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山东省青岛市即墨实验高中2014-2015学年高二上学期10月月考数学(理)试卷


2014-2015 学年山东省青岛市即墨实验高中高二 (上) 10 月月考 数学试卷(理科)
一、选择题 1.在△ABC 中,若∠A=45°,∠B=60°,BC=3 A. 4 B. 3 C. 2 D.

,则 AC=(



2.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若 acosA=bs

inB,则,sinAcosA+cos A= ( ) A. B. C. ﹣1 D. 1

2

3.在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则 a7=( A. 5 B. 8 C. 10 D. 14



4.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6=( A. 31 B. 32 C. 63 D. 64



5.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2﹣Sk=24,则 k=( A. 8 B. 7 C. 6 D. 5



6.△ABC 中,a,b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a,b、c 成等差数列,∠B=30°, △ABC 的面积为 ,那么 b 等于( A. B. C. ) D.

7.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c,C=2B,则 cosC=( A. B. C. D.



8.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B、C 的俯角分别为 75°、30°,此时气球 的高是 60m,则河流的宽度 BC 等于( )

A. 240(

﹣1)m B. 180(

﹣1)m C. 120(

﹣1)m D. 30(

+1)m

9.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acosA,则 sinA:sinB:sinC 为( ) A. 4:3:2 B. 5:6:7 C. 5:4:3 D. 6:5:4 10.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=( A. 2
n﹣1



B.

C.

D.

二、填空题 11.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 = .

12.设△ABC 的内角 A,B,C,所对的边分别是 a,b,c.若(a+b﹣c) (a+b+c)=ab,则角 C= . 13.等比数列{an}的各项均为正数,且 a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= . 14. 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 A= , a=1, b= , 则 B= .

15.已知△ABC 得三边长成公比为

的等比数列,则其最大角的余弦值为



三、解答题(本大题共 6 小题,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤) 16.在△ABC 中, 内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c,已知 4sin (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)已知 b=4,△ABC 的面积为 6,求边长 c 的值. 17.已知{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,Sn 表示{an}的前 n 项和. (Ⅰ)求 an 及 Sn; 2 (Ⅱ)设{bn}是首项为 2 的等比数列,公比为 q 满足 q ﹣(a4+1)q+S4=0.求{bn}的通项公 式及其前 n 项和 Tn. 18.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c,已知 b=3,求: (Ⅰ)a 和 c 的值; (Ⅱ)cos(B﹣C)的值. 19.若 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和,且 S1,S2,S4 成等比数列. (1)求等比数列 S1,S2,S4 的公比; ? =2,cosB= ,
2

+4sinAsinB=2+



(2)若 S2=4,求{an}的通项公式; (3)设 bn= 正整数 m. 20.设数列{an}前 n 项和 Sn,且 Sn=2an﹣2,令 bn=log2an (Ⅰ)试求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 ,求证数列{cn}的前 n 项和 Tn<2. ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn> 对所有 n∈N 都成立的最大
*

21.如图,某市郊外景区内一条笔直的公路 a 经过三个景点 A,B,C.景区管委会又开发了 风景优美的景点 D. 经测量景点 D 位于景点 A 的北偏东 30°方向 8km 处, 位于景点 B 的正北 方向,还位于景点 C 的北偏西 75°方向上.已知 AB=5km. (1)景区管委会准备由景点 D 向景点 B 修建一条笔直的公路,不考虑其他因素,求出这条 公路的长. (结果精确到 0.1km) (2)求景点 C 与景点 D 之间的距离. (结果精确到 0.1km)

2014-2015 学年山东省青岛市即墨实验高中高二 (上) 10 月月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题 1.在△ABC 中,若∠A=45°,∠B=60°,BC=3 A. 4 B. 3 C. 2 D.

,则 AC=(



考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由 A 与 B 的度数求出 C 的度数,根据 sinB,sinA,以及 c 的值,利用正弦定理求出 b 的值即可. 解答: 解:∵在△ABC 中,∠A=45°,∠B=60°,BC=10,

由正弦定理

=

得:AC=

=

=3



故选:B. 点评: 此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关 键. 2.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若 acosA=bsinB,则,sinAcosA+cos A= ( ) A. B. C. ﹣1 D. 1
2

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用三角形中的正弦定理,将已知等式中的边用三角形的角的正弦表示,代入要求 的式子,利用三角函数的平方关系求出值. 解答: 解:△ABC 中,∵acosA=bsinB,由正弦定理得 sinAcosA=sinBsinB, ∴sinAcosA+cos B=sin B+cos B=1, 故选:D. 点评: 本题考查三角形中的正弦定理、余弦定理、三角函数的平方关系,属于基础题. 3.在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则 a7=( A. 5 B. 8 C. 10 D. 14 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. )
2 2 2

分析: 由题意可得 a4=5,进而可得公差 d=1,可得 a7=a1+6d,代值计算即可. 解答: 解:∵在等差数列{an}中 a1=2,a3+a5=10, ∴2a4=a3+a5=10,解得 a4=5, ∴公差 d= =1,

∴a7=a1+6d=2+6=8 故选:B 点评: 本题考查等差数列的通项公式,属基础题. 4.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6=( A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等比数列的性质可得 S2,S4﹣S2,S6﹣S4 成等比数列,代入数据计算可得. 2 4 解答: 解:S2=a1+a2,S4﹣S2=a3+a4=(a1+a2)q ,S6﹣S4=a5+a6=(a1+a2)q , 所以 S2,S4﹣S2,S6﹣S4 成等比数列, 即 3,12,S6﹣15 成等比数列, 2 可得 12 =3(S6﹣15) , 解得 S6=63 故选:C 点评: 本题考查等比数列的性质,得出 S2,S4﹣S2,S6﹣S4 成等比数列是解决问题的关键, 属基础题. 5.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2﹣Sk=24,则 k=( A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 先由等差数列前 n 项和公式求得 Sk+2,Sk,将 Sk+2﹣Sk=24 转化为关于 k 的方程求解. 解答: 解:根据题意: Sk+2=(k+2) ,Sk=k ∴Sk+2﹣Sk=24 转化为: 2 2 (k+2) ﹣k =24 ∴k=5 故选 D 点评: 本题主要考查等差数列的前 n 项和公式及其应用,同时还考查了方程思想,属中档 题. 6.△ABC 中,a,b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a,b、c 成等差数列,∠B=30°, △ABC 的面积为 ,那么 b 等于( )
2 2





A.

B.

C.

D.

考点: 解三角形. 专题: 计算题;压轴题. 分析:先根据等差中项的性质可求得 2b=a+c,两边平方求得 a,b 和 c 的关系式,利用三角 形面积公式求得 ac 的值,进而把 a,b 和 c 的关系式代入余弦定理求得 b 的值. 解答: 解:∵a,b、c 成等差数列,∴2b=a+c,得 a +c =4b ﹣2ac, 又∵△ABC 的面积为 ,∠B=30°, 故由 得 ac=6. ∴a +c =4b ﹣12. 由余弦定理,得 解得 . ,
2 2 2 2 2 2



又 b 为边长,∴ . 故选 B 点评: 本题主要考查了余弦定理的运用.考查了学生分析问题和基本的运算能力. 7.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c,C=2B,则 cosC=( A. B. C. D. )

考点: 正弦定理的应用;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 解三角形. 分析: 直接利用正弦定理以及二倍角公式, 求出 sinB, cosB, 然后利用平方关系式求出 cosC 的值即可. 解答: 解:因为在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c,C=2B, 所以 8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB,所以 cosB= ,B 为三角形内角,所以 B∈(0, ) .C 所以 sinB= 所以 sinC=sin2B=2× cosC= 故选:A. = . . = . = ,

点评: 本题考查正弦定理的应用,三角函数中的恒等变换应用,考查计算能力,注意角的 范围的估计. 8.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B、C 的俯角分别为 75°、30°,此时气球 的高是 60m,则河流的宽度 BC 等于( )

A. 240(

﹣1)m B. 180(

﹣1)m C. 120(

﹣1)m D. 30(

+1)m

考点: 解三角形的实际应用;余弦定理的应用. 专题: 解三角形. 分析: 由题意画出图形,由两角差的正切求出 15°的正切值,然后通过求解两个直角三角 形得到 DC 和 DB 的长度,作差后可得答案. 解答: 解:如图,

由图可知,∠DAB=15°,

∵tan15°=tan(45°﹣30°)=

=



在 Rt△ADB 中,又 AD=60, ∴DB=AD? tan15°=60×(2﹣ )=120﹣60 在 Rt△ADC 中,∠DAC=60°,AD=60, ∴DC=AD? tan60°=60 .



∴BC=DC﹣DB=60 ﹣(120﹣60 )=120( ) (m) . ∴河流的宽度 BC 等于 120( )m. 故选:C. 点评: 本题考查了解三角形的实际应用,考查了两角差的正切,训练了直角三角形的解法, 是中档题. 9.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acosA,则 sinA:sinB:sinC 为( ) A. 4:3:2 B. 5:6:7 C. 5:4:3 D. 6:5:4 考点: 正弦定理的应用. 专题: 解三角形.

分析: 由题意可得三边即 a、a﹣1、a﹣2,由余弦定理可得 cosA= 3b=20acosA,可得 cosA= ,从而可得 =

,再由

,由此解得 a=6,可得三边

长,根据 sinA:sinB:sinC=a:b:c,求得结果. 解答: 解: 由于 a, b, c 三边的长为连续的三个正整数, 且 A>B>C, 可设三边长分别为 a、 a﹣1、a﹣2. 由余弦定理可得 cosA= = = ,

又 3b=20acosA,可得 cosA= 故有 =

=



,解得 a=6,故三边分别为 6,5,4.

由正弦定理可得 sinA:sinB:sinC=a:b:c=a: (a﹣1) : ( a﹣2)=6:5:4, 故选 D. 点评: 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,求出 a=6 是解题的关键,属于中档题. 10.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=( A. 2
n﹣1



B.

C.

D.

考点: 数列递推式;等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 直接利用已知条件求出 a2,通过 Sn=2an+1,推出数列是等比数列,然后求出 Sn. 解答: 解:因为数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,a2=

所以 Sn﹣1=2an,n≥2,可得 an=2an+1﹣2an,即:



所以数列{an}从第 2 项起,是等比数列,所以 Sn=1+

=

,n∈

N+. 故选:B. 点评: 本题考查数列的递推关系式的应用,前 n 项和的求法,考查计算能力. 二、填空题 11.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 = .

考点: 等差数列的性质.

专题: 等差数列与等比数列. 分析: 可得 S3,S6﹣S3,S9﹣S6,S12﹣S9 成等差数列,由此可得 S6=3S3,S9=6S3,S12=10S3, 代入化简可得. 解答: 解:由等差数列的性质可得 S3,S6﹣S3,S9﹣S6,S12﹣S9 成等差数列, 由 = 可得 S6=3S3,故 S6﹣S3=2S3,

故 S9﹣S6=3S3,S12﹣S9=4S3, 解之可得 S9=6S3,S12=10S3, 故 = =

故答案为: 点评: 本题考查等差数列的性质,用 S3 表示其余的项是解决问题的关键,属中档题. 12.设△ABC 的内角 A,B,C,所对的边分别是 a,b,c.若(a+b﹣c) (a+b+c)=ab,则角 C= .

考点: 余弦定理. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 利用已知条件(a+b﹣c) (a+b+c)=ab,以及余弦定理,可联立解得 cosB 的值,进 一步求得角 B. 解答: 解:由已知条件(a+b﹣c) (a+b+c)=ab 可得 a +b ﹣c +2ab=ab 2 2 2 即 a +b ﹣c =﹣ab 由余弦定理得:cosC= 又因为 0<B<π,所以 C= 故答案为: 点评: 本题考查了解三角形的知识,对余弦定理及其变式进行重点考查,属于基础题目. 13. 等比数列{an}的各项均为正数, 且 a1a5=4, 则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= 考点: 等比数列的性质;对数的运算性质;等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 可先由等比数列的性质求出 a3=2,再根据性质化简 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5log2a3,代入即可求出答案. 5 解答: 解:log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a3 =5log2a3. 又等比数列{an}中,a1a5=4,即 a3=2. 故 5log2a3=5log22=5. 5 . . =
2 2 2

故选为:5. 点评: 本题考查等比数列的性质,灵活运用性质变形求值是关键,本题是数列的基本题, 较易.

14.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A= 或 .

,a=1,b=

,则 B=

考点: 余弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用正弦定理列出关系式,将 a,sinA,b 的值代入求出 sinB 的值,即可确定出 B 的度数. 解答: 解:∵在△ABC 中,A= ,a=1,b= ,

∴由正弦定理 ∵a<b,∴A<B, ∴B= 或 . 或

=

得:sinB=

=

=



故答案为:



点评: 此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关 键.

15.已知△ABC 得三边长成公比为

的等比数列,则其最大角的余弦值为



考点: 余弦定理;等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据三角形三边长成公比为 的等比数列,根据等比数列的性质设出三角形的三边 为 a, a,2a,根据 2a 为最大边,利用大边对大角可得出 2a 所对的角最大,设为θ,利 用余弦定理表示出 cosθ,将设出的三边长代入,即可求出 cosθ的值. 解答: 解:根据题意设三角形的三边长分别为 a, a,2a, ∵2a> a>a,∴2a 所对的角为最大角,设为θ, 则根据余弦定理得:cosθ= =﹣ .

故答案为:﹣ 点评: 此题考查了余弦定理,等比数列的性质,以及三角形的边角关系,熟练掌握余弦定 理是解本题的关键.

三、解答题(本大题共 6 小题,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤) 16. 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 4sin (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)已知 b=4,△ABC 的面积为 6,求边长 c 的值. 考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)△ABC 中由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式求得 cos(A+B)= ﹣ ,从而得到 cosC= ,由此可得 C 的值.
2

+4sinAsinB=2+



(Ⅱ)根据△ABC 的面积为 6= ab? sinC 求得 a 的值,再利用余弦定理求得 c= 的值.
2

解答: 解: (Ⅰ)△ABC 中,∵4sin +4sinAsinB=2+ ∴﹣2cosAcosB+2sinAsinB= ∴cosC= ,∴C= .

+4sinAsinB=2+ , ,

,∴4×

,即 cos(A+B)=﹣

(Ⅱ)已知 b=4,△ABC 的面积为 6= ab? sinC= a×4× ∴c= = =

,∴a=3 .



点评: 本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和差的三角公式、余弦定理的应用,属于中 档题. 17.已知{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,Sn 表示{an}的前 n 项和. (Ⅰ)求 an 及 Sn; 2 (Ⅱ)设{bn}是首项为 2 的等比数列,公比为 q 满足 q ﹣(a4+1)q+S4=0.求{bn}的通项公 式及其前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)直接由等差数列的通项公式及前 n 项和公式得答案; (Ⅱ)求出 a4 和 S4,代入 q ﹣(a4+1)q+S4=0 求出等比数列的公比,然后直接由等比数列 的通项公式及前 n 项和公式得答案. 解答: 解: (Ⅰ)∵{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列, ∴an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1. ;
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,a4=7,S4=16. 2 2 ∵q ﹣(a4+1)q+S4=0,即 q ﹣8q+16=0, 2 ∴(q﹣4) =0,即 q=4. 又∵{bn}是首项为 2 的等比数列, ∴ .

. 点评: 本题考查等差数列的性质,考查了等差数列和等比数列的通项公式、前 n 项和公式 的求法,是基础题.

18.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c,已知 b=3,求: (Ⅰ)a 和 c 的值; (Ⅱ)cos(B﹣C)的值. 考点: 余弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)利用平面向量的数量积运算法则化简 ?

?

=2,cosB= ,

=2,将 cosB 的值代入求出 ac=6,
2 2

再利用余弦定理列出关系式,将 b,cosB 以及 ac 的值代入得到 a +c =13,联立即可求出 ac 的值; (Ⅱ)由 cosB 的值,利用同角三角函数间基本关系求出 sinB 的值,由 c,b,sinB,利用 正弦定理求出 sinC 的值, 进而求出 cosC 的值, 原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后, 将各自的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ? =2,cosB= ,

∴c? acosB=2,即 ac=6①, ∵b=3, ∴由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB,即 9=a +c ﹣4, 2 2 ∴a +c =13②, 联立①②得:a=3,c=2; (Ⅱ)在△ABC 中,sinB= 由正弦定理 = = = = , ,
2 2 2 2 2

得:sinC= sinB= ×

∵a=b>c,∴C 为锐角, ∴cosC= = = ,

则 cos(B﹣C)=cosBcosC+sinBsinC= × +

×

=



点评: 此题考查了正弦、余弦定理,平面向量的数量积运算,以及同角三角函数间的基本 关系,熟练掌握定理是解本题的关键. 19.若 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和,且 S1,S2,S4 成等比数列. (1)求等比数列 S1,S2,S4 的公比; (2)若 S2=4,求{an}的通项公式; (3)设 bn= 正整数 m. 考点: 数列的应用;等差数列的通项公式;数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用 S1,S2,S4 成等比数列,建立等式,从而 d=2a1,即可求等比数列 S1,S2, S4 的公比; (2)利用 S2=4,确定首项与公差,即可求{an}的通项公式; (3)利用裂项法求和,求出 Tn 的最小值,从而使得 Tn> > ,即可求得最大正整数 m. 对所有 n∈N 都成立,等价于 1
*

,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn>

对所有 n∈N 都成立的最大

*

解答: 解: (1)∵数列{an}为等差数列,∴S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d, ∵S1,S2,S4 成等比数列,∴ ∴ ∵公差为 d 不等于 0,∴d=2a1, ∴q= , ,∴

(2)∵S2=4,∴2a1+d=4, ∵d=2a1,∴a1=1,d=2, ∴an=2n﹣1 (3)∵ ∴ ∴(Tn)min=1 使得 Tn> 对所有 n∈N 都成立,等价于 1>
*

+…+

=

,∴m<20

∴m 的最大值为 19. 点评: 本题考查等差数列与等比数列的综合,考查数列的通项与求和,考查数列与不等式 的联系,属于中档题. 20.设数列{an}前 n 项和 Sn,且 Sn=2an﹣2,令 bn=log2an (Ⅰ)试求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)设

,求证数列{cn}的前 n 项和 Tn<2.

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由已知条件推导出{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列,从而可求数列{an} 的通项公式; (Ⅱ)利用错位相减法,可求数列{cn}的前 n 项和 Tn,即可证明结论. 解答: (Ⅰ)解:当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(2an﹣2)﹣(2an﹣1﹣2)=2an﹣2an﹣1, 所以,an=2an﹣1,即 ,…(3 分)

当 n=1 时,S1=2a1﹣2,a1=2,…(4 分) 由等比数列的定义知,数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 所以,数列{an}的通项公式为 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 ,…(8 分) .…(6 分)

所以

,①

以上等式两边同乘以 ,得 ①﹣②,得

,②

=

, 所以 .

所以 Tn<2.…(12 分) 点评: 本题考查等比数列的通项,考查数列的求和,考查错位相减法的运用,属于中档题. 21.如图,某市郊外景区内一条笔直的公路 a 经过三个景点 A,B,C.景区管委会又开发了 风景优美的景点 D. 经测量景点 D 位于景点 A 的北偏东 30°方向 8km 处, 位于景点 B 的正北 方向,还位于景点 C 的北偏西 75°方向上.已知 AB=5km. (1)景区管委会准备由景点 D 向景点 B 修建一条笔直的公路,不考虑其他因素,求出这条 公路的长. (结果精确到 0.1km) (2)求景点 C 与景点 D 之间的距离. (结果精确到 0.1km)

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题. 分析: (1)过点 D 作 DE⊥AC 于点 E,过点 A 作 AF⊥DB,交 DB 的延长线于点 F,求 DE 的 问题就可以转化为求∠DBE 的度数或三角函数值的问题. (2)Rt△DCE 中根据三角函数就可以求出 CD 的长. 解答: 解: (1)如图,过点 D 作 DE⊥AC 于点 E,过点 A 作 AF⊥DB,交 DB 的延长线于点 F 在 Rt△DAF 中,∠ADF=30°,∴AF= AD= ×8=4,∴DF= 在 Rt△ABF 中,BF= sin∠ABF= ,在 Rt△DBE 中,sin∠DBE= =3,∴BD=DF﹣BF=4 , ﹣3)= ≈3.1 ﹣3 ;

∵∠ABF=∠DBE,∴sin∠DBE= ,∴DE=BD? sin∠DBE= ×(4 (km) ∴景点 D 向公路 a 修建的这条公路的长约是 3.1km;

(2) 由题意可知∠CDB=75°, 由 (1) 可知 sin∠DBE= =0.8, 所以∠DBE=53°, ∴∠DCB=180° ﹣75°﹣53°=52° 在 Rt△DCE 中,sin∠DCE= ,∴DC= ≈4(km)

∴景点 C 与景点 D 之间的距离约为 4km.

点评: 本题主要考查解直角三角形的条件,已知直角三角形的一个锐角和一边长,或已知 两边长就可以求出另外的边和角.


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