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函数的概念


函数的概念
题型一:区间的概念及应用 把下列数集用区间表示: (1) {x | ?

1 ? x ? 4} ; 3

(2) {x | ?

1 ? x ? 4} ; 3

(3) {x | ?

1 ? x ? 4} ; 3

(4) {x | x ? 2} ; (7) {x | x ? 1, x ? R} ; 题型二:函数的概念

(5) {x | x ? 0} ;

(6) {x | ?1 ? x ? 1或2 ? x ? 6} ;

1.下列集合 A 到集合 B 的对应 f 是函数的是______________,是映射的是___________________ (A)A={三角形},B= {x | x是圆}, 对应关系 f :每一个三角形都对应它的内切圆 (B) A ? {0,1}, B ? {?1,0,1} , f : A中数的开方; (C) A ? Z , B ? Q f : A中数的倒数; (D) A ? {?1,0,1}, B ? {?1,0,1} , f : A中数的平方;

(E) P ? {?1,1, ?2, 2} , Q ? {1, 4} ,对应关系 f : x ? y ? x 2 , x ? P, y ? Q ; (F) A ? {x | x ? Z }, B ? { y | y ? Z } ,对应法则 f : x ? y ?

x ; 3

2 (G) A ? {x | x ? 0, x ? R}, B ? { y | y ? R} ,对应法则 f : x ? y ? 3x ;

(H) A ? R, B ? R ,对应法则 f : x ? y ? x ;
2

(I) A ? {( x, y) | x ? R, y ? R} , B ? R ,对应法则 f : ( x, y) ? s ? x ? y ; (J) A ? {x | ?1 ? x ? 1, x ? R} , B ? R ,对应法则 f : x ? y ? 0 ;

2. 若集合 M={x|-2≤x≤2}, N={y|0≤y≤2},则集合 M 到集合 N 是函数的图象可能的是________

变式:若函数 y ? f ( x) 的定义域为 M={x|-2≤x≤2},值域为 N={y|0≤y≤2},则函数 y=f(x)的图象可能 是 ________

1

3.函数 y ? f ( x) 的图像与直线 x ? 1 最多有__________个交点

题型三:函数的定义域 1.求下列函数的定义域

(1) y ? ? x 2 ? x ? 2 ;

(2) y ? 3 5x ? 3

(3) f (r ) ? 2? r ,( r 为圆的半径);

?2 x 0 ? x ? 1 ? (4) y ? ? 2 1 ? x ? 2 ?3 x?2 ?

(5) y ?

( x ? 1) 0 ? x2 ? x ? 2



(6) y ? x ? x ? 1

(7) y ? x 2 ? x

2. 若函数 f ( x) ? 3.已知函数 f ( x) ?

x 2 ? 2ax ? a 的定义域为 R,则 a 的取值范围为________.
3x ? 1 的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是( ax ? ax ? 3
3 2



1 a> 3 A.

B.-12<a≤0
2 2

C.-12<a<0

D.a≤

1 3

4.(1)若函数 f ( x) ? (a ? 1) x ? (a ? 1) x ?

2 定义域为 R,求实数 a 的取值范围; a ?1

(2)判断 k 为何值时,函数 f ( x ) ?

2kx ? 8 的定义域为 R; kx ? 2kx ? 1
2

2

易错易混淆题型: 5.已知 f ( x) 的定义域是 ?? 2,3? ,求 f ( x ? 1) 定义域;

变式:已知函数 f ( x) 的定义域为 [1, 3] ,求函数 f (2 x ? 1) 的定义域;

变式:若函数 y ? f ( x) 的定义域是 [0,2] ,求函数 g ( x) ?

f (2 x) 的定义域是 x ?1

6.已知 f ( x ? 1) 的定义域是 ?? 2,3? ,求 f ( x) 的定义域.

变式:已知函数 f (2 x ? 1) 的定义域为 [1, 3] ,求函数 f ( x) 的定义域

7.已知函数 y ? f (2 x ? 1) 的定义域为 [ ?1,1] ,求函数 f ( x ? 2) 的定义域

变式:已知函数 y ? f ( x 2 ? 1) 的定义域为 [0,1] ,求函数 f ( x) 的定义域

变式:已知 f ( x ? 1) 的定义域是 ?? 2,3? ,求 f (2 x) 定义域

3

1 变式:已知函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [?2,3) ,求函数 f ( ? 2) 的定义域 x

变式:已知函数 f ( x) 的定义域为 [0,1] ,求函数 E ( x) ? f ( x ? m) ? f ( x ? m),(m ? 0) 的定义域

小结:已知 f ( x) 的定义域是 ?a, b? , 求 f ( g ( x)) 的定义域, 是指满足 a ? g ( x) ? b 的 x 的取值范围, 而已知 f ( g ( x)) 的定义域是 ?a, b? ,指的是 x ? [a, b] .

题型四:判断相同函数:只要判断函数的定义域及对应法则相同即可.

1,试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1) f ( x) ? x2 与 g ( x) ? 3 x3 ; (3) f ( x) ? ( x ? 1)0 与 g ( x) ? 1 ; (2) f ( x) ?

?1 x?0 | x| 与 g ( x) ? ? x ?? 1 x ? 0

(4) f ( x) ? x 2 ? 2 x ?1与 g (t ) ? t 2 ? 2t ?1

(5) f ( x) ? x ? x ? 1 与 g( x) ? x2 ? x ; 2.若两个函数的对应关系相同,值域也相同,但定义域不同,则称这两个函数为同族函数, 那么与函数 y ? x 2 , x ?{?1,0,1,2} 为同族函数的个数有( A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 )

题型六:求函数的值 1.已知 f ( x) ?

1 ( x ? R, 且x ? ?1), g ( x) ? x 2 ? 2 . 1? x

(1)求 f ( 2) 和 g (a ) ; (2)求 g ( f (2)) 、 f ( g (2)) 、 f ( g ( x)) 、 g ( f ( x)) ;

?2 x 2 ? 1( x ? 1) ? 2.设函数 f ( x) ? ? 2 , 则 f ? f (3) ? =____________ ( x ? 1 ) ? ? x

4

题型七:函数的值域 (1)观察法:利用初中所学函数及其图像 ○ 1 一次函数类型

y ? 3x ? 1

y ? 3x ? 1, x ? (?1,5]

y ?3 x

y ? 3 x ?1

y ? 3 x ?1, x ?[4,16)

○ 2 反比例函数类型

y?

?2 x
?2 ?1 x

y?

?2 , x ? (1,2] x

y?

?2 x ?1

y? y?

?2 , x ? (1,2] x ?1 ?2 x2 ?1

y?

y?

?2 x

y?

?2 x ?1

○ 3 二次函数类型

y ? ?x2 ? 4x ? 2
y ? ? x 2 ? 4 x ? 2, x ?[0,3]

y ? ? x 2 ? 4 x ? 2, x ?[0,1]

y ? ? x2 ? 4x ? 2, x ? (??,?3]

y ? ? x 2 ? 4x ? 2, x ? (??,?3] ? [1,??)
y? 8 x ? 4x ? 5
2

y ? ?x ? 4 x ? 2

○ 4 对勾函数

y ? x?

1 x

y ? x?

2 x

y ? x?

k ( k ? 0) x

(2)配方法 1. y ? ? x ? 4 x ? 2

y ? ? x4 ? 4x2 ? 2

y ? x ? x ?1

y ? x ? 2 x ?1

(3)换元法 1. y ? ? x ? 4 x ? 2

y ? x ? 2 x ?1

y ? x ? x ?1

y ? ? x4 ? 4x2 ? 2

5

2. y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

(4)分离常数法:形如 y ? 1. y ?

x?2 x

cx ? d ( a ? 0) ax ? b x ?1 5x ?1 y? y? x?2 4x ? 2

y?

? 5x ?1 4x ? 2

(5)判别式法 1. y ?

2x2 ? 4x ? 7 x2 ? 2x ? 3

6



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