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概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
函 数
一.映射 f : A ?B 的概念。在理解映射概念时要注意:㈠中元素必须都有象且唯一;㈡ B 中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。如: (1)设 f : M ? N 是集合 M 到 N 的映射,下列说法正确的是 A、 M 中每一个元 素在 N 中必有象 B、 N 中每一个元素在 M 中必有原象 C、 N 中每

一个元素在 M 中的原象是唯一的 D、 N 是 M 中所在元素的象的集合 (答:A) ; (2)点 ( a, b) 在映射 f 的作用下的象是 (a ? b, a ? b) ,则在 f 作用下点 (3,1) 的原象为 点________ (答: (2,-1) ) ; (3)若 A ? {1,2,3,4} , B ? {a, b, c} , a, b, c ? R ,则 A 到 B 的映射有 个, B 到 A 的 映射有 个, A 到 B 的函数有 个 (答:81,64,81) ; N ? {1, 2, 3, 4, 5} f : M ? N 满足条件“对任意的 ( 4 ) 设集合 M ? {? 1, 0,1}, ,映射 x ? M , x ? f ( x) 是奇数” ,这样的映射 f 有____个 (答:12) ; 2 (5)设 f : x ? x 是集合 A 到集合 B 的映射,若 B={1,2},则 A ? B 一定是_____ (答: ? 或{1}). 二.函数 f : A ?B 是特殊的映射。特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集!据此可知函 数图像与 x 轴的垂线至多有一个公共点, 但与 y 轴垂线的公共点可能没有, 也可能有 任意个。如: (1)已知函数 f ( x) , x ? F ,那么集合 {( x, y) | y ? f ( x), x ? F} ? {( x, y) | x ? 1} 中所含 元素的个数有 个 (答: 0 或 1) ; 1 (2)若函数 y ? x 2 ? 2 x ? 4 的定义域、值域都是闭区间 [2,2b] ,则 b = 2 (答:2) 三.同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域,值域和对应法则。而值域可由定义 域和对应法则唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为 同一函数。如 若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“天一 函数” ,那么解析式为 y ? x2 ,值域为{4,1}的“天一函数”共有______个 (答:9) 四.求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原则) : 1 .根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零,分母不能为零, 对数 loga x 中 ? ? x ? 0, a ? 0 且 a ? 1 ,三角形中 0 ? A ? ? , 最大角 ? ,最小角 ? 等。如 3 3 (1)函数 y ?

x ?4 ? x? lg ? x ? 3?
2

的定义域是____ (答: (0, 2) ? (2,3) ? (3, 4) );

(2)若函数 y ?

kx ? 7 的定义域为 R,则 k ? _______ kx ? 4kx ? 3
2

? 3? (答: ?0, ? ); ? 4?

(3)函数 f ( x) 的定义域是 [a, b ] , b ? ? a ? 0 ,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的定义域 是__________ (答: [a, ?a] ); (4)设函数 f ( x) ? lg(ax2 ? 2x ? 1) ,①若 f ( x) 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围; ②若 f ( x) 的值域是 R,求实数 a 的取值范围 (答:① a ? 1 ;② 0 ? a ? 1 ) 2.根据实际问题的要求确定自变量的范围。 3. 复合函数的定义域:若已知 f ( x) 的定义域为 [a, b] ,其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域由 不等式 a ? g ( x) ? b 解出即可;若已知 f [ g ( x)] 的定义域为 [a, b] ,求 f ( x) 的定义域,相当于 当 x ? [a, b] 时,求 g ( x) 的值域(即 f ( x) 的定义域) 。如
?1 ? (1)若函数 y ? f ( x) 的定义域为 ? ,2? ,则 f (log2 x) 的定义域为__________ ?2 ?

(答: x | 2 ? x ? 4 ) ; (2)若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [?2,1) ,则函数 f ( x) 的定义域为________
2

?

?

(答:[1,5]) . 五.求函数值域(最值)的方法: 1.配方法――二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间 [m, n] 上 的最值;二是求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题, 勿忘数形结合,注意“两看” :一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关 系) ,如 (1)求函数 y ? x2 ? 2x ? 5, x ?[?1, 2] 的值域 (答:[4,8]) ; 2 (2)当 x ? (0,2] 时,函数 f ( x) ? ax ? 4(a ? 1) x ? 3 在 x ? 2 时取得最大值,则 a 的取 值范围是___ 1 (答: a ? ? ) ; 2 (3)已知 f ( x) ? 3x?b (2 ? x ? 4) 的图象过点(2,1) ,则 F ( x) ? [ f ?1 ( x)]2 ? f ?1 ( x2 ) 的值 域为______ (答:[2, 5]) 2.换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是函 数解析式含有根式或三角函数公式模型,如 (1) y ? 2sin 2 x ? 3cos x ?1的值域为_____ 17 (答: [?4, ] ) ; 8 (2) y ? 2x ?1 ? x ?1 的值域为_____ (答: (3, ??) )

(3) y ? sin x ? cos x ? sin x? cos x 的值域为____
1 (答: [?1, ? 2] ) ; 2

(4) y ? x ? 4 ? 9 ? x 2 的值域为____ (答: [1,3 2 ? 4] ) ; 3.函数有界性法――直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定 所求函数的值域,最常用的就是三角函数的有界性,如 2sin ? ? 1 2sin ? ? 1 3x 求函数 y ? ,y? ,y? 的值域 x 1 ? sin ? 1 ? cos ? 1? 3 1 3 ,] ) (答: (??, ] 、 (0,1) 、 (?? ; 2 2 4.单调性法――利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调性,如 1 9 求 y ? x ? (1 ? x ? 9) , y ? sin 2 x ? , y ? 2x?5 ? log3 x ?1 的值域 x 1 ? sin 2 x 80 11 (答: (0, ) 、 [ , 9] 、 [2,10] ) ; 9 2 5.数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直线斜率、等 等,如 y (1)已知点 P( x, y ) 在圆 x2 ? y 2 ? 1上,求 及 y ? 2 x 的取值范围 x?2 3 3 (答: [? ; , ] 、 [? 5, 5] ) 3 3 (2)求函数 y ? ( x ? 2) 2 ? ( x ? 8) 2 的值域 (答: [10, ??) ) ; (3)求函数 y ? x2 ? 6 x ? 13 ? x2 ? 4 x ? 5 及 y ? x2 ? 6 x ? 13 ? x2 ? 4 x ? 5 的值域 (答: [ 43, ??) 、 (? 26, 26) ) 注意:求两点距离之和时,要将函数式变形,使两定点在 x 轴的两侧,而求两点距 离之差时,则要使两定点在 x 轴的同侧。 6.判别式法――对分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时 也可以用其它方法进行求解,不必拘泥在判别式法上,也可先通过部分分式后,再利 用均值不等式: b ①y? 型,可直接用不等式性质,如 k ? x2 3 求y? 的值域 2 ? x2 3 (答: (0, ] ) 2 bx ②y? 2 型,先化简,再用均值不等式,如 x ? mx ? n x (1)求 y ? 的值域 1 ? x2 1 (答: (??, ] ) ; 2

(2)求函数 y ?

x?2 的值域 x?3
1 (答: [0, ] ) 2

x 2 ? m?x ? n? 型,通常用判别式法;如 x 2 ? mx ? n mx 2 ? 8 x ? n 已知函数 y ? log 3 的定义域为 R,值域为[0,2],求常数 m, n 的值 x2 ? 1 (答: m ? n ? 5 ) 2 x ? m?x ? n? ④y? 型,可用判别式法或均值不等式法,如 mx ? n x2 ? x ? 1 求y? 的值域 x ?1 (答: (??, ?3] ? [1, ??) ) ? 7.不等式法――利用基本不等式 a ? b ? 2 ab (a, b ? R ) 求函数的最值,其题型特征解析 式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添 项和两边平方等技巧。如 (a ? a 2 ) 2 设 x, a1 , a2 , y 成等差数列, x, b1, b2 , y 成等比数列,则 1 的取值范围是__. b1b2 (答: (??,0] ? [4, ??) ) 。 8.导数法――一般适用于高次多项式函数,如 求函数 f ( x) ? 2 x3 ? 4 x2 ? 40 x , x ?[?3,3] 的最小值。 (答:-48) 提醒: (1)求函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗? (2)函数的最值与值域之间有何关系? 六.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来 表示对应关系的函数,它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值 f ( x0 ) 时,一定首

③y?

先要判断 x0 属于定义域的哪个子集,然后再代相应的关系式;分段函数的值域应是 其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如 ?( x ? 1)2 .( x ? 1) ? (1)设函数 f ( x) ? ? ,则使得 f ( x) ? 1 的自变量 x 的取值范围是__ 4 ? x ? 1.( x ? 1) ? ? (答: (??, ?2] ? [0,10] ) ; ( x ? 0) ?1   (2)已知 f ( x) ? ? ,则不等式 x ? ( x ? 2) f ( x ? 2) ? 5 的解集_____ ( x ? 0) ??1   3 (答: (??, ] ) 2 七.求函数解析式的常用方法: 1 .待定系数法 ――已知所求函数的类型(二次函数的表达形式有三种:一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c ;顶点式: f ( x) ? a( x ? m)2 ? n ;零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) , 要会根据已知条件的特点,灵活地选用二次函数的表达形式) 。如 已知 f ( x) 为二次函数,且 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线

段长为 2 2 ,求 f ( x) 的解析式 。
1 2 x ? 2 x ? 1) 2 2.代换(配凑)法――已知形如 f ( g ( x)) 的表达式,求 f ( x) 的表达式。如

(答: f ( x) ?

(1)已知 f (1 ? cos x) ? sin 2 x, 求 f x 2 的解析式 (答: f ( x2 ) ? ? x4 ? 2x2 , x ?[? 2, 2] ) ;
1 1 (2)若 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 ,则函数 f ( x ? 1) =_____ x x

? ?

(答: x 2 ? 2 x ? 3 ) ; 3 (3)若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? x(1 ? x ) ,那 么当 x ? (??,0) 时, f ( x) =________ (答: x(1 ? 3 x ) ). 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即 f ( x) 的定义域应是 g ( x) 的 值域。 3. 方程的思想――已知条件是含有 f ( x) 及另外一个函数的等式, 可抓住等式的特征对等 式的进行赋值,从而得到关于 f ( x) 及另外一个函数的方程组。如 (1)已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? 2 ,求 f ( x) 的解析式 2 (答: f ( x) ? ?3 x ? ) ; 3 1 (2)已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) + g ( x) = ,则 f ( x) = _ x ?1 x (答: 2 )。 x ?1 八.反函数: 1.存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个 y 值,都有唯一的 x 值与之对应, 故单调函数一定存在反函数,但反之不成立;偶函数只有 f ( x) ? 0( x ?{0}) 有反函数; 周期函数一定不存在反函数。如 函数 y ? x2 ? 2ax ? 3 在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是 A、 a ? ? ??,1? B、 a ??2, ??? C、 a ? [1, 2] D、 a ? ? ??,1? ? ? 2, ??? (答:D) 2.求反函数的步骤:①反求 x ;②互换 x 、 y ;③注明反函数的定义域(原来函数的值 域) 。注意函数 y ? f ( x ? 1) 的反函数不是 y ? f ?1 ( x ? 1) ,而是 y ? f ?1 ( x) ?1。如 设 f ( x) ? (
x ?1 2 ) ( x ? 0) .求 f ( x) 的反函数 f x
?1

( x)

(答: f ?1 ( x) ?

1 ( x ? 1) ) . x ?1

3.反函数的性质: ①反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域。如 单调递增函数 f ( x) 满足条件 f (ax ? 3) = x ,其中 a ≠ 0 ,若 f ( x) 的反函数 f ?1 ( x) 的 ?1 4? 定义域为 ? , ? ,则 f ( x) 的定义域是____________ ?a a? (答:[4,7]).

②函数 y ? f ( x) 的图象与其反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称,注意函数 y ? f ( x) 的图象与 x ? f ?1 ( y) 的图象相同。如 (1)已知函数 y ? f ( x) 的图象过点(1,1),那么 f ? 4 ? x ? 的反函数的图象一定经过点_ (答: (1,3) ) ; (2)已知函数 f ( x ) ? 对称,求 g (3) 的值 (答: ③ f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a 。如 (1)已知函数 f ( x) ? log3 ( ? 2 ) ,则方程 f ?1 ( x) ? 4 的解 x ? ______ (答:1) ; ?1 (2)设函数 f(x)的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数 f ( x) ,f (4)=0,则 f (4 )
?1

2x ? 3 ,若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ?1 ( x ? 1) 的图象关于直线 y ? x x ?1
7 ) ; 2

4 x

= (答:-2) ④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如 已知 f ? x ? 是 R 上的增函数,点 A? ?1,1? , B ?1,3? 在它的图象上, f ?1 ? x ? 是它的反函数,那 么不等式 f ?1 ? log2 x ? ? 1的解集为________ (答: (2,8) ) ; ⑤设 f ( x) 的定义域为 A,值域为 B,则有 f [ f ( x)] ? x( x ? B) , f [ f ( x)] ? x ( x ? A) ,但 f [ f ?1 ( x)] ? f ?1[ f ( x)] 。 九.函数的奇偶性。 1.具有奇偶性的函数的定义域的特征:定义域必须关于原点对称!为此确定函数的奇偶 性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如 若函数 f ( x) ? 2sin(3x ? ? ) , x ?[2? ? 5? ,3? ] 为奇函数,其中 ? ? (0,2? ) ,则 ? ? ? 的 值是 (答:0) ; 2.确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇 偶性) : | x ? 4 | ?4 ①定义法:如判断函数 y ? 的奇偶性____(答:奇函数) 。 9 ? x2 f (? x) ? ?1 ( f ( x) ? 0 ) ②利用函数奇偶性定义的等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 或 。如 f ( x) 1 1 ? ) 的奇偶性___.(答:偶函数) 判断 f ( x) ? x( x 2 ?1 2 ③图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称。 3.函数奇偶性的性质: ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关 于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. ②如果奇函数有反函数,那么其反函数一定还是奇函数. ③若 f ( x) 为偶函数,则 f (? x) ? f ( x) ? f (| x |) .如
?1 ?1

1 若 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x) 在 (??, 0) 上 是 减 函 数 , 且 f ( ) =2 , 则 不 等 式 3 的解集为 ______. f (lo g x ) ? 2 1
8

(答: (0,0.5) ? (2, ??) ) ④若奇函数 f ( x) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 .故 f (0) ? 0 是 f ( x) 为奇函数的既 不充分也不必要条件。如 a · 2x ? a ? 2 若 f ( x) ? 为奇函数,则实数 a =____(答:1). 2x ? 1 ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶 函数的和(或差) ” 。如 f ( x) ? f (? x) 设 f ( x) 是定义域为 R 的任一函数, F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,G ( x) ? 。①判 2 2 断 F ( x) 与 G ( x) 的奇偶性; ②若将函数 f ( x) ? lg(10x ? 1) ,表示成一个奇函数 g ( x) 和一个 偶函数 h( x) 之和,则 g ( x) =____ 1 (答:① F ( x) 为偶函数, G ( x) 为奇函数;② g ( x) = x ) 2 ⑥复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”. ⑦既奇又偶函数有无穷多个( f ( x) ? 0 ,定义域是关于原点对称的任意一个数集). 十.函数的单调性。 1.确定函数的单调性或单调区间的常用方法: ①在解答题中常用: 定义法 (取值――作差――变形――定号) 、 导数法 (在区间 ( a, b) 内,若总有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;反之,若 f ( x) 在区间 ( a, b) 内为增函数,则 f ?( x) ? 0 ,请注意两者的区别所在。如 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 在区间 [1, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是____ (答: (0,3] )); b ②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意 y ? ax ? (a ? 0 x b b b ? 0) 型函数的图象和单调性在解题中的运用:增区间为 (??, ? ],[ , ??) ,减区间为 a a b b [? , 0), (0, ] .如 a a (1)若函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间(-∞,4] 上是减函数,那么实数 a 的 取值范围是______ (答: a ? ?3 )); ax ? 1 (2)已知函数 f ( x) ? 在区间 ? ?2, ?? ? 上为增函数,则实数 a 的取值范围_____ x?2 1 (答: ( , ??) ); 2 a ? ? (3)若函数 f ? x ? ? log a ? x ? ? 4 ? ? a ? 0, 且a ? 1? 的值域为 R,则实数 a 的取值范围 x ? ? 是______ (答: 0 ? a ? 4 且 a ? 1 ));

③复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减,如 函数 y ? log 1 ? ? x2 ? 2 x ? 的单调递增区间是________
2

(答:(1,2))。 2.特别提醒:求单调区间时,一是勿忘定义域,如若函数 f ( x) ? loga ( x2 ? ax ? 3) 在区间 a (??, ] 上为减函数,求 a 的取值范围(答: (1, 2 3) );二是在多个单调区间之间不 2 一定能添加符号“ ? ”和“或”;三是单调区间应该用区间表示,不能用集合或不等 式表示. 3.你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?(①比较大小;②解不等式;③求参数范 围) .如已知奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实 1 2 数 m 的取值范围。(答: ? ? m ? ) 2 3 十一.常见的图象变换 1.函数 y ? f ?x ? a ? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴向左平移 a 个单位 得到的。如 h( x) 的图像由 g ( x) 的图 设 f ( x) ? 2? x , g ( x) 的图像与 f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称, 像向右平移 1 个单位得到,则 h( x) 为__________ (答: h( x) ? ? log2 ( x ?1) ) 2.函数 y ? f ?x ? a ? ( (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单 位得到的。如 (1)若 f ( x ? 199) ? 4 x2 ? 4 x ? 3 ,则函数 f ( x) 的最小值为____ (答:2); (2)要得到 y ? lg(3 ? x) 的图像,只需作 y ? lg x 关于_____轴对称的图像,再向____ 平移 3 个单位而得到 (答: y ;右); (3)函数 f ( x) ? x ? lg( x ? 2) ? 1的图象与 x 轴的交点个数有____个 (答:2) 3.函数 y ? f ?x ?+ a (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 助图象沿 y 轴向上平移 a 个单位 得到的; 4. 函数 y ? f ?x ? + a (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 助图象沿 y 轴向下平移 a 个单位 得到的;如
b ? a 的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位,所得图象如果 x?a 与原图象关于直线 y ? x 对称,那么 ( A)a ? ?1, b ? 0 ( B)a ? ?1, b ? R (C )a ? 1, b ? 0 ( D)a ? 0, b ? R (答:C) 1 5.函数 y ? f ?ax? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴伸缩为原来的 得到 a 的。如 1 (1)将函数 y ? f ( x) 的图像上所有点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变) ,再将此 3

将函数 y ?

图像沿 x 轴方向向左平移 2 个单位,所得图像对应的函数为_____ (答: f (3x ? 6) ); (2)如若函数 y ? f (2 x ? 1) 是偶函数,则函数 y ? f (2 x) 的对称轴方程是_______ 1 (答: x ? ? ). 2 6.函数 y ? af ?x ? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 y 轴伸缩为原来的 a 倍得 到的. 十二.函数的对称性。 a?b 1.满足条件 f ? x ? a ? ? f ?b ? x ? 的函数的图象关于直线 x ? 对称。如 2 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx(a ? 0) 满足条件 f (5 ? x) ? f ( x ? 3) 且方程 f ( x) ? x 有等 根,则 f ( x) =_____ 1 (答: ? x 2 ? x ); 2 2.点 ( x, y ) 关于 y 轴的对称点为 (? x, y ) ;函数 y ? f ?x ? 关于 y 轴的对称曲线方程为 y ? f ?? x ?; 3.点 ( x, y ) 关于 x 轴的对称点为 ( x, ? y ) ;函数 y ? f ?x ? 关于 x 轴的对称曲线方程为 y ? ? f ?x ? ; 4.点 ( x, y ) 关于原点的对称点为 (? x, ? y) ;函数 y ? f ?x ? 关于原点的对称曲线方程为 y ? ? f ?? x ? ; 5.点 ( x, y ) 关于直线 y ? ? x ? a 的对称点为 (?( y ? a), ? x ? a) ;曲线 f ( x, y) ? 0 关于直 线 y ? ? x ? a 的对称曲线的方程为 f (?( y ? a), ? x ? a) ? 0 。特别地,点 ( x, y ) 关于直线 y ? x 的对称点为 ( y , x ) ;曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? x 的对称曲线的方程为 f ( y, x) ? 0 ;点 ( x, y ) 关于直线 y ? ? x 的对称点为 (? y, ? x) ;曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? ? x 的对 称曲线的方程为 f (? y, ? x) ? 0 。如 x ?3 3 , ( x ? ) ,若 y ? f ( x ? 1) 的图像是 C1 ,它关于直线 y ? x 对称图 己知函数 f ( x) ? 2x ? 3 2 像是 C2 , C2 关于原点对称的图像为 C3 , 则C3 对应的函数解析式是___________ x?2 (答: y ? ? ) ; 2x ?1 6.曲线 f ( x, y) ? 0 关于点 ( a, b) 的对称曲线的方程为 f (2a ? x, 2b ? y) ? 0 。如 若函数 y ? x 2 ? x 与 y ? g ( x) 的图象关于点(-2,3)对称,则 g ( x) =______ (答: ? x 2 ? 7 x ? 6 ) 7.形如 y ? ax ? b (c ? 0, ad ? bc) 的图像是双曲线,其两渐近线分别直线 x ? ? d (由 cx ? d c a d a 分母为零确定)和直线 y ? (由分子、分母中 x 的系数确定),对称中心是点 (? , ) 。如 c c c 2 已知函数图象 C ? 与 C : y( x ? a ? 1) ? ax ? a ? 1 关于直线 y ? x 对称,且图象 C ? 关于点 (2,-3)对称,则 a 的值为______ (答:2) 8. | f ( x) | 的图象先保留 f ( x) 原来在 x 轴上方的图象,作出 x 轴下方的图象关于 x 轴 的对称图形,然后擦去 x 轴下方的图象得到; f (| x |) 的图象先保留 f ( x) 在 y 轴右方的图 象,擦去 y 轴左方的图象,然后作出 y 轴右方的图象关于 y 轴的对称图形得到。如

(1)作出函数 y ?| log2 ( x ? 1) | 及 y ? log2 | x ? 1| 的图象; (2)若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ) 的图象关于 ____对称 (答: y 轴) 提醒: (1)从结论②③④⑤⑥可看出,求对称曲线方程的问题,实质上是利用代入 法转化为求点的对称问题; (2)证明函数图像的对称性,即证明图像上任一点关于对称 中心(对称轴)的对称点仍在图像上; (3)证明图像 C1 与 C2 的对称性,需证两方面:① 证明 C1 上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在 C2 上;②证明 C2 上任意点关于对 称中心(对称轴)的对称点仍在 C1 上。如 x ?1? a (a ? R) 。求证:函数 f ( x) 的图像关于点 M (a, ?1) 成中 (1)已知函数 f ( x) ? a?x 心对称图形; (2)设曲线 C 的方程是 y ? x 3 ? x ,将 C 沿 x 轴, y 轴正方向分别平行移动 t , s 单位长 度后得曲线 C1 。①写出曲线 C1 的方程
?t s? (答: y ? ( x ? t )3 ? ( x ? t ) ? s ) ;②证明曲线 C 与 C1 关于点 A? , ? 对称。 ? 2 2? 十三.函数的周期性。 1.类比“三角函数图像”得: ①若 y ? f ( x) 图像有两条对称轴 x ? a, x ? b(a ? b) ,则 y ? f ( x) 必是周期函数,且一 周期为 T ? 2 | a ? b | ; ②若 y ? f ( x) 图像有两个对称中心 A(a,0), B(b,0)(a ? b) ,则 y ? f ( x) 是周期函数,且 一周期为 T ? 2 | a ? b | ; ③如果函数 y ? f ( x) 的图像有一个对称中心 A(a, 0) 和一条对称轴 x ? b(a ? b) ,则函数 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期为 T ? 4 | a ? b | ; 如已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是以 2 为周期的奇函数,则方程 f ( x) ? 0 在 [?2, 2] 上 至少有__________个实数根(答:5) 2.由周期函数的定义“函数 f ( x) 满足 f ?x ? ? f ?a ? x ? (a ? 0) ,则 f ( x) 是周期为 a 的周期 函数”得: ①函数 f ( x) 满足 ? f ?x ? ? f ?a ? x ? ,则 f ( x) 是周期为 2 a 的周期函数; 1 ②若 f ( x ? a) ? (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a ; f ( x) 1 (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a . ③若 f ( x ? a) ? ? f ( x) 如(1) 设 f ( x) 是 (??,??) 上的奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x , 则 f (47.5) 等于_____ (答: ? 0.5 ); (2)定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) , 且在 [?3, ?2] 上是减函数, 若?, ? 是锐角三角形的两个内角,则 f (sin ? ), f (cos ? ) 的大小关系为________ _(答: f (sin ? ) ? f (cos ? ) ); (3)已知 f ( x) 是偶函数,且 f (1) =993, g ( x) = f ( x ? 1) 是奇函数,求 f (2005) 的值 (答:993);

( 4 ) 设 f ? x ? 是 定 义 域 为 R 的 函 数 , 且 f ? x ? 2? ? ?1 ? f ? x ? ? ? ? 1? f ? x? , 又

f ? 2? ? 2?

2,则 f ? 2006? =
(答:
2 ?2 ) 2

十四.指数式、对数式:
a n ? n am , a
m

?m n

, , a0 ? 1 , loga 1 ? 0 , loga a ? 1 , lg 2 ? lg 5 ? 1, loge x ? ln x , ? 1 m an
log c a
m

ab ? N ? loga N ? b(a ? 0, a ? 1, N ? 0) , a loga N ? N , log a b ? logc b , log a b n ?
如 (1) log2 25? log3 4? log5 9 的值为________

n log a b 。 m

(答:8);
1 log (2) ( ) 2
2

8

的值为________ (答:
1 ) 64

十五.指数、对数值的大小比较: (1)化同底后利用函数的单调性; (2)作差或作商法; (3)利用中间量(0 或 1) ; (4)化同指数(或同真数)后利用图象比较。 十六.函数的应用。 (1)求解数学应用题的一般步骤:①审题――认真读题,确切理解 题意,明确问题的实际背景,寻找各量之间的内存联系;②建模――通过抽象概 括,将实际问题转化为相应的数学问题,别忘了注上符合实际意义的定义域;③ 解模――求解所得的数学问题;④回归――将所解得的数学结果,回归到实际问 题中去。 (2)常见的函数模型有:①建立一次函数或二次函数模型;②建立分段 b 函数模型;③建立指数函数模型;④建立 y ? ax ? 型。 x 十七.抽象函数:抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式,只给出了其它一些 条件(如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等)的函数问题。求解抽 象函数问题的常用方法是: 1.借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 : ①正比例函数型: f ( x) ? kx(k ? 0) --------------- f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ; x f ( x) ②幂函数型: f ( x) ? x2 -------------- f ( xy) ? f ( x) f ( y) , f ( ) ? ; y f ( y) f ( x) ③指数函数型: f ( x) ? a x ------------ f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) , f ( x ? y ) ? ; f ( y) x ④对数函数型: f ( x) ? loga x ----- f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( ) ? f ( x) ? f ( y) ; y f ( x) ? f ( y ) ⑤三角函数型: f ( x) ? tan x ----- f ( x ? y ) ? 。如已知 f ( x) 是定义在 R 1 ? f ( x) f ( y ) T 上的奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期为 T,则 f (? ) ? ____(答:0) 2

2.利用函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等)进行演绎探究:如 (1)设函数 f ( x)( x ? N ) 表示 x 除以 3 的余数,则对任意的 x, y ? N ,都有 A、 f ( x ? 3) ? f ( x) B、 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) C、 f (3x) ? 3 f ( x) D、 f ( xy) ? f ( x) f ( y) (答:A) ; (2)设 f ( x) 是定义在实数集 R 上的函数,且满足 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,如 3 ) 果 f (1) ? lg , f (2) ? lg15 ,求 f (2001 2 (答:1) ; (3)如设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,证明:直线 x ? 1 是 函数 f ( x) 图象的一条对称轴; (4)已知定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? ? f ( x ? 4) ,且当 x ? 2 时, f ( x) 单 调递增。如果 x1 ? x2 ? 4 ,且 ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值的符号是____ (答:负数) 3.利用一些方法(如赋值法(令 x =0 或 1,求出 f (0) 或 f (1) 、令 y ? x 或 y ? ? x 等) 、 递推法、反证法等)进行逻辑探究。如 (1)若 x ? R , f ( x) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ) ,则 f ( x) 的奇偶性是______ (答:奇函数) ; (2)若 x ? R , f ( x) 满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y ) ,则 f ( x) 的 奇 y 偶性是______ (答:偶函数) ; ( 3 ) 已 知 f ( x) 是 定 义 在 (? 3, 3 ) 上的奇函数,当 O 1 2 3 x 0 ? x ? 3 时, f ( x) 的图像如右图所示,那么不等式 f ( x)? cos x ? 0 的解集是_____________ ? ? (答: (? , ?1) ? (0,1) ? ( ,3) ) ; 2 2 x ( 4 ) 设 f ( x) 的定义域为 R ? ,对任意 x, y ? R? ,都有 f ( ) ? f ( x ) ? f ( y ) ,且 x ? 1 时, y 1 f ( x ) ? 0,又 f ( ) ? 1 ,①求证 f ( x) 为减函数;②解不等式 f ( x) ? f (5 ? x) ? ?2 . 2 (答: ? 0,1? ? ?4,5? ) .


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