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双曲线定义及其性质 20150210


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跃龙教育 个性化辅导教案讲义
任教科目:数学 授课题目:上学期总复习 年 级:高二(文)

任课教师:时侠圣 授课对象: 汪明东

合肥跃龙个性化教育
香樟雅苑校区

教学主任签名: 日 期: 2015.2.10

这里不仅仅是成绩的提升,更是成长的飞跃

跃龙教育 育人为本 诚信为先

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跃龙教育个性化辅导授课案
教师:时侠圣学生:汪明东日期: 2015.02.10 星期:周四时段: 8:00-10:00
课题 教学目标与 考点分析 教学重点 难点

双曲线定义及其性质
理解双曲线的定义,掌握双曲线的性质。 直线与双曲线的关系,参数求值或值域。

年级 高二(文)

教学过程 一:双曲线定义
① 与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹。 ② 到定点与定直线的距离之比是一个大于 1 的常数(离心率)的点之轨迹。

x2 y2 焦点在 x 轴上: 2 ? 2 ? 1 a b
a 2 ? b 2 ? c 2 , 离心率 e ? c a

y2 x2 焦点在 y 轴上: 2 ? 2 ? 1 a b

判断方法:焦点在系数为正的轴上。 性质: ① MF 1 ? MF 2 ? 2a

a2 ② 准线: x ? ? c
③ 渐近线: y ? ?

b x2 y2 x, (令 2 ? 2 ? 0 即可) a a b
虚轴长: 2b

④ 实轴(两顶点之间连线)长: 2 a
2

⑤ 弦长公式: d ? 1 ? k x1 ? x2 ,其中 k 为弦长所在直线的斜率, x1 , x2 为交点横坐标。 例 1:双曲线 6 x ? 2 y ? ?1 的两条渐近线的夹角是( )
2 2

A.

? 3

B.

2? 3

C.

? 6

D.

? 2

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3

名师讲解:先把双曲线写成标准式:

y2 x2 ? ? 1 ,所以其渐近线为 y ? ? 3x 。由两条直线的夹角公式 1 1 2 6

知 tan? ?

k ?k 3 ? (? 3 ) 2? ? ? 3 ?? ? . 夹角公式: tan? ? 1 2 . 1 ? k1k 2 3 1 ? 3 (? 3 )

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 e ? 2 ,则 k 的范围是______. 例 2:已知双曲线 4 k
名师讲解: 4 ? k ? c 2 ? (ae) 2 ? 4e2 ? 0 ? k ? 12

例 3:求与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有共同的渐近线,并且过点 A(6, 8 2 ) 的双曲线方程。 9 16 x2 y2 ? ? k ,又因为曲线过点 A(6, 8 2 ) ,所以有 9 16

名师讲解:有共同的渐近线,则可设双曲线方程为

y2 x2 62 (8 2 ) 2 ? 1. k? ? ? 4 ? 8 ? ?4. 则标准方程为: ? 64 36 9 16
例 4:过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右顶点为 A,右焦点为 F,过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线 9 16
1 2

交于点 B,则 ?AFB 的面积为_______. 名师讲解:画出图像。三角形面积无非就两种方法:① 底乘高,② abcinC . (我称之为三角函数法) 显然本题中应用第一种最方便,把 AF 视作 ?AFB 的底,把 B 点的纵坐标看做高,则面积出之。 直线 BF : y ?

4 17 32 ( x ? 5) ,联立双曲线方程得: B ( ,? ). 3 5 15

例 5:双曲线

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点的距离是 8,则 P 到左准线的距离是( ) 64 36
B.

A.

32 5

96 5

C. 10

D. 2 7

名师讲解:由双曲线的第一定义知 P 到左焦点的距离为 8 ? 2a ? 18 ,由双曲线的第二定义知点 P 到左准 线的的距离为 24 ?

8 96 ? . 10 5

例 6: (2014〃重庆高考文科)设 F1 , F2 分别为双曲线 存在一点 P 使得 PF1 ? PF2 A. 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,双曲线上 a 2 b2
) D. 17

?

?

2

? b2 ? 3ab, 则该双曲线的离心率为(
B. 15 C. 4

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名师讲解:由双曲线的定义知, PF1 ? PF2 所以 4a ? b ? 3ab
2 2

?

?

2

? 4a 2 , 又 ? PF1 ? PF2

?

2

? b2 ? 3ab,

2 b b b ?b? 等号两边同除 a ,化简得 ? ? ? 3 ? 4 ? 0 ,解得 ? 4 或 ? ?1 (舍去) a a a ?a?

2

故离心率 e ?

c c2 a 2 ? b2 ?b? ? ? ? 1 ? ? ? ? 17. 2 2 a a a ?a?

2

例 7:已知双曲线的中心在原点,焦点 F1 , F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点 (4,? 10) .点 M (3, m) 在 双曲线上. (1)求双曲线方程; (2)求证: MF 1 ? MF 2 ? 0; (3) 求 ?F1MF2 面积. 解析:(1)∵ e ?

2 ,则双曲线的实轴、虚轴相等.

∴可设双曲线方 程为 x 2 ? y 2 ? ? . ∵过点 (4,? 10) ,∴ 16 ? 10 ? ? ,即 ? ? 6 . ∴双曲线 方程为 x 2 ? y 2 ? 6 . (2)证明:∵ MF 1 ? (?3 ? 2 3,?m), MF 2 ? (2 3 ? 3,?m) .
2 2 ∴ MF 1 ? MF 2 ? (3 ? 2 3) ? (3 ? 2 3) ? m ? ?3 ? m ,

∵M 点在双曲线上,∴ 9 ? m ? 6 ? m ? 3 ? 0.
2 2

∴ MF 1 ? MF 2 ? 0. (3) ?F1MF2 的底 F1 F2 ? 4 3. 由(2)知 m ? ? 3. ∴ ?F1MF2 的高 h ? m ? 3,? S?F1MF2 ? 6.

x2 y2 例 8: P( x0 , y0 )(x0 ? ?a) 是双曲线 E : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点, M , N 分别是双曲线 E 的左, a b
1 右顶点,直线 PM , PN 的斜率之积为 . 5 (1)求双曲线的离心率. (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A, B 两点, O 为坐标原点, C 为双曲线上一点, 满足 OC ? ?OA ? OB, 求λ的值.
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2 2 x0 y0 x2 y2 解析:(1)由点 P( x0 , y0 )(x0 ? ?a) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 上,有 2 ? 2 ? 1 . a b a b

由题意有

y0 y 1 ? 0 ? . x0 ? a x0 ? a 5
2 2 2 2 2

可得 a ? 5b , c ? a ? b ? 6b ? e ?
2

c 30 ? . a 5

(2)联立 ?

? x 2 ? 5 y 2 ? 5b 2 ? 4 x 2 ? 10cx ? 35b 2 ? 0. ? y ? x?c

5c ? ? x1 ? x2 ? 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 ? 2 ? x1 x2 ? 35b 4 ?
设 OC ? ( x3 , y3 ), OC ? ?OA ? OB, 即?



? x3 ? ?x1 ? x2 ? y3 ? ?y1 ? y2

又 C 为双曲线上一点,即 x 2 ? 5 y 2 ? 5b2 , 有 (?x1 ? x2 )2 ? 5(?y1 ? y2 ) ? 5(?y1 ? y2 )2 ? 5b2
2 2 2 化简得 ?2 ( x1 ? 5 y12 ) ? 2? ( x1 x2 ? 5 y1 y2 ) ? x2 ? 5 y2 ? 5b2 ②

又 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 在双曲线上, 所以 x1 ? 5 y1 ? 5b , x2 ? 5 y2 ? 5b .
2 2 2 2 2 2

由①式又有 x1 x2 ? 5 y1 y2 ? x1 x2 ? 5( x1 ? c)(x2 ? c) ? ?4x1 x2 ? 5c( x1 ? x2 ) ? 5c 2 ? 10b2 . ②式可化 为 ?2 ? 4? ? 0, 解得λ=0 或λ=-4.

本次课后作业:校本习题及寒假作业

学生对于本次课的评价: ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字:

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教师评定: 1、 学生上次作业评价: ○ 非常好 ○好 ○ 一般 ○ 一般 ○ 需要优化 ○ 需要优化

2、 学生本次上课情况评价:○非常 好 ○好

教师签字:

教务主任签字: ___________

跃龙教育教务处

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