如皋中学 2014-2015 学年度第一学期阶段练习 高二历史(选修)命题、校对 郭祥贵 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,分值 120 分。考试...

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