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江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题


无锡市 2014 届高三上学期期中调研考试数学试题
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请将答案填入答题纸填空题的相应答题线 上) 1.设全集 U ? R ,集合 A ? ? x | x ? 3? , B ? ? x | ?1 ? x ? 6? ,则集合 (CU A) ? B ? 。

2.某高中学校有高一学生 600

人,高二学生 500 人,高三学生 500 人,现通过分层抽样抽取一个容 量为 320 的样本,则高三学生应抽取的人数为 。 3.若复数

1 ? ai ,则 (a ? R) 是纯情虚数( i 是虚数单位) a 的值为 2?i
。 。



4.已知 m, n 为正整数, 3m ? n ? 20 ,则 m ? n 的概率为 5. 执行如图所示的程序框图, 那么输出 k 为

6.长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC ? 3, AA1 ? 2 ,则四面体

A1 BC1 D 的体积为



7.若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线 C ,离心率为 2 , 且过点 (2,3) ,则曲线 C 的方程为 。

8.记等差数列的前 n 项和为 S n , S11 ? 0, S12 ? 0 ,则 S n 最大的 n 是 。
2 2

9.直线 y ? kx ? 1 与圆 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 9 相交于 A、B 两点,若 。 AB ? 4 ,则 k 的取值范围是 ? ? 10 . 将 函 数 y ? sin(2 x ? ) 的 图 象 向 左 平 移 个单位后得到的图象对应的解析式为 6 3

y ? ? sin(2 x ? ? ) ,则符合条件的绝对值最小的 ? 角是



11. ?ABC 中,M 为 AB 的的三等分点,AM : AB ? 1: 3, N 为 AC 的中点,BN 与 CM 交于点 E , 在

??? ?? ???? ? ? ??? ? AB ? m, AC ? n ,则 AE ?
12 . 定 义 运 算 a ? b ? ? 为 。



?b (a ? b) 1 4 , 则 关 于 正 实 数 x 的 不 等 式 2 ? ( x ? ) ? (2 x) ? 的 解 集 x x ? a (a ? b)

·1·

13 . 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? ?

( x ?l o g x ? 1 ) ? 0 ? 2 ( ( x ? 1) ?| x ? 3 | ?1

,则函数

1)

1 g ( x) ? f ( x) ? 的所有零点之和为 2
2 2



14.设实数 b, c 满足 b ? c ? 1 ,且 f ( x) ? ax ? bsin x ? c cos x的图像上存在两条切线垂直,则 。 二、解答题: (本在题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (本小题 14 分) 已知向量 m , n 的夹角为 45? ,则 | m |? 1,| n |?

a ? b ? c 的取值范围是

?? ?

??

?

? ?? ? ? ?? ? 2 ,又 a ? 2m ? n, b ? ?3m ? n 。 ?? ?

(1)求 a 与 b 的夹角; (2)设 c ? ta ? b, d ? 2m ? n ,若 c / / d ,求实数 t 的值。

?

?

?

? ? ? ?

?

? ?

16. (本小题 14 分) 在三棱锥 P ? ABC 中,平面 PAC ? 平面 ABC, ? ACB? 90? , PC? AC H PA 的中点, , 为

M、N 分别为棱 PA, PB 上的点,且 PN ? 3NB 。
(1)求证: PA ? 平面 BCH ; (2)若 MN / / 平面 HBC ,则 PM : MA 的值。

17. (本小题 14 分) 在 ?ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 角 函数 f ( x) ? 2cos x sin( x ? A) ? sin A( x ? R) 在

x?

5? 处取得最大值。 12

(1)当 x ? (0,

?

2

) 时,求函数 f ( x) 的值域;
13 3 ,求 ?ABC 的面积。 14
·2·

(2)若 a ? 7 且 sin B ? sin C ?

18. (本小题 14 分) 已知等比数列 ? an ? 的公比 q ? 1 , n 项和为 Sn , S3 ? 7, a1 ? 3,3a2 , a3 ? 4 成等差数列, 前 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , 6Tn ? (3n ? 1)bn ? 2 ,其中 n ? N 。
*

(1)求数列 ? an ? 的通项公式;

(2)求数列 ?bn ? 的通项公式;

(3)设 A ? ?a1 , a2 ,?, a10 ? , B ? ?b1 , b2 , ?, b40 ?, C ? A ? B ,求集合 C 中所有元素之和。

19. (本小题 14 分)

?0 ? x ? e 2 ? 已知图形 OAPBCD是由不等式组 ?0 ? y ? e ,围成的图形,其中曲线段 APB 的方程为 ? y ? ln x ?
2 y ? ln x (1? x ? e ), P 为曲线上的任一点。

(1)证明:直线 OC 与曲线段相切; (2)若过 P 点作曲线的切线交图形的边界于 M , N ,求图形被切线所截得的左上部分的面积的 最小值。

20. (本小题 14 分) 已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? a( x ? 2) ? 2ln x, g ( x) ? f ( x) ? 4a ?
2

1 。 4a

(1)当 a ? 1 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若 f ( x) 在区间 [1, 4] 上是增函数,求实数 a 的取值范围;

·3·

(3)若当 x ? [2, ??) 时,函数 g ( x) 图象上的点均在不等式 ? 实数 a 的取值范围。

?x ? 2 ,所表示的平面区域内,求 ?y ? x

·4·

参考答案 一、填空题 1. [?1,3) 2.100 3.2 4.

1 6

5.5 6.6 7. x ? y ? 5
2 2

8.6 9. ( ? 10. ?

1 , 2) 2

?

6 1 ?? 2 ? 11. m ? n 5 5
12. [1, 2] 13. 2 ? 1 14. [? 2, 2] 二、解答题 15.

·5·

·6·

·7·

·8·

·9·

·10·


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