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第2课 数制及信息表示


第二讲
计算机中的 信息表示
进制

内容概要
一、计算机中使用的数制

1、常用数制 ( 2进制、8进制、10进制、16进制 )
2、各数制间的转换 二、数值型信息的表示 三、字符型信息的表示 四、 图形 / 图像 / 视频 / 音频信息的表示

计算机中信息的表示

>?计算机能表示和处理的信息包括数值型数据、字符型数据、图形 图象和视频数据以及音频数据 。 ?信息在计算机内部都是以二进制 的形式表现。
输入设备 数值 十/二进制转换 ASCII码 输入码/机内码转换 内存 输出设备 二/十进制转换

数值 西文

西文
中文

西文字形码
汉字字形码 数/模转换

中文
声音、图像

声音、图像 模/数转换

为什么要使用二进制
(1)可行性:物理上容易实现 (2)逻辑性:二进制中的“0”和“1”刚好可以对应逻 辑值中的“真”和“假” (3)简易性:二进制运算法则比较简单 (4)可靠性:二进制只有0和1两个数,传输和处理时不 易出错,使计算机得到高可靠保障

一、 计算机中使用的数制
数制:以表示数值所用的数字符号的个数来命名,并按 一定进位规则进行计数的方法 基数:数制中所用的数字符号的个数(R) 位权:数制中每一位数值所具有的值(Rk) 数制的进位方法:逢R进一,借一为R

R进位计数中,任意一个数值均可以表示为以下形式

an an-1 an-2 …a2 a1 a0 . a-1 a-2…a-m
其值为:

S=anRn+an-1Rn-1+an-2Rn-2+…+a2R2+a1R1+a0+a-1R-1+a-2R-2
+…+a-mR-m

常用的数制 :二进制、十进制、八进制、十六进制

十进制数的表示
数字符号:0、1、~~~~~8、9 进位规则:逢十进一 Eg:
1 2 3 . 4

(基为 10)

= 1 × 102 + 2 × 101+ 3 × 100 +4× 10-1

位权 102 101 100 10-1 左边的叫做位置计数法,右边的叫做按权展开式

二进制数的表示
Eg:数字符号:0、1 (基为 2) 进位规则:逢二进一 (1 0 1 1)2 = (1 × 23+0 × 22+1 × 21+1 ×20)10

23 22 21 2 0 位置计数法

按权展开式

二进制数的四则运算
加法法则: 0+0=0 乘法法则: 0*0=0 0+1=1 1+1=10

0*1=0

1*1=1

例题: 101101+110110=( 1100011 ) 1010*110=( 111100 ) 练习: 1100*101=( 111100 )

八进制数的表示
Eg:数字符号:0、1 、2、3、4、5、6、7(基为 8) 进位规则:逢八进一 (4 5)8 = (4 × 81 + 5 × 80)10

81 8 0
位置计数法

按权展开

十六进制数的表示
数字符号:0、1…..9、A、B、C、D、E、F(基为 16) 进位规则:逢十六进一

Eg: (2

a)16 = (2 × 161 + a × 160)10 按权展开

161 160
位置计数法

各种数制的表示
数据表示 名称 方法

十进制 D 10

二进制 B 2

八进制 O ( Q ) 8

十六进制 H 16

基数R

位权Rk
数字符号 进位规则

10k
0~9 逢十进一

2k
0,1 逢二进一

8k
0~7 逢八进一

16k
0~9 A~F 逢十六进一

各种数制的记数
十进制 D
二进制 B

八进制 O ( Q )
0,1,2,3,4 ,5,6,7, 10?

十六进制 H 0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9,A,B, C,D,E,F, 10?

0,1,2,3, 0,1,10,11, 4,5,6,7, 100,101, 110,111? 8,9, 10?

二、 数制的转换
㈠ R进制转换为十进制
利用公式:
S=anR +an-1R
n n-1

+ ···+a1R +a0R +a-1R + · · ·+ a-mR

1

0

-1

-m

Eg:(1011)2

= 1 × 23+0 × 22+1 × 21+1 × 20 = (11)10 = 1 × 8 + 4 × 8 +5 × 8 = (101)10
2 1 2 1 0

(145)8

(A68)16 = 10 × 16 = (2664)10

+ 6 × 16 +8 × 16

0

练习: R进制转换为十进制
( 10101 ) 2= ( 21 )10 ( 0.101 ) 2 = (0.625)10

( A1C )

16

=

( 2588 )

10

(110)2

(1111)2

(1111 0000)2 (1111 1110)2 (1010 1000)2

(1111 1111)2 (1100 0000)2

㈡ 十进制转换成二进制
将整数部分和小数部分分别转换 (1)整数部分的转换

规则:除以二取余,直至商为零,将所得余数
用倒序排列。

举例:(26)10

2 2

26 13 2 6 2 3 2 1 0

余数 0=a0 1=a1 0=a2 1=a3 1=a4 至商为零
2

倒 序 排 列

(26)10 =(11010)

练习(整数部分十进制转换成二进制):
(213) (32) (96) = (11010101) (100000)
2

10

2

10

= =

10

(1100000)

2

(2)小数部分的转换
规则: 乘二取整,直到小数部分为零或达到要求的精 度,所得积用顺序排列。

特别注意:若题目没有要求精度,则保留小数点后六位。
举例:(0.56)10
要求精确到小数点后5位

示例(整数部分不参加连乘)
整数部分
0.56 × 2 = 1.12 0.12 × 2 = 0.24 0.24 × 2 = 0.48 0.48 × 2 = 0.96 0.96 × 2 = 1.92 a-1=1 a-2=0 a-3=0

a-4=0
a-5=1

顺 序 排 列

0.92 × 2 = 1.84
(0.56)10

a-6=1 达到精度 = (0.100011)2

由上面的

可以得出

(26)10 =(11010)

2

(0.56)10 = (0.10001)2

(26.56)10 = (11010.10001)2

试一试:精度达到小数点后4位 (0.23)10 = (0.0011)2

(0.5773)10 = (0.1001)2

㈢ 二进制和八进制间的转换
八进制——二进制
由于8是2的整数次幂,即为 8=23,所以任意一个一位八 进制数都可以用一个三位的 二进制数来表示。
0 1 2 3 4 000 001 010 011 100

5
6 7

101
110 111

⑴ 二进制转换为八进制 方法:首先从小数点开始分别向左和向右把 整数及小数部分每3位分成一组。若整数最高位不 足3位,则在其最左边加0补足3位。若小数最高位 的一组不足3位,则在其最右边加0补足3位。然后 进行译码,即把每一个3位二进制数译为一个一位 八进制数。
EG:把(1011.10101)2转换为八进制数 二进制数: 001 011.101 010 译 码 :

1

3

5

2

所以(1011.10101)2 =(13.52)8

⑵ 八进制转换为二进制
方法:用3位二进制数取代每一位八进制数 EG:把(13.52)8转换为二进制数
八进制数: 1

3 . 5

2

001 011 101 010 所以(13.52)8 =(1011.10101) 2

练习: (1010011.1011)2 = (

123.54 )2

)8

(62.14) 8 = ( 110010.001100

(四)二进制数和十六进制数间的转换
十六进制—— 二进制
与八进制同理, 任意一位十六进 制数都可以用一 个四位二进制数 来表示。
0
1 2 3

0000
0001 0010 0011

8
9 A B

1000
1001 1010 1011

4
5 6 7

0100
0101 0110 0111

C
D E F

1100
1101 1110 1111

方法:

a.分组:将二进制数分别向左和向右把整 数及小数部分每四位分成一组,不足四位 补足四位。
b.译码:将分组后相应的二进制数对应相 应的十六进制数

Eg: (111010010.10111)2=( ? )16 a. 分组:0001 1101 0010.1011 1000

b. 译码: 1

D

2 . B

8

(111010010.10111)2= (1D2.B8)16
练习:(101111001101.01101)2= (BCD.68)16 (6C.A5)16 = (0110 1100 . 1010 0101)2

小结
10进制 8进制

2进制

16进制

练习: (532.76)8 = ( 15A.F8 )16
难点:地址在1000H–4FFFH范围的存储空间为多少KB (地址:内存空间的序号)

解:4FFFH – 1000H + 1 = 4000H = 0100 0000 0000 0000 = 2^14 B = 2^4 KB = 16KB

?计算

?364=( )8 ?3265=( )16 ?(654)16=( )8 ?2096=( )2 ?778=( )2 ?298.45=( )2 ?(52.34)8=( )10=( )16

三、 计算机中的数据单位
1、机器数:以二进制形式存放在计算机中的数据。 2、位(Bit):计算机存储数据的最小单位。

3、字节(Byte):最基本的数据单位,也就是说数据均 以字节的形式存放在计算机当中的。
4、字(Word):计算机处理数据时,一次存取、加工、 传送数据称作一个“机器字”。 5、字长:计算机一次所能处理的二进制的位数。 6、存储容量的常用单位和相互转换。

(B、KB、MB、GB、TB、PB??)

四、 数据运算基础
1、算术运算:加、减、乘、除 ( + 、- 、* 、/ ) 2、逻辑运算:与 & 或 || 非 ! 异或 ^ A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A与B 0 0 0 1 A或B 0 1 1 1 A异或B 0 1 1 0 非A 1 1 0 0 非B 1 0 1 0

五、 数值型信息的表示
计算机中把数值型数据分为无符号数和有符号数
在计算机当中,通常把一个数的最高位作为符号位。 以8位二进制数为例,即为 D7D6D5D4D3D2D1D0 D7为符号位,D6~D0 为数字位。 在符号位用0表示正,用1表示负。 X=(0 1011011)2= +91

Y=(1 1011011)2= -91
这样连同一个符号位在一起作为一个数,就称为机器数; 而它的数值称为机器数的真值。

计算机中有符号数的表示方法:
1.原码 最高位为符号位:0表示正数,1表示负数 x=(+57)10 , [x]原 = (0 0111001)2

Y=( -57)10

,

[Y]原 = (1 0111001)2

特点(8位二进制数码):
范围: -127~ +127 (1 1111111 ~ 0 1111111)

“0”有两种表示: [+0]原 = (0 0000000)2 [-0]原 = (1 0000000)2

2. 反码 正数: 反码=原码(最高位为符号位,用“0” 表示,其余为数值位) [+57]原= [+57]反 = (0 0111001) 2 负数: 其原码除符号位“1”外的其他各位按位 取反 [-57]
原= 反=

(1 0111001)

2 2

[-57]

(1 1000110)

特点(8位二进制数码) : ? 数值范围 -127~+127(1 0000000 ~ 0 1111111) ?反码中“0”也有两种表示 [+0]反= (0 0000000)2 [-0]反= (1 1111111)2 注意: ?有符号数的反码最高位仍为符号位 ?符号位为“0”(即为正数)时,后面7位为此 数二进制值部分 ?当符号位为“1”(即为负数)时,后面7位不 再表示该负数的数值大小

3.补码 正数的补码表示与原码和反码相同,即最高 位为符号位,用“0”表示。其余为数值位。 [+31]补= [+31]原= [+31]反=(0 0011111)2

负数的补码用其反码且在最后位加“1”形成。 即用原码除符号位的各位取反+ 1 。 [-31]原=(1 0011111)2 [-31]反= (1 1100000)2
末位加1

[-31]补= (1 1100001)2

特点: “0”只有一种表现形式: [+0]补= [-0]补= (0 0000000)2
8位二进制补码所能表示的数值范围 : -128~+127 (1 0000000 ~ 0 1111111) 现代计算机都是采用补码来进行运算的

掌握:任意一个10进制数在计算机中的表示 任意一个数的补码转换后的10进制大小
例题:给出一个数的补码,计算出它的10进制大小

[X]补= (10010100)2

除符号位

按位取反 末位减“1”

(11101011)2

[X]反= (10010011)2 除符号位 按位取反 [X]原= (11101100)2 ==

末位加“1”

(11101100)2

X= -1101100= -(1*26+1*25+1*23+1*22)=( -108)10

记住先减一再取反或者先取反再加1

实例:利用补码进行运算 [x-y] 补=[x]补-[y]补=[x]补+[-y]补 证明:利用34-68的结果验证上式的正确性 右边: [x]补=[34]补+[-68]补 [+34]补=(00100010)2 [-68]补=(10111100)2

00100010 + 10111100 11011110
结果为 补码

左边: X=34-68 = 34+(-68) =(-34) X=(-34)10 X原= (10100010)2

X补= (11011110)2
所以: [ x–y ] = [ x ]补 + [ - y ]补

运算结果与 方法一相同



实例:利用补码计算 26-19 的值。 已知:[+26]原=(00011010)2 [+19]原=(00010011)2

解: [+26]原=(00011010)2 [+19]原=(00010011)2

==> [+26]补=(00011010)2 ==> [-19]原=(10010011)2 ==> [-19]补=(11101101)2 [26-19]补= [+26]补 + [-19]补 = (00011010)2 + (11101101)2 = (1 00000111)2

实例:灵活运用 已知一个数的8位补码由4个1和4个0组成,问:这个数 所能表示的最大(小)的正(负)数分别是多少?并写出它 们的2进制数和10进制数所表示的大小。

解:
最大正数 最小正数 最小负数 最大负数

二进制
01111000 00001111 10000111 11110000

十进制
120 15 -121 -16

4.浮点数: 与定点数相对,指的是通过移动小数点位置的来计 数的方法,类似于科学计数法。 表示格式: N = ± 尾数 * 基数 ±阶码
存储格式: 阶符 阶码 小数点 尾符 尾码

例如:(1011.01)2= + 0.101101 * 2+4 那么它在32位计算机中存储就应该是 0 00000100 . 0 00?00101101 阶符 阶码 小数点 尾符 9位 23位

尾码

六、字符型信息的表示
1、字符编码(ASCⅡ码) ASCⅡ码全称:American Standard Code for Information Interchange,即美国标准信息交换代码。 字符型信息包括:数字、字母、汉字、符号。 它们 是用一个字节中的低7位来表示的,共128个不同的字符 ( 26字母 * 2 + 10数字符号 + 32字符及运算符号 + 34 控制字符 )

需要记住的是:
字符 “ 0 ” 的ASCⅡ码是 48 字符 “ A ” 的ASCⅡ码是 65 字符 “ a ” 的ASCⅡ码是 97 思考:

“ 8 ”和“ D ”的ASCII码分别是多少?
“ F ”的ASCII码减“ f ”的ASCII码为多少?

“ F ”的ASCII码减“ A ”的ASCII码为多少?

2、汉字编码 ? 汉字输入码 / 汉字外部码: 数字编码/顺序码:区位码(以行/区、列/位来命名) 字音编码:全拼、双拼音码 字形码:表字形、五笔字形码 音形码:自然码 ? 汉字交换码 / 国标码 G / GB:由两个字节表示一 个汉字,且每个字节的最高位为0 GB2312-80基本集中收录了6763个汉字,分为2级:第 一级汉字3755个,按拼音字母排序,同音字则再按 笔形的横、竖、撇、点、折来排序;第二级汉字3008 个,按部首排序,同画数字则再按笔形的横、竖、 撇、点、折来排序。 ? 机内码 J:也是由两个字节表示一个汉字,如果将国 标码转换为机内码,只需将国标码的2个字节的最高 位均设定为1

? 各类编码的转换规则: ( Q—区位码、G —国标码、J—机内码 ) Q1 + 32 = G1 Q2 + 32 = G2 (区位码—国标码) G1 + 128 = J1 G2 + 128 = J2 (国标码—机内码) Q1 + 160 = J1 Q2 + 160 = J2 (区位码—机内码) 实例: 已知:汉字“大”的区位码是2083,那么它的国标码和 机内码分别是多少?(国标码用16进制表示) 解答: 1、区位码为2083,则区号为20,位号为83 2、将区位码2083转换为十六进制表示 20D=14H 83D=53H 得到1453H 3、1453H+2020H=3473H,得到国标码3473H 4、3473H+8080H=B4F3H,得到机内码为B4F3H

?汉字字形码:由点阵形式产生
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

例:用64*48的汉字点阵存储20个这样的汉字,一共需要 多大的空间? 解:存储一个汉字需要64*48 bit 即(64*48) / 8 = 384 B 所以存储20个汉字需要384*20 = 7680 B = 7.5 KB

七、 图形图像和视频信息的表示
1、图形图像信息的表示 ⑴矢量图形:用一组指令集合来描述的内容。一般指用计 算机绘制的画面

⑵图像:指由输入设备捕捉的实际场景画面,或以数字化 形式存储的任意画面
主要指标: ①分辨率:分为屏幕分辨率、图像分辨率 ②颜色深度:反映了构成图像的颜色总数目

计算机中所有图像都是由排成行列的点(像素)组成

2、视频信息的表示 视频文件是由一副副静止的图像组成的序列,因此,视 频文件的大小其实就是组成该视频的每张静止图像大小 的总和。
视频容量=静止图形容量×帧率×视频放送时间 实例:某人在 640 * 480 的分辨率下使用16位色,以每秒 16帧的拍摄速度录制了一段30秒的视频录像,问: 该视频文件在计算机中的存储需要多大空间? 解:一个静止图像需要640*480*16 bit 即(640*480*16) / (8*1024) = 600 KB 所以存储这段视频需600*16*30=288000 KB 即288000 / 1024 = 281.25 MB

八、音频信息的表示
1、声音是模拟信息,这些信息要在计算机中存储,首 先应该对它们进行数字化转换,即模数转换。声音的数 字化包括采样(把时间上连续的模拟信号变成离散的样 值的信号)和量化(把幅度上连续的模拟信号变成离散的 样值的信号)。

f 91

79 33

采样频率越高,量化位数越小,音频质量越好

45
t

采样 量化 模拟量——>(91 79 33 45)——>(90 80 35 45)

2、数字音频质量参数: ① 采样频率(傅立叶变换原理) ② 量化位数 ?采样频率:是将模拟声音波形转换为数字时,每秒所抽 取声波幅样本的次数 ?量化数据位:是每个采样点能够表示的数据范围量化数 据位数大小决定了采样的数据

3、波形文件:多媒体计算机中使用的标准数字音频 ① WAV:该文件记录了对实际声音进行采样的数据 缺点:产生的文件太大,不适合长时间记录 优点:能够较真实反映原声 ② MIDI文件(乐器数字接口):不对音乐进行采样, 而是将每个音符记录为一个数字 缺点:缺乏重现真实自然声音的能力 优点:比较节省空间


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