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44 双曲线


44 双曲线 改编:吴珍全 一、知识要点 1.双曲线的第一定义: 第二定义: 2.双曲线的标准方程: 3.双曲线的简单几何性质: 二、课前预习 1.已知方程 x2 y2 ? ? 1表示双曲线,则 k 的取值范围为 k ?2 5?k . 2.如果 F1 , F2 分别是双曲线 的周长是 . x2 y2 ? ? 1 的左右焦点, AB 是双曲线左支上过点 F1 的弦,且 | AB |? 6 ,则 ?ABF2 16 9 3.双曲线的渐近线方程是 3x ? 2 y ? 0 ,则该双曲线的离心率等于 . 4.已知 F 是双曲线 是 . x2 y2 ? ? 1 的左焦点, A(1,4) , P 是双曲线右支上的动点,则 | PF | ? | PA | 的最小值 4 12 5.已知双曲线 x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,其一条渐近线方程为 y ? x ,点 P( 3, y0 ) 在双曲线 2 b2 . 上,则 PF 1 ? PF 2 ? 三、典例剖析 1 例 1.根据下列条件,分别求双曲线的标准方程: (1)与双曲线 x2 y2 ? ? 1 有相同的渐近线,且过点 (?3,2 3) ; 9 16 x2 y2 ? ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2 ,2) . 16 4 (2)与双曲线 例 2.已知双曲线 C : x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,离心率为 3,直线 y ? 2 与 C 的两 a 2 b2 个交点间的距离为 6 . (1)求 a , b ; (2)设过 F2 的直线 l 与 C 的左、右两支分别相交于 A, B 两点,且 | AF 1 |?| BF 1 | ,证明:| AF 2 | 、 AB 、| BF 2 |成 等比数列. 例 3.已知点 P 1 ( x0 , y0 ) 为双曲线 x2 y2 ? ? 1 ( b 为正常数)上任一点, F2 为双曲线的右焦点,过 P1 作右准线 8b 2 b 2 的垂线,垂足为 A ,连接 F2 A 并延长交 y 轴于 P2 . (1)求线段 P 1P 2 的中点 P 的轨迹 E 的方程; (2)设轨迹 E 与 x 轴交于 B、D 两点,在 E 上任取一点 Q( x1 , y1 )( y1 ? 0) ,直线 QB ,QD 分别交 y 轴于 M , N 两点.求证:以 MN 为直径的圆过两定点. 四、课后作业 2 1.若双曲线 x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点的距离为 8,则 P 到 y 轴的距离为 64 36 . x2 y2 F 为 2.设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条准线与两条渐近线交于 A、B 两点,相应的焦点为 F ,若 ?AB a b 直角三角形,则双曲线的离心率为 . 3.过双曲线 x ? 2 y2 ? 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 M、N 两点,则满足 | MN |? 4 的直线有 2 条. 4.设 P 是等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 右支上一点, F1、F2 是其左右焦点,若 PF 1 ? 6 ,则 1 ? PF 2 ? 0 , PF 该双曲线的方程为 . 5.双曲线 x2 y2 a2 F A ? OAF ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的右焦点为 ,右准线与一条渐近线交于点 , 的面积为 (O 为 2 a 2 b2 . 坐标原点),


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