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2015年全国各地高考模拟数学试题汇编空间几何体的三视图、表面积与体积(理卷B)


专题 5 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积(B 卷)

一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.(2015·赣州市高三适用性考试·9)

2.(绵阳市高中 2015 届第三次诊断性考试·4)一机器元件的三视图及尺寸如右图示(单位: dm) ,则该组合体的体积为( )

(A)80 dm

3

3 (B) 88 dm

3 (C) 96 dm}

3 (D) 112 dm

3.(2015.菏泽市高三第二次模拟考试数学(理)试题·8)一个几何体的三视图如图所示,则 该几何体的体积的是 ( )

1

A. C.

47 6

B.

23 3

15 2

D.7

4. (江西省新八校 2014-2015 学年度第二次联考·10)如图是一个几何体的三视图,正视图四 一个等腰直角三角形,且斜边 BD 长为 2,侧视图为一个直角三角形,俯视图是一个直角梯 形,且 AB ? BC ? 1 ,则此几何体的表面积是( )

A.

1 2

B.

3 2

C.

5? 3 2

D.

5? 3 ? 2 2

5. (2015 ·山东省滕州市第五中学高三模拟考试· 9) 已知球 O 是棱长为 1 的正方体

ABCD ? A1 B1C1 D1 的内切球,则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为(
A. ? B.



?
2

C.

?
3

D.

?
6

6. (2015.江西省上饶市高三第三次模拟考试· 11)从点 P 出发的三条射线 PA,PB,PC 两两成 60° 角,且分别与球 O 相切于 A,B,C 三点,若球的体积为 A. 2 B. 3

4? ,,则 OP 的长度为( 3
D. 8?

)

C. 4?

7.(2015·陕西省西工大附中高三下学期模拟考试· 5)已知一几何体 的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )

A.6

B.9 D.18

C.12

8.(2015·陕西省西工大附中高三下学期模拟考试·10)已知三棱锥 P—ABC 的四个顶点

2

均在半径为 1 的球面上, 且满足 PA ? PB ? 0 ,PB ? PC ? 0 ,PC ? PA ? 0 ,则三棱锥 P—ABC 的侧面积的最大值为( A. ) B.1 C. 2 D.4

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

1 2

9.(2015·山东省枣庄市高三下学期模拟考试·6)

10. (2015·山东省淄博市高三阶段性诊断考试试题·8)一个几何体的三视图如图所示,其 中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积为( )

A.

3? 4

B.

3? 2

C. 3?

D. 3?

3

11.(2015·山西省太原市高三模拟试题二·6)

12. (2015.东营高三数学(理科)测试题·5)一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接

球的表面积为( ) A. 9? C. 8? 二、非选择题(40 分) 13.(2015.南通市高三第三次调研测试·10)已知一个空间几何体的所有棱长均为 1 cm,其 表面展开图如图所示,则该空间几何体的体积 V= cm3. B.

28 ? 3

D. 7?

4

14. ( 2015`临沂市高三第二次模拟考试数学(理)试题·15)已知点 A,B,C,D 均在球 O 的球面 上, AB ? BC ? 1, AC ? 3 ,若三棱锥 D ? ABC 体积的最大值是

1 ,则球 O 的表面积为 4

_________. 15.(2015·德州市高三二模(4 月)数学(理)试题·12)一个几何体的三视图 如图所示,该几何体体积为____________.

16. (2015·山东省潍坊市第一中学高三过程性检测·11)已知某几何体的三视图如右图所示, 则该几何体的外接球体积为___________.

17.(2015·山东省潍坊市高三第二次模拟考试·14)

5

18. (2015·青岛市高三自主诊断试题·13) 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体 积是 ;

4 4

4

6
侧(左)视图

正(主)视图

6

2

第 13 题图
俯视图

19. (2015·山师附中高三第二次模拟考试·14)某几何体的三视图如图所示,其俯视图是 由一个半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是
2 1 2
正(主)视 图



4
侧(左)视图

俯视图

(第 19 题图)

6

20(2015.聊城一中 4 月份检测题·14) 若一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都 是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为

7

专题 5 立体几何 第 1 讲 空间几何体的三视图、表面积与体积(B 卷)答案与解析 1.【答案】C 【命题立意】 本题主要考查棱柱的体积的计算, 根据棱柱正视图的面积求出四棱柱的底面边 长是解决本题的关键. 【解析】要使直四棱柱的正视图的面积最小,则只需要正视图的底面边长最小即可, ∵四边形 ABCD 是菱形且 ?ABC ? 60 ,
?

∴过 A 作 AF⊥BC,则当 A1EFA 为正视图时,正视图的面积最小,此时 AF ? EF ? 3 AF ? 即 AF ? 即 AB ?

9 , 4

3 AF ? ,则 sin ?ABC ? sin 60 ? , 4 AB

AF 3 2 3 , ? ? ? ? sin 60 4 2 3
3 3 9 3 ,选 C. ? ?3 ? 2 4 8

此时四棱柱的体积 V ? BC ? AF ? EF ?

2.【答案】C 【命题立意】本题要通过三视图想象出直观图,然后求体积. 【解析】如图所示,该几何体为一长方体和一斜置的直三棱柱组合而成的几何体,其体积

1 V ? 9 ? 4 ? 2 ? ? 4 ? 3 ? 4 ? 96 . 2
3.【答案】A 【命题立意】本题旨在考查空间几何体的三视图与体积.

8

【解析】 由三视图可知该几何体是一个棱长为 2 的正方体削去一个角而形成的, 这个角中对 应的三条侧棱均为 1,则其体积为 V=23- 4.【答案】D 【命题立意】考查三视图,考查空间想象能力,中等题. 【解析】由三视图知,原几何体是一个四棱锥与三棱锥的组合体,其直观图如图,根据三视 图中正视图是一个等腰直角三角形,且斜边 BD ? 2 ,? S ?PAD ?

1 1 3 47 × ×1 = . 3 2 6

1 ? 2 ? 1 ? 1 ,底面直角梯 2

1 ? 2) ?1 ? 形的面积为 S 底 ? (

1 2

3 ,由勾股定理可得 PA ? PC ? PD ? 12 ? 12 ? 2 , 2

1 2 1 2 2 3 , S?PCD ? ? 2 ? ( 2 ) 2 ? ( , ? S ?PAB ? S ?PCB ? ?1? 2 ? ) ? 2 2 2 2 2

? 几何体的表面积是

3 2 3 5? 3 ? 2? ? ?1 ? ? 2. 2 2 2 2

5.【答案】D 【命题立意】本题主要考查空间几何体的组合,圆的半径的求解及圆的面积 【解析】

6.【答案】B 【命题立意】本题重点考查了球的结构特征、球的体积公式及运用等知识. 【解析】如下图所示:

9

连接 OP 交平面 ABC 于 O',由题意可得:△ABC 和△PAB 为正三角形, 所以 O'A=

OP AP 3 3 ? , AB ? AP ,故 OA AO? 3 3
4? AP , ? 3OA ,又因为球的体积为 3 AO?

所以 OP ? OA?

所以半径 OA ? 1 ,故 OP ? 3 ,故选 B. 7.【答案】B 【命题立意】本题旨在考查空间几何体的三视图与体积. 【解析】 由三视图知该几何体的是一个三棱锥, 底面是俯视图中的三角形, 三棱锥的高为 3, 则其体积为 V= 8.【答案】C 【命题立意】本题旨在考查棱锥的侧面积,基本不等式,棱柱的外接球等. 【解析】由题可和 PA、PB、PC 两两垂直,而三棱锥 P—ABC 的四个顶点均在半径为 1 的球 面上,则以 PA、PB、PC 为棱的长方体的对角线即为球的一条直径,可得 PA2+PB2+PC2=22=4, 又由基本不等式可得 PA2+PB2≥2PA·PB,PA2+PC2≥2PA·PC,PB2+PC2≥2PB·PC,即有 4= PA2+PB2+PC2 ≥ PA · PB+PA · PC+PB · PC , 则 三 棱 锥 P — ABC 的 侧 面 积 为 S= (PA·PB+PA·PC+PB·PC)≤2. 9.【答案】D 【命题立意】 本题考查了几何体的三视图问题, 要求学生能够准确的通过三视图找出几何体

1 1 × ×6×3×3=9. 3 2

1 2

10

的底面面积和高,对学生空间想象能力有一定的要求。 【解析】由三视 S 底 =S扇形 = 角 为

1 4 S圆 = ? 图可知,俯视图为一半径为 2 扇形,且圆心 3 3
, 又 几 何 体 的 高 显 然 为 4 , 则

120?








V几何体

1 =? 3

hS ?

1 4 ? ?? ? 3 3

? 4 。

1 6 9

10.【答案】C 【命题立意】本题主要考查空间几何体的三视图及球的体积 【解析】由三视图可知,原几何体为四棱锥,四棱锥的底面为边长是 1 的正方形,高为 1, 且一侧棱垂直底面,球心为最长侧棱的中点,所以外接球的半径为

3 ,所以外接球的体 2

积为 ? (

4 3

3 3 3 ) ? ? 2 2

11.【答案】B 【命题立意】本题重点考查空间几何体的三视图以及棱锥的体积公式,属于能力题. 【解析】 由三视图还原出原几何体如图所示的截面的下面部分, 根据其对称性可知与上面的 体积相等,所以其体积为

1 3 ?2 ? 4 . 2

12.【答案】B 【命题立意】本题主要考查空间几何体的三视图及体积计算 【解析】由三视图知,该几何体为一个三棱柱截取一个棱锥得到,将该几何体还原为三棱柱

11

如图所示,

三棱柱的底面是边长为 2 的正三角形,侧棱长是 2,

三棱柱的两个底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心,如上图,底面是正三角形, 所以 AD ?

2 3 2 3 2 7 ,该几何体外接球 , OD ? 1, r ? AO ? AD2 ? OD2 ? ( ) ?1 ? 3 3 3
2

的表面积为 s ? 4? r ? 4? ? 13.【答案】 1 ?

7 28? ? . 3 3

2 6

【命题立意】本题考查空间几何体展开,空间几何体的体积,意在考查空间想象能力,中等 题. 【解析】由图知,原几何体是一个正方体与一个正四棱锥组成, 该空间几何体的体积为 V ? 1 ? ?1?1?
3

1 3

2 2 . ? 1? 2 6

14.【答案】

16? . 3

【命题立意】锥体体积,球体表面积公式. 【解析】 三角形 ABC 的面积为

3 , 所以三棱锥 D ? ABC 的高最大为 3 , 又三角形 ABC 4
2 2 2

( 3-r) , r= 的外接圆半径为 1,所以有设球体的半径为 r ,则有 r =1 +
? 2 3 ? 16? 表面积 4? r =4? ? ? 3 ? ? = 3 ? ? 4 3 15.【答案】 3
2 2

2 3 ,所以该球体 3

12

【命题立意】本题旨在考查三视图. 【解析】由题意可知,该几何体是一个三棱柱去掉一个三棱锥之后的空间几何体,从而其体 积为: V ? Sh ?

4 1 2 2 ?1 4 ? 3. Sh ? Sh ? ? ? ? 2 ? 2 ? sin 60? ? ? 2 ? 3 .故答案为: 3 3 3 3 ?2 3 ?

16.【答案】

8 2? 3

【命题立意】 本题重点考查空间几何体的三视图以及与球有关的组合体的体积的计算, 难度 中等. 【解析】由三视图可知原几何体如图所示,可将其视为正方体的一部分,其体对角线为

4 8 2? . 4 ? 2 ? 2 ? 2 2 ,所以外接球的半径为 2 ,体积为 ? ( 2)3 ? 3 3
17.【答案】

8 3

【命题立意】本题旨在考查空间几何体的三视图与体积. 【解析】由三视图知该几何是一个四棱锥,右边侧面垂直于底面,底面正方形的边长为 2, 棱锥的高为 2,则其体积为 V= 18.【答案】 32 【命题立意】本题考查了由三视图还原空间几何体及空间几何体的体积. 【解析】由三视图可知,该三棱锥的高是 4,底面的一条边长为 8,且该边上的高是 6,则 该三棱锥的体积 V ? 19.【答案】

1 8 ×2×2×2= . 3 3

10? 3

1 1 ? ? 8 ? 6 ? 4 ? 32 . 3 2

【命题立意】本题旨在考查由三视图求体积. 【解析】由三视图可知,几何体是下面是半径是 2,高为 1 的圆柱的一半,上面是底面半径

1 2 ? 2 ? ? ?1 ? 2? ,上面半圆锥的体 2 1 1 4? 4? 10? 2 ? 2? ? 积 V2 ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ,几何体的体积 V ? . 2 3 3 3 3
为 2,高为 2 的圆锥的一半,所以,半圆柱的体积 V1 ? 20.【答案】4

13

【命题立意】本题旨在考查空间几何体的三视图与特征性质. 【解析】由题可得该几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图所示(图中实线部分) , 利用长方体模型可知,此三棱锥的四个面中,全部都是直角三角形.

14



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