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2015-2016学年高中数学必修4分层演练:1.2.3 三角函数的诱导公式


1.2 1.2.3

任意角的三角函数 三角函数的诱导公式

设 0°≤α≤90°,对于任意一个 0°到 360°的角β,以下四 种情形中有且仅有一种成立.

α,当β∈[0°,90°], ? ?180°-α,当β∈[90°,180°], β=? 180°+α,当β∈[180°,270°], ? ?360°-α,当β∈[270°,360°].
思考:180°-α,180°+α,360°-α的三角函数值与α的 三角函数值有怎样的关系呢?

基 础 巩 固 1.sin?-
?

17π? ?的值为________. 6 ? ?

答案:-

1 2

2. 设 cos(π+α)= 是________.

3 ? 3? ?π<α< π?,那么 sin(2π-α)的值 2 ? 2?

答案:

1 2

3.设 cos(-80°)=k,则 tan 100°=________.

答案:-

1- k

2

k

4.sin?-

?

π? 4 2 ?+2sin π+3sin π=________. 3 3 ? 3?

答案:0

5 . sin2150 ° + sin2135 ° + 2sin 210 ° + cos2225 ° 的 值 为 ______.

答案:

1 4

6.sin?α-
?

?

? π? π? ?+cos?α+ ?=______. 4? 4? ?

答案:0

7 . sin21 ° + sin22 ° + sin23 ° + …+ sin288 °+ sin289 ° = ______.

解析: sin21°+sin289°=1, sin22°+sin288°=1, …sin244° 89 +sin246°=1,∴原式=44+sin245°= . 2 答案: 89 2

8.已知三角形中的两个内角α、β满足 sin 2α=sin 2β,那 么这个三角形的形状是________.

解析:由 sin 2α=sin 2β得 2α=2β或 2α+2β=π,即α =β或α+β= π . 2

答案:等腰三角形或直角三角形

9.△ABC 中,cos(2A+B+C)=________.

解析:∵A+B+C=π,∴cos(2A+B+C)=cos(π+A)=-cos

A.
答案:-cos A

10.在△ABC 中,下列四个关系式中: ①sin(A+B)=sin C; ②cos(A+B)=cos C; ③sin

A+ B

=sin ; 2 2

C

④cos

A+ B

=sin . 2 2

C

其中正确的是________(填序号).

答案:①④

能 力 升 级 11 . sin(n π+ θ ) · cos(n π+ θ ) · tan(n π+ θ )(n ∈ Z) = ______.

解析:n 为奇数时,原式=(-sin θ)·(-cos θ)·tan θ= sin2θ;n 为偶数时,原式=sin θ·cos θ·tan θ=sin2θ. 答案:sin2θ

?π ? ? π? 12.设φ(x)=sin2? -x?+cos2?x- ?+tan(19π-x),则φ 2? ?2 ? ? ?π? ? ?=________. ?3?

解析:∵φ(x)=cos2x+sin2x-tan x=1-tan x,
?π? π ∴φ? ?=1-tan =1- 3. 3 ?3?

答案:1- 3

13.若 sin(180°+α)=-

10 ,0°<α<90°, 10



sin?(-α)?+sin?(-90°-α)? 的值. cos?(540°-α)?+cos?(-270°-α)?

解析:由 sin(180°+α)=- 10 3 10 ,cos α= . 10 10 ∴

10 ,0°<α<90°得 sin α= 10

sin?(-α)?+sin?(-90°-α)? cos?(540°-α)?+cos?(-270°-α)? - 10 3 10 - 10 10

-sin α-cos α = = -cos α+sin α

3 10 10 - + 10 10

=2.

?3k+1 ? ?3k-1 ? π+α?+cos? π-α?,其中 k∈Z. 14.化简:cos? ? 3 ? ? 3 ?

解析:方法一
? ?

当 k=2n,n∈Z 时,
? ? ? π π +α?+cos?kπ- -α? 3 3 ? ? ?

原式=cos?kπ+ =cos?2nπ+
? ?

? ? ? π π +α?+cos?2nπ- -α? 3 3 ? ? ?

?π ? ? π ? =cos? +α?+cos?- -α? ?3 ? ? 3 ? ?π ? ?π ? ?π ? =cos? +α?+cos? +α?=2cos? +α?. ?3 ? ?3 ? ?3 ?

当 k=2n+1,n∈Z 时,


? ?





cos
? π -α? 3 ?

? ? π ??(2n+1)?π+ +α? 3 ? ?



cos??(2n+1)?π- =cos?π+
? ?

? ? ? π π +α?+cos?π- -α? 3 3 ? ? ?

?π ? ?π ? ?π ? =-cos? +α?-cos? +α?=-2cos? +α?. ?3 ? ?3 ? ?3 ?

方法二
? ?

? ? ? ? π π 原式=cos?kπ+ +α?+cos?kπ- -α? 3 3 ? ? ? ? ? π +α?. 3 ?

=2cos?kπ+

当 k=2n,n∈Z 时, 原式=2cos?2nπ+
? ? ? ?π ? π +α?=2cos? +α?. 3 ? ?3 ?

当 k=2n+1,n∈Z 时,
? ? π 原式=2cos?2nπ+π+ +α? 3 ? ?

=2cos?π+
?

?

? ?π ? π +α?=-2cos? +α?. 3 ? ?3 ?

15.已知 sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tan β=0.

证明:∵sin(α+β)=1, ∴α+β=2kπ+ ∴α=2kπ+ π (k∈Z). 2

π -β(k∈Z). 2

tan(2α+β)+tan β

? ? ? ? π =tan ?2?2kπ+ -β?+β?+tan β 2 ? ? ? ?

=tan(4kπ+π-2β+β)+tan β =tan(4kπ+π-β)+tan β =tan(π-β)+tan β =-tan β+tan β=0. ∴tan(2α+β)+tan β=0 得证.

16.设 f(x)=?

? ?sin πx,x<0, ?f?x-1?+1,x≥0, ?

1 cos πx,x< , ? ? 2 g(x)=? 1 g ? x - 1 ?- 1 , x ≥ . ? ? 2
?1? ?1? ?5? ?3? 求证:g? ?+f? ?+g? ?+f? ?=1. ?4? ?3? ?6? ?4?

?1? ?1? ?5? ?3? 证明:g? ?+f? ?+g? ?+f? ? ?4? ?3? ?6? ?4? ? ? ?5 ? ? π ? ?1 ? =cos +?f? -1?+1?+?g? -1?-1?+ 4 ? ?3 ? ? ? ?6 ? ? ? ?3 ? ? ?f? -1?+1? ? ?4 ? ?

= =

? 2 π? ? π? ? π? 2 ?+1+cos?- ?-1+sin?- ?+1 +sin?- 3 ? 2 ? ? 6? ? 4?

2 3 3 2 - +1+ -1- +1=1. 2 2 2 2

17.已知 sin α= +α)的值.

5 ,求 sin(3π+α)cos(4π-α)tan(5π 5

解析:∵ sin α =

5 ,∴ sin(3 π+ α )cos(4 π- α )· tan(5 5

π-α)=-sin αcos α(-tan α) =sin αcos α
? 5?2 1 sin α ? =sin2α=? ? 5 ? = 5. cos α ? ?

18. 已知关于 x 的方程(1+tan2θ)x2-4tan2θx+4tan2θ-1=0 的两根相等,且θ为锐角,求θ的值.

解析:∵方程两根相等, ∴Δ=(-4tan2θ)2-4(1+tan2θ)(4tan2θ-1)=0, 1 3 即 tan2θ= ,tan θ=± . 3 3 又θ为锐角,则 tan θ= 3 π ,θ= . 3 6

19.已知 cos(75°+α)= -α)+cos(α-15°)的值.

5 ,α是第三象限角,求 sin(195° 13

解析:∵cos(75°+α)=

5 >0,α是第三象限角, 13

∴sin(75°+α)=- 1-cos2?(75°+α)?=-

12 . 13

故 sin(195 ° - α ) + cos( α - 15 ° ) = - sin(15 ° - α ) + cos(15 °- α ) =- sin[90 °- (75 °+ α )] + cos[90 °- (75 °+

α)]=-cos(75°+α)+sin(75°+α)=- - =- .

5 13

12 13

17 13

20 . 求 sin?2 014π+
? ?

sin ?π+
?

?

? ? π? π? π? ? sin ?2π+ ? sin ?3π+ ? … 4? 4? 4? ? ?

π? ?的值. 4?


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